Concours ENSA Marrakech 2004

Concours ENSA Marrakech 2004 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.

Session du 27 juillet 2004 — Durée : 1 heure — 15 exercices QCM.

Cette page reproduit l’épreuve de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech, année universitaire 2003-2004.

Le sujet original comporte quinze exercices indépendants et quatre propositions par exercice.

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Consignes de l’épreuve

La documentation et les calculatrices sont interdites.
Une seule réponse est annoncée comme correcte pour chaque exercice.
Réponse juste : \(+1\) point.
Réponse fausse : \(-1\) point.
Absence de réponse : \(0\) point.
Plus d’une case cochée : \(-1\) point.

Énoncé — ENSA Marrakech 2004

Exercice 1 — Dénombrement des copies d’un QCM

Énoncé

Dans un examen fait par QCM, on peut répondre par « vrai » ou « faux ».

Cet examen comporte \(15\) questions. Combien existe-t-il de copies différentes possibles ?

Deux copies sont différentes lorsqu’au moins une question reçoit la réponse « vrai » dans l’une et « faux » dans l’autre.

A. \(15!\)

B. \(\displaystyle\binom{15}{15}\)

C. \(A_{15}^{15}\)

D. \(2^{15}\)

Exercice 2 — Nombres rationnels et irrationnels

Énoncé

Indiquer l’affirmation correcte parmi les suivantes.

A. Le produit d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est toujours irrationnel.

B. La somme de deux nombres irrationnels est toujours irrationnelle.

C. Le produit de deux nombres irrationnels est toujours irrationnel.

D. La somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnelle.

Exercice 3 — Inéquation rationnelle

Énoncé

Résoudre l’inéquation :

\[ \frac1x\ge\frac1{x^3}. \]

A. \(]-\infty,1]\)

B. \([1,+\infty[\)

C. \([-1,0[\)

D. \([-1,0[\ \cup\ [1,+\infty[\)

Exercice 4 — Comparaison d’une puissance et d’un logarithme

Énoncé

Soit \(m\) une constante réelle et soit :

\[ h(x)=x^m-(\ln x)^2, \qquad x\gt0. \]

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. Si \(m\gt0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. \]

B. Si \(m\lt0\), alors : \[ \lim_{x\to0^+}h(x)=0. \]

C. Si \(m\le0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. \]

D. Si \(m\gt0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty. \]

Exercice 5 — Limite avec valeur absolue

Énoncé

Soit :

\[ f(x)=\frac{|x^2-1|}{1-x}. \]

Calculer :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x). \]

A. \(-2\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. La limite n’existe pas.

Exercice 6 — Signe et parité d’une dérivée

Énoncé

Soit :

\[ f(x)=x+\cos^2x, \qquad x\in\mathbb R. \]

La fonction dérivée \(f'\) est :

A. paire ;

B. ne s’annule pas ;

C. toujours positive ou nulle ;

D. aucune réponse correcte.

Exercice 7 — Limite d’une fonction oscillante

Énoncé

Soit :

\[ g(x)= \frac{\sin^9x+\cos^6x+1}{e^{-x}+1}. \]

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x). \]

A. \(0\)

B. \(+\infty\)

C. La limite n’existe pas.

D. \(1\)

Exercice 8 — Suite harmonique corrigée

Énoncé

Pour tout entier \(n\ge1\), on pose :

\[ U_n= 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n-\ln n. \]

Anomalie objective du QCM : les propositions A, C et D sont toutes vraies, alors que le sujet annonce une seule réponse correcte.

A. La suite \((U_n)\) est positive.

B. La suite \((U_n)\) est croissante.

C. La suite \((U_n)\) est majorée.

D. La suite \((U_n)\) est décroissante et minorée.

Exercice 9 — Domaine et demi-tangente verticale

Énoncé

Soit :

\[ f(x)=2x+1+\sqrt{4x^2+4x}, \]

et soit \(D_f\) son domaine de définition.

A. \(D_f=[0,+\infty[\).

B. La fonction \(f\) est dérivable sur tout \(D_f\).

C. \[ \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-1}{x}=0. \]

D. La courbe de \(f\) présente en \((0,1)\) une demi-tangente verticale.

Exercice 10 — Suite définie par récurrence

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=1 \]

et, pour tout \(n\ge1\),

\[ u_n= u_{n-1} + \frac{1+u_{n-1}}{1+2u_{n-1}}. \]

Anomalie objective du QCM : les propositions A et B sont toutes les deux vraies puisque toute suite strictement croissante est également croissante.

A. La suite \((u_n)\) est croissante.

B. La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

C. La suite \((u_n)\) est majorée.

D. La suite \((u_n)\) est convergente.

Exercice 11 — Identités trigonométriques

Énoncé

Parmi les identités suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \cos a\cos b = \frac12\bigl[\sin(a+b)+\cos(a-b)\bigr]. \]

B. \[ \sin a\sin b = \frac12\bigl[\cos(a+b)+\sin(a-b)\bigr]. \]

C. \[ \sin a\cos b = \frac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr]. \]

D. \[ \cos a+\cos b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right). \]

Exercice 12 — Inégalités entre quatre réels

Énoncé

Soient \(x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb R\) tels que :

\[ x_1\le y_1 \qquad\text{et}\qquad x_2\le y_2. \]

Laquelle des relations suivantes est toujours vraie ?

A. \[ x_1^2\le y_1^2. \]

B. \[ x_1-x_2\le y_1-y_2. \]

C. \[ \frac14e^{y_1+y_2} - \frac15e^{x_1+x_2} + 0{,}05 \ge0. \]

D. \[ x_1x_2\le y_1y_2. \]

Exercice 13 — Dérivée d’ordre supérieur

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb N\). La dérivée d’ordre \(n+1\) de la fonction :

\[ x\longmapsto x^n e^{1/x} \]

est :

A. \[ \frac{(-1)^n}{x^{n+2}}e^{1/x}. \]

B. \[ \frac{(-1)^{n+2}}{x^{n+2}}e^{1/x}. \]

C. \[ \frac{(-1)^{n+3}}{x^{n+2}}e^{1/x}. \]

D. \[ \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+1}}e^{1/x}. \]

Exercice 14 — Intégrale trigonométrique

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos^3x\,dx. \]

A. \(\displaystyle\frac{2\pi}{15}\)

B. \(\displaystyle\frac{4\pi}{15}\)

C. \(\displaystyle\frac4{15}\)

D. \(\displaystyle\frac2{15}\)

Exercice 15 — Sphère et plan dans l’espace

Énoncé

Dans le repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère la sphère \((S)\) d’équation :

\[ x^2+y^2+z^2-x-y-z+\frac34=0 \]

et le plan \((P)\) d’équation :

\[ y+z=0. \]

A. Le centre de la sphère est : \[ \left(\frac12,0,0\right). \]

B. Le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

C. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

D. Aucune réponse correcte.

Anomalies objectives conservées

Exercice 8 : les propositions A, C et D sont toutes vraies.
Exercice 10 : les propositions A et B sont toutes les deux vraies.

Conseil de travail

Le barème pénalise les réponses fausses. Il est donc préférable de vérifier chaque proposition avant de cocher une réponse.

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