Correction Concours ENSA Marrakech 2007 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.
Session du 25 juillet 2007 — Correction détaillée des 15 exercices.
Cette page présente la correction détaillée de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Marrakech 2007. Chaque proposition est vérifiée par un calcul ou un raisonnement précis.
Correction détaillée
Exercice 1 — Limites de suites
Étudions les quatre affirmations.
Proposition 1 \[ \frac{2n^2-(-1)^n n+1}{n+3} = n\, \frac{2-\frac{(-1)^n}{n}+\frac1{n^2}} {1+\frac3n}. \]Le quotient tend vers \(2\), donc la suite tend vers \(+\infty\). La limite existe : la proposition 1 est fausse.
Proposition 2 \[ \ln(n+1)-\ln(n+2) = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right) \longrightarrow \ln1=0. \]La proposition 2 est fausse.
Proposition 3La suite \((\sin n)\) n’admet pas de limite. La proposition 3 est vraie.
Proposition 4 \[ (-0{,}7)^n+(0{,}7)^n = (0{,}7)^n\bigl((-1)^n+1\bigr). \]Cette expression tend vers \(0\). La proposition 4 est fausse.
Exercice 2 — Propriétés des suites réelles
Une suite croissante peut converger, par exemple :
\[ u_n=1-\frac1{n+1}. \]La proposition 1 est donc fausse.
Une suite peut tendre vers \(+\infty\) sans être croissante. La proposition 2 est fausse.
Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente, par exemple :
\[ u_n=(-1)^n. \]La proposition 3 est fausse.
En revanche, une suite croissante et non majorée dépasse définitivement tout réel donné. Elle tend donc vers \(+\infty\).
Exercice 3 — Nombres complexes et géométrie
Le discriminant de :
\[ z^2-4z+6=0 \]est :
\[ \Delta=16-24=-8. \]Les deux solutions sont :
\[ z_1=2+i\sqrt2, \qquad z_2=2-i\sqrt2. \]On a :
\[ z_1+z_2=4, \]qui est réel non nul. La proposition 1 est fausse.
L’affixe du milieu \(I\) est :
\[ z_I=\frac{z_1+z_2}{2}=2, \]qui est réelle. La proposition 2 est fausse.
La droite \((OI)\) est horizontale, tandis que \((M_1M_2)\) est verticale. Elles sont donc perpendiculaires : la proposition 3 est vraie.
Enfin :
\[ OM_1=OM_2=\sqrt6 \]et :
\[ M_1M_2=2\sqrt2. \]Ces longueurs ne sont pas toutes égales. Le triangle n’est donc pas équilatéral : la proposition 4 est vraie.
Exercice 4 — Polynôme et équations associées
On factorise :
\[ P(X)=2X^3+X^2-5X+2. \]Comme \(P(1)=0\), on obtient :
\[ P(X)=(X-1)(2X^2+3X-2). \]Or :
\[ 2X^2+3X-2=(2X-1)(X+2). \]Ainsi :
\[ P(X)=(X-1)(2X-1)(X+2). \]Les racines sont donc :
\[ -2,\qquad \frac12,\qquad 1. \] Proposition 1Elle contient \(-1\), qui n’est pas racine. Elle est fausse.
Proposition 2En posant \(X=e^x\gt0\), seules les racines \(\frac12\) et \(1\) conviennent :
\[ x=-\ln2 \quad\text{ou}\quad x=0. \]La proposition donnée avec \(\ln2\) est fausse.
Proposition 3En posant \(X=\ln x\), on obtient :
\[ \ln x\in\left\{-2,\frac12,1\right\}. \]Donc :
\[ x\in\left\{\frac1{e^2},\sqrt e,e\right\}. \]La proposition 3 est vraie.
Proposition 4Il faut avoir \(\sin x=\frac12\) ou \(\sin x=1\), ce qui donne une infinité de solutions réelles, et non seulement trois valeurs.
Exercice 5 — Probabilités — tirage simultané
Le nombre total de tirages de trois boules est :
\[ \binom{10}{3}=120. \]Les multiples de \(5\) sont \(5\) et \(10\).
Proposition 1Pour contenir les deux multiples de \(5\), on choisit une troisième boule parmi les huit restantes :
\[ P=\frac{\binom81}{\binom{10}{3}} =\frac8{120} =\frac1{15}. \]La proposition 1 est fausse.
Proposition 2La probabilité d’avoir au plus un multiple de \(5\) vaut :
\[ 1-\frac1{15}=\frac{14}{15}. \]La proposition 2 est fausse.
Proposition 3La probabilité de n’avoir aucun multiple de \(5\) est :
\[ \frac{\binom83}{\binom{10}{3}} = \frac{56}{120}. \]Donc :
\[ P(\text{au moins un multiple de }5) = 1-\frac{56}{120} = \frac8{15}. \]La proposition 3 est vraie.
Proposition 4Les multiples de \(3\) sont \(3\), \(6\) et \(9\). Le tirage exact de ces trois boules a pour probabilité :
\[ \frac1{\binom{10}{3}} = \frac1{120}. \]La proposition 4 est fausse.
Exercice 6 — Suites définies par récurrence
La relation :
\[ u_{n+1}=u_n-1, \qquad u_0=0 \]donne :
\[ u_n=-n. \]Ainsi :
\[ v_n=3^{u_n}=3^{-n}=\left(\frac13\right)^n. \]La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(\frac13\). La proposition 1 est vraie.
Elle converge vers \(0\), donc la proposition 2 est fausse.
De plus :
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k = \frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}} {1-\frac13}. \]Par conséquent :
\[ S_n\longrightarrow\frac32, \]et non \(\frac12\). La proposition 3 est fausse.
Enfin :
\[ w_n=\ln(v_n)=-n\ln3, \]qui est une suite arithmétique, et non géométrique.
Exercice 7 — Suite quadratique
On a :
\[ u_0=-1, \qquad u_1=(-1)^2+1=2. \]La proposition 1 est donc fausse, puisque \(u_0\lt0\).
Pour tout réel \(x\) :
\[ x^2+1-x = x^2-x+1 = \left(x-\frac12\right)^2+\frac34 \gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}-u_n = u_n^2-u_n+1 \gt0. \]La suite est strictement croissante. La proposition 2 est vraie.
On calcule :
\[ u_2=5, \qquad u_3=26. \]Or :
\[ 26\gt16\sqrt2. \]La proposition 3 est fausse.
La suite croissante n’est pas majorée et diverge vers \(+\infty\). La proposition 4 est fausse.
Exercice 8 — Fonction exponentielle et symétrie
Comme :
\[ \sqrt{1-\cos^2x}=|\sin x|, \]on peut écrire :
\[ f(x)=\cos x\,e^{|\sin x|}. \]Pour tout réel \(x\) :
\[ f(\pi-x) = \cos(\pi-x)e^{|\sin(\pi-x)|} = -\cos x\,e^{|\sin x|} = -f(x). \]Ainsi :
\[ f(\pi-x)+f(x)=0. \]C’est précisément la condition pour que :
\[ I\left(\frac{\pi}{2},0\right) \]soit un centre de symétrie de la courbe.
La proposition 1 est fausse, car elle affirme \(f(\pi-x)=f(x)\).
Les propositions 3 et 4 remplacent abusivement \(|\sin x|\) par \(\sin x\) sur tout \(\mathbb R\). Elles sont donc fausses globalement.
Exercice 9 — Logarithme d’une fonction rationnelle
On factorise :
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]Il faut :
\[ \frac{x-1}{(x-2)(x+1)}\gt0. \]L’étude de signe donne :
\[ D_f=]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]La proposition 1 est vraie.
Sur \(]-1,1[\), les nombres \(x-1\) et \(x^2-x-2\) sont négatifs. On ne peut donc pas écrire séparément leurs logarithmes réels. La proposition 2 est fausse.
Sur le domaine :
\[ f(x) = \ln|x-1| -\ln|x+1| -\ln|x-2|. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac1{x-1} -\frac1{x+1} -\frac1{x-2}. \]La proposition 3 est vraie.
Sur \(]2,+\infty[\), par exemple en \(x=3\) :
\[ f'(3) = \frac12-\frac14-1 = -\frac34\lt0. \]La fonction n’est donc pas croissante sur tout cet intervalle. La proposition 4 est fausse.
Exercice 10 — Continuité, dérivée et asymptote
Pour \(x\ne0\), on rationalise :
\[ f(x) = \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0). \]La fonction est continue en \(0\). La proposition 1 est fausse.
Pour \(x\ne0\) :
\[ f'(x) = \frac1{\sqrt{1+x^2}\left(\sqrt{1+x^2}+1\right)}. \]La formule de la proposition 2 est donc fausse.
Lorsque \(x\to-\infty\) :
\[ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1} \longrightarrow-1. \]La proposition 3 est fausse.
Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ f(x)\longrightarrow1. \]La droite \(y=1\) est donc une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
Exercice 11 — Reconnaissance de dérivées
et non \(\cos\bigl(4(x+1)\bigr)\). Elle est fausse.
Proposition 2 \[ \left[ \ln\left( \frac{\sin x}{1+\cos x} \right) \right]' = \frac1{\sin x}, \]et non \(\frac1{\sin^2x}\). Elle est fausse.
Proposition 3Sur son domaine réel :
\[ \left[ \ln\left(\sqrt{x^2-1}-x\right) \right]' = -\frac1{\sqrt{x^2-1}}, \]et non \(-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\). Elle est fausse.
Proposition 4 \[ \left(e^{\sin^2x}\right)' = 2\sin x\cos x\,e^{\sin^2x} = (\sin2x)e^{\sin^2x}. \]Elle est vraie.
Exercice 12 — Calculs d’intégrales trigonométriques
On calcule :
\[ I= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin x\cos^2x\,dx. \]Avec \(u=\cos x\) :
\[ I = \frac13-\frac{\sqrt2}{12} = \frac{4-\sqrt2}{12}. \]Ensuite :
\[ J= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^3x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x(1-\cos^2x)\,dx. \]On obtient :
\[ J= \frac{8-5\sqrt2}{12}. \]L’intégrande de la proposition 1 est impaire ; son intégrale sur l’intervalle symétrique vaut \(0\), et non \(2I\).
De plus :
\[ I+J = \frac{12-6\sqrt2}{12} = 1-\frac{\sqrt2}{2}. \]La proposition 2 est vraie.
Les valeurs proposées dans les propositions 3 et 4 ne correspondent pas aux résultats calculés.
Exercice 13 — Fonction définie par une intégrale
Par définition :
\[ f(x) = \int_0^x\frac{dt}{1+t^2} = \arctan x. \]La fonction \(\arctan\) est impaire, et non paire. La proposition 1 est fausse.
Par le théorème fondamental de l’analyse :
\[ f'(x)=\frac1{1+x^2}\gt0. \]La proposition 2 est fausse et \(f\) est croissante, donc la proposition 3 est fausse.
Pour tout \(x\gt1\) :
\[ f(x)=\arctan x\lt\frac{\pi}{2}\lt2. \]La proposition 4 est vraie.
Exercice 14 — Primitives et intégrales
L’intégrande est positive et non identiquement nulle. Son intégrale ne peut pas être nulle. La proposition 1 est fausse.
Proposition 2Comme la fonction cosinus est paire :
\[ \cos|x|=\cos x. \]Ainsi :
\[ \int_{-\pi}^{\pi}\cos|x|\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}\cos x\,dx = [\sin x]_{-\pi}^{\pi} = 0. \]La proposition 2 est vraie.
Proposition 3 \[ \left(\frac1{\cos^2x}\right)' = \frac{2\sin x}{\cos^3x}, \]et non \(\frac{\sin x}{\cos^2x}\). Elle est fausse.
Proposition 4 \[ \left[ \frac13(1+x^2)^{3/2} \right]' = x\sqrt{1+x^2}, \]et non \(x^2\sqrt{1+x^2}\). Elle est fausse.
Exercice 15 — Géométrie dans l’espace
Les vecteurs directeurs du plan sont :
\[ \vec u=(1,1,0), \qquad \vec v=(1,-1,1). \]Un vecteur normal au plan est :
\[ \vec n=\vec u\wedge\vec v=(1,-1,-2). \]Le vecteur proposé :
\[ \vec w=(1,1,-2) \]n’est pas normal au plan, car :
\[ \vec w\cdot\vec u=2\ne0. \]La proposition 1 est vraie.
Une équation du plan passant par \(A(-1,1,2)\) est :
\[ (x+1)-(y-1)-2(z-2)=0, \]soit :
\[ x-y-2z+6=0. \]La proposition 2 est fausse.
La droite passant par \(B(1,0,-1)\) et dirigée par \(\vec w\) a pour représentation :
\[ x=1+t,\qquad y=t,\qquad z=-1-2t. \]Elle vérifie :
\[ y-x+1=0 \qquad\text{et}\qquad z+2x-1=0. \]La première équation de la proposition 3 est incorrecte.
En remplaçant la représentation paramétrique dans l’équation du plan :
\[ 9+4t=0, \]d’où :
\[ t=-\frac94. \]Le point d’intersection est :
\[ \left(-\frac54,-\frac94,\frac72\right), \]et non celui de la proposition 4.
Tableau récapitulatif des réponses
| Exercice | Réponse correcte |
|---|---|
| Ex. 1 | 3 |
| Ex. 2 | 4 |
| Ex. 3 | 3 et 4 |
| Ex. 4 | 3 |
| Ex. 5 | 3 |
| Ex. 6 | 1 |
| Ex. 7 | 2 |
| Ex. 8 | 2 |
| Ex. 9 | 1 et 3 |
| Ex. 10 | 4 |
| Ex. 11 | 4 |
| Ex. 12 | 2 |
| Ex. 13 | 4 |
| Ex. 14 | 2 |
| Ex. 15 | 1 |
Anomalies objectives du sujet
- Exercice 3 : les propositions 3 et 4 sont toutes les deux vraies.
- Exercice 9 : les propositions 1 et 3 sont toutes les deux vraies.
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