Concours ENSA Marrakech 2007 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSA Marrakech 2007 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.

Session du 25 juillet 2007 — Durée : 1 h 30 — 15 exercices QCM.

Cette page reproduit l’énoncé de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech, année universitaire 2006-2007.

Le sujet comporte quinze exercices indépendants portant notamment sur les suites, les nombres complexes, les probabilités, les fonctions, les intégrales et la géométrie dans l’espace.

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Consignes de l’épreuve

• La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
• Chaque exercice propose quatre affirmations.
• Une seule réponse est annoncée comme correcte par le sujet.
• Réponse juste : \(+1\) point.
• Réponse fausse : \(-1\) point.
• Absence de réponse : \(0\) point.
• Plus d’une case cochée : \(-1\) point.

Accès rapide aux exercices

Ex. 1Ex. 2Ex. 3Ex. 4Ex. 5Ex. 6Ex. 7Ex. 8Ex. 9Ex. 10Ex. 11Ex. 12Ex. 13Ex. 14Ex. 15

Énoncé — ENSA Marrakech 2007

Exercice 1 — Limites de suites

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2n^2-(-1)^n n+1}{n+3} \quad\text{n’existe pas.} \]

2. \[ \lim_{n\to+\infty} \bigl(\ln(n+1)-\ln(n+2)\bigr) \quad\text{n’existe pas.} \]

3. \[ \lim_{n\to+\infty}\sin(n) \quad\text{n’existe pas.} \]

4. \[ \lim_{n\to+\infty} \left((-0{,}7)^n+(0{,}7)^n\right) \quad\text{n’existe pas.} \]

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Exercice 2 — Propriétés des suites réelles

Énoncé

On considère une suite réelle \((u_n)\). Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. Une suite \((u_n)\) croissante est-elle nécessairement divergente vers \(+\infty\) ?

2. Une suite \((u_n)\) divergente vers \(+\infty\) est-elle nécessairement croissante ?

3. Une suite \((u_n)\) bornée est-elle nécessairement convergente ?

4. Une suite \((u_n)\) croissante et non majorée diverge-t-elle nécessairement vers \(+\infty\) ?

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Exercice 3 — Nombres complexes et géométrie

Énoncé

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions complexes de l’équation :

\[ z^2-4z+6=0. \]

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\), on considère les points \(M_1\) et \(M_2\) d’affixes respectives \(z_1\) et \(z_2\), puis \(I\), milieu du segment \([M_1,M_2]\).

Anomalie objective du QCM : les propositions 3 et 4 sont toutes les deux vraies, alors que la consigne générale annonce une seule réponse correcte.

1. Le nombre \(z_1+z_2\) est imaginaire pur.

2. L’affixe du point \(I\) est imaginaire pure.

3. Les droites \((OI)\) et \((M_1M_2)\) sont perpendiculaires.

4. Le triangle \(OM_1M_2\) n’est pas équilatéral.

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Exercice 4 — Polynôme et équations associées

Énoncé

Soit le polynôme :

\[ P(X)=2X^3+X^2-5X+2. \]

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. Les réels \(-2\), \(\frac12\) et \(-1\) sont solutions de l’équation \(P(x)=0\).

2. L’ensemble des solutions réelles de : \[ 2e^{3x}+e^{2x}-5e^x+2=0 \] est : \[ S=\{\ln2,0\}. \]

3. L’ensemble des solutions réelles de : \[ 2(\ln x)^3+(\ln x)^2-5\ln x+2=0 \] est : \[ S=\left\{e,\frac1{e^2},\sqrt e\right\}. \]

4. L’ensemble des solutions réelles de : \[ 2\sin^3x+\sin^2x-5\sin x+2=0 \] est : \[ S=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right\}. \]

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Exercice 5 — Probabilités — tirage simultané

Énoncé

Un sac contient \(10\) boules numérotées de \(1\) à \(10\). On extrait simultanément trois boules.

1. La probabilité que les trois boules contiennent toutes les boules du sac dont le numéro est un multiple de \(5\) est : \[ \frac{2}{15}. \]

2. La probabilité qu’il y ait au plus une boule dont le numéro est un multiple de \(5\) est : \[ \frac{13}{15}. \]

3. La probabilité qu’il y ait au moins une boule dont le numéro est un multiple de \(5\) est : \[ \frac{8}{15}. \]

4. La probabilité que les trois boules soient toutes les boules du sac dont le numéro est un multiple de \(3\) est : \[ \frac1{60}. \]

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Exercice 6 — Suites définies par récurrence

Énoncé

Soient les suites numériques \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb N}\) définies par :

\[ u_0=0,\qquad u_{n+1}=u_n-1,\qquad v_n=3^{u_n}. \]

1. La suite \((v_n)\) est géométrique.

2. La suite \((v_n)\) est divergente.

3. Pour tout entier \(n\gt0\), si : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n, \] alors : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n=\frac12. \]

4. La suite \((w_n)\), définie par \(w_n=\ln(v_n)\), est géométrique.

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Exercice 7 — Suite quadratique

Énoncé

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=-1,\qquad u_{n+1}=u_n^2+1. \]

1. La suite \((u_n)\) est positive pour tout \(n\in\mathbb N\).

2. La suite \((u_n)\) est croissante.

3. \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad u_n\le16\sqrt2. \]

4. La suite \((u_n)\) est convergente.

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Exercice 8 — Fonction exponentielle et symétrie

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\cos x\, e^{\sqrt{1-\cos^2x}}. \]

1. \[ f(\pi-x)-f(x)=0. \]

2. Le point : \[ I\left(\frac{\pi}{2},0\right) \] est un centre de symétrie de la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

3. La dérivée de \(f\) est : \[ f'(x)=\left(\cos^2x-\sin x\right)e^{\sin x}. \]

4. Une primitive \(F\) de \(f\) est définie par : \[ F(x)=e^{\sin x}. \]

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Exercice 9 — Logarithme d’une fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \ln\left( \frac{x-1}{x^2-x-2} \right). \]

Anomalie objective du QCM : les propositions 1 et 3 sont toutes les deux vraies sur le domaine indiqué.

1. La fonction \(f\) est définie sur : \[ ]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]

2. La fonction \(f\) peut s’écrire : \[ f(x)=\ln(x-1)-\ln(x^2-x-2) \] sur : \[ ]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]

3. \[ f'(x)= \frac1{x-1} -\frac1{x+1} -\frac1{x-2} \] sur : \[ ]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]

4. La fonction \(f\) est croissante sur \(]2,+\infty[\).

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Exercice 10 — Continuité, dérivée et asymptote

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \quad\text{si }x\ne0, \qquad f(0)=0. \]

1. La fonction \(f\) n’est pas continue en \(0\).

2. Sur \(\mathbb R^\ast\) : \[ f'(x)= \frac{\sqrt{1+x^2}+1} {x^2\sqrt{1+x^2}}. \]

3. \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1. \]

4. La droite d’équation \(y=1\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\).

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Exercice 11 — Reconnaissance de dérivées

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. La fonction : \[ x\longmapsto\cos(4(x+1)) \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto\cos(x+1)\sin(x+1). \]

2. La fonction : \[ x\longmapsto\frac1{\sin^2x} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto \ln\left(\frac{\sin x}{\cos x+1}\right). \]

3. La fonction : \[ x\longmapsto-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto \ln\left(\sqrt{x^2-1}-x\right). \]

4. La fonction : \[ x\longmapsto (\sin2x)e^{\sin^2x} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto e^{\sin^2x}. \]

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Exercice 12 — Calculs d’intégrales trigonométriques

Énoncé

On considère les deux intégrales :

\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin x\cos^2x\,dx \]

et :

\[ J=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^3x\,dx. \]

1. \[ 2I= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\cos^2x\,dx. \]

2. \[ I+J=1-\frac{\sqrt2}{2}. \]

3. \[ I=\frac{4+\sqrt2}{12}. \]

4. \[ J=\frac{5\sqrt2-8}{12}. \]

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Exercice 13 — Fonction définie par une intégrale

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \int_0^x\frac{dt}{1+t^2}. \]

1. La fonction \(f\) est paire.

2. \[ f'(x)= -\frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]

3. La fonction \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R\).

4. Pour tout \(x\in]1,+\infty[\) : \[ f(x)\lt2. \]

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Exercice 14 — Primitives et intégrales

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. \[ \int_{-2}^{2} \left(|x-1|+|x|+|x+1|\right)\,dx=0. \]

2. \[ \int_{-\pi}^{\pi}\cos|x|\,dx=0. \]

3. La fonction : \[ x\longmapsto\frac1{\cos^2x} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto\frac{\sin x}{\cos^2x} \] sur l’intervalle : \[ \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[. \]

4. La fonction : \[ x\longmapsto \frac13\sqrt{(1+x^2)^3} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto x^2\sqrt{x^2+1} \] sur \(\mathbb R\).

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Exercice 15 — Géométrie dans l’espace

Énoncé

Dans l’espace muni du repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère le plan \(P\) de repère \((A,\vec u,\vec v)\), où :

\[ A(-1,1,2), \qquad \vec u=\vec i+\vec j, \qquad \vec v=\vec i-\vec j+\vec k. \]

1. Le vecteur : \[ \vec w=\vec i+\vec j-2\vec k \] n’est pas normal au plan \(P\).

2. Une équation cartésienne du plan \(P\) est : \[ x+y-2z+6=0. \]

3. La droite \(D\), passant par \(B(1,0,-1)\) et de vecteur directeur \(\vec w\), est définie par : \[ y+x-1=0 \qquad\text{et}\qquad z+2x-1=0. \]

4. Le plan \(P\) et la droite \(D\) se coupent au point : \[ \left(-\frac12,\frac12,2\right). \]

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Anomalies objectives conservées

• Exercice 3 : les propositions 3 et 4 sont toutes les deux vraies.
• Exercice 9 : les propositions 1 et 3 sont toutes les deux vraies.

Conseil de travail

Le barème pénalise les réponses fausses. Il est donc préférable de vérifier chaque proposition avant de cocher une réponse.

Ressources liées

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