Concours ENSA Marrakech 2007 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSA Marrakech 2007 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.

Session du 25 juillet 2007 — Durée : 1 h 30 — 15 exercices QCM.

Compétences et points clés

Marrakech ENSA 2007 propose des assertions sur les suites, des fonctions trigonométriques et exponentielles, puis des intégrales et de l’espace. Il entraîne à reconnaître quand une propriété demande une preuve globale et quand un contre-exemple suffit.

Prérequis à revoir : quantificateurs, implication et valeur de vérité; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; sinus, cosinus, angles et identités usuelles.

Rappels de cours utiles

Négation et contre-exemple. La négation d’une affirmation universelle cherche un élément pour lequel elle échoue. Pour une implication, il faut réunir l’hypothèse et la négation de la conclusion. Un exemple compatible ne prouve pas une propriété universelle ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Trigonométrie et signes. Les identités trigonométriques s’utilisent en conservant leur domaine de validité. Dans une expression contenant une tangente ou un quotient, exclure les zéros du dénominateur. Un angle s’interprète avec son quadrant ; une racine carrée donne une valeur positive ou nulle, ce qui peut imposer une valeur absolue.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour les affirmations sur les suites, tester les hypothèses de monotonie et de bornes. Dans les expressions avec racine d’un carré, conserver la valeur absolue. Pour une fonction définie par une intégrale, vérifier la continuité de l’intégrande avant d’en tirer une dérivée.

Cette page reproduit l’énoncé de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech, année universitaire 2006-2007.

Le sujet comporte quinze exercices indépendants portant notamment sur les suites, les nombres complexes, les probabilités, les fonctions, les intégrales et la géométrie dans l’espace.

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Consignes de l’épreuve

• La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
• Chaque exercice propose quatre affirmations.
• Une seule réponse est annoncée comme correcte par le sujet.
• Réponse juste : \(+1\) point.
• Réponse fausse : \(-1\) point.
• Absence de réponse : \(0\) point.
• Plus d’une case cochée : \(-1\) point.

Accès rapide aux exercices

Ex. 1Ex. 2Ex. 3Ex. 4Ex. 5Ex. 6Ex. 7Ex. 8Ex. 9Ex. 10Ex. 11Ex. 12Ex. 13Ex. 14Ex. 15

Énoncé — ENSA Marrakech 2007

Exercice 1 — Limites de suites

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2n^2-(-1)^n n+1}{n+3} \quad\text{n’existe pas.} \]

2. \[ \lim_{n\to+\infty} \bigl(\ln(n+1)-\ln(n+2)\bigr) \quad\text{n’existe pas.} \]

3. \[ \lim_{n\to+\infty}\sin(n) \quad\text{n’existe pas.} \]

4. \[ \lim_{n\to+\infty} \left((-0{,}7)^n+(0{,}7)^n\right) \quad\text{n’existe pas.} \]

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Exercice 2 — Propriétés des suites réelles

Énoncé

On considère une suite réelle \((u_n)\). Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. Une suite \((u_n)\) croissante est-elle nécessairement divergente vers \(+\infty\) ?

2. Une suite \((u_n)\) divergente vers \(+\infty\) est-elle nécessairement croissante ?

3. Une suite \((u_n)\) bornée est-elle nécessairement convergente ?

4. Une suite \((u_n)\) croissante et non majorée diverge-t-elle nécessairement vers \(+\infty\) ?

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Exercice 3 — Nombres complexes et géométrie

Énoncé

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions complexes de l’équation :

\[ z^2-4z+6=0. \]

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\), on considère les points \(M_1\) et \(M_2\) d’affixes respectives \(z_1\) et \(z_2\), puis \(I\), milieu du segment \([M_1,M_2]\).

Anomalie objective du QCM : les propositions 3 et 4 sont toutes les deux vraies, alors que la consigne générale annonce une seule réponse correcte.

1. Le nombre \(z_1+z_2\) est imaginaire pur.

2. L’affixe du point \(I\) est imaginaire pure.

3. Les droites \((OI)\) et \((M_1M_2)\) sont perpendiculaires.

4. Le triangle \(OM_1M_2\) n’est pas équilatéral.

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Exercice 4 — Polynôme et équations associées

Énoncé

Soit le polynôme :

\[ P(X)=2X^3+X^2-5X+2. \]

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. Les réels \(-2\), \(\frac12\) et \(-1\) sont solutions de l’équation \(P(x)=0\).

2. L’ensemble des solutions réelles de : \[ 2e^{3x}+e^{2x}-5e^x+2=0 \] est : \[ S=\{\ln2,0\}. \]

3. L’ensemble des solutions réelles de : \[ 2(\ln x)^3+(\ln x)^2-5\ln x+2=0 \] est : \[ S=\left\{e,\frac1{e^2},\sqrt e\right\}. \]

4. L’ensemble des solutions réelles de : \[ 2\sin^3x+\sin^2x-5\sin x+2=0 \] est : \[ S=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right\}. \]

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Exercice 5 — Probabilités — tirage simultané

Énoncé

Un sac contient \(10\) boules numérotées de \(1\) à \(10\). On extrait simultanément trois boules.

1. La probabilité que les trois boules contiennent toutes les boules du sac dont le numéro est un multiple de \(5\) est : \[ \frac{2}{15}. \]

2. La probabilité qu’il y ait au plus une boule dont le numéro est un multiple de \(5\) est : \[ \frac{13}{15}. \]

3. La probabilité qu’il y ait au moins une boule dont le numéro est un multiple de \(5\) est : \[ \frac{8}{15}. \]

4. La probabilité que les trois boules soient toutes les boules du sac dont le numéro est un multiple de \(3\) est : \[ \frac1{60}. \]

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Exercice 6 — Suites définies par récurrence

Énoncé

Soient les suites numériques \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb N}\) définies par :

\[ u_0=0,\qquad u_{n+1}=u_n-1,\qquad v_n=3^{u_n}. \]

1. La suite \((v_n)\) est géométrique.

2. La suite \((v_n)\) est divergente.

3. Pour tout entier \(n\gt0\), si : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n, \] alors : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n=\frac12. \]

4. La suite \((w_n)\), définie par \(w_n=\ln(v_n)\), est géométrique.

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Exercice 7 — Suite quadratique

Énoncé

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=-1,\qquad u_{n+1}=u_n^2+1. \]

1. La suite \((u_n)\) est positive pour tout \(n\in\mathbb N\).

2. La suite \((u_n)\) est croissante.

3. \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad u_n\le16\sqrt2. \]

4. La suite \((u_n)\) est convergente.

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Exercice 8 — Fonction exponentielle et symétrie

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\cos x\, e^{\sqrt{1-\cos^2x}}. \]

1. \[ f(\pi-x)-f(x)=0. \]

2. Le point : \[ I\left(\frac{\pi}{2},0\right) \] est un centre de symétrie de la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

3. La dérivée de \(f\) est : \[ f'(x)=\left(\cos^2x-\sin x\right)e^{\sin x}. \]

4. Une primitive \(F\) de \(f\) est définie par : \[ F(x)=e^{\sin x}. \]

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Exercice 9 — Logarithme d’une fonction rationnelle

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \ln\left( \frac{x-1}{x^2-x-2} \right). \]

Anomalie objective du QCM : les propositions 1 et 3 sont toutes les deux vraies sur le domaine indiqué.

1. La fonction \(f\) est définie sur : \[ ]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]

2. La fonction \(f\) peut s’écrire : \[ f(x)=\ln(x-1)-\ln(x^2-x-2) \] sur : \[ ]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]

3. \[ f'(x)= \frac1{x-1} -\frac1{x+1} -\frac1{x-2} \] sur : \[ ]-1,1[\ \cup\ ]2,+\infty[. \]

4. La fonction \(f\) est croissante sur \(]2,+\infty[\).

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Exercice 10 — Continuité, dérivée et asymptote

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \quad\text{si }x\ne0, \qquad f(0)=0. \]

1. La fonction \(f\) n’est pas continue en \(0\).

2. Sur \(\mathbb R^\ast\) : \[ f'(x)= \frac{\sqrt{1+x^2}+1} {x^2\sqrt{1+x^2}}. \]

3. \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1. \]

4. La droite d’équation \(y=1\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\).

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Exercice 11 — Reconnaissance de dérivées

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. La fonction : \[ x\longmapsto\cos(4(x+1)) \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto\cos(x+1)\sin(x+1). \]

2. La fonction : \[ x\longmapsto\frac1{\sin^2x} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto \ln\left(\frac{\sin x}{\cos x+1}\right). \]

3. La fonction : \[ x\longmapsto-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto \ln\left(\sqrt{x^2-1}-x\right). \]

4. La fonction : \[ x\longmapsto (\sin2x)e^{\sin^2x} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto e^{\sin^2x}. \]

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Exercice 12 — Calculs d’intégrales trigonométriques

Énoncé

On considère les deux intégrales :

\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin x\cos^2x\,dx \]

et :

\[ J=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^3x\,dx. \]

1. \[ 2I= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\cos^2x\,dx. \]

2. \[ I+J=1-\frac{\sqrt2}{2}. \]

3. \[ I=\frac{4+\sqrt2}{12}. \]

4. \[ J=\frac{5\sqrt2-8}{12}. \]

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Exercice 13 — Fonction définie par une intégrale

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \int_0^x\frac{dt}{1+t^2}. \]

1. La fonction \(f\) est paire.

2. \[ f'(x)= -\frac{2x}{(1+x^2)^2}. \]

3. La fonction \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R\).

4. Pour tout \(x\in]1,+\infty[\) : \[ f(x)\lt2. \]

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Exercice 14 — Primitives et intégrales

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

1. \[ \int_{-2}^{2} \left(|x-1|+|x|+|x+1|\right)\,dx=0. \]

2. \[ \int_{-\pi}^{\pi}\cos|x|\,dx=0. \]

3. La fonction : \[ x\longmapsto\frac1{\cos^2x} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto\frac{\sin x}{\cos^2x} \] sur l’intervalle : \[ \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[. \]

4. La fonction : \[ x\longmapsto \frac13\sqrt{(1+x^2)^3} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto x^2\sqrt{x^2+1} \] sur \(\mathbb R\).

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Exercice 15 — Géométrie dans l’espace

Énoncé

Dans l’espace muni du repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère le plan \(P\) de repère \((A,\vec u,\vec v)\), où :

\[ A(-1,1,2), \qquad \vec u=\vec i+\vec j, \qquad \vec v=\vec i-\vec j+\vec k. \]

1. Le vecteur : \[ \vec w=\vec i+\vec j-2\vec k \] n’est pas normal au plan \(P\).

2. Une équation cartésienne du plan \(P\) est : \[ x+y-2z+6=0. \]

3. La droite \(D\), passant par \(B(1,0,-1)\) et de vecteur directeur \(\vec w\), est définie par : \[ y+x-1=0 \qquad\text{et}\qquad z+2x-1=0. \]

4. Le plan \(P\) et la droite \(D\) se coupent au point : \[ \left(-\frac12,\frac12,2\right). \]

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Anomalies objectives conservées

• Exercice 3 : les propositions 3 et 4 sont toutes les deux vraies.
• Exercice 9 : les propositions 1 et 3 sont toutes les deux vraies.

Conseil de travail

Le barème pénalise les réponses fausses. Il est donc préférable de vérifier chaque proposition avant de cocher une réponse.

Ressources liées

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