Concours ENSA Maroc 2013 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2013.
Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.
Compétences et points clés
ENSA 2013 commence par probabilité de réussite et constitution d’un comité, puis passe aux limites et à l’algèbre matricielle. Le sujet entraîne à choisir le modèle de comptage et à exploiter la forme particulière d’une expression au lieu de développer sans stratégie.
Prérequis à revoir : événements, intersections et arbres pondérés; combinaisons, arrangements et permutations; identités remarquables et factorisation.
Rappels de cours utiles
Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.
Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.
Quantité conjuguée. Une différence de racines peut être transformée en multipliant par la somme correspondante. Cette transformation doit être effectuée là où son dénominateur est non nul ; elle permet souvent de faire apparaître un facteur commun avant le passage à la limite.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour la réussite selon la mention, organiser les branches avant la probabilité totale. Pour le comité, distinguer choix de membres et désignation des fonctions. Dans la limite à racines, utiliser la quantité conjuguée. Pour une puissance matricielle, observer la structure de la matrice et vérifier une relation exploitable.
Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2013.
Le sujet couvre les probabilités, le dénombrement, l’arithmétique, les sommes, les limites, les intégrales, la géométrie analytique, les espaces vectoriels et le calcul matriciel.
Consignes
- La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
- L’épreuve comporte 20 questions.
- Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
- Une seule proposition est correcte pour chaque question.
- Barème indiqué sur la fiche-réponses : réponse juste \(=1\) point ; réponse fausse \(=-1\) point ; absence de réponse \(=0\) point.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Le comité du concours ENSA sait par expérience que la probabilité de réussir le concours est :
- \(0{,}95\) pour un candidat ayant obtenu la mention « Très bien » au baccalauréat ;
- \(0{,}50\) pour un candidat ayant obtenu la mention « Bien » ;
- \(0{,}20\) pour les autres candidats.
Parmi les candidats au concours ENSA 2013, \(35\%\) ont la mention « Très bien » et \(50\%\) ont la mention « Bien ».
On choisit au hasard un candidat ayant réussi le concours. La probabilité qu’il n’ait obtenu ni la mention « Très bien » ni la mention « Bien » est :
Question 2
Le conseil d’une ENSA comprend \(5\) mathématiciens et \(6\) physiciens. On doit former un comité de concours composé de \(3\) mathématiciens et de \(3\) physiciens.
Le règlement impose que les deux physiciens les plus âgés fassent obligatoirement partie du comité.
Le nombre de comités différents que l’on peut former est :
Question 3
Le reste de la division euclidienne par \(7\) du nombre :
\[ 1234^{4321}+4321^{1234} \]est égal à :
Question 4
Le nombre :
\[ 2^{100}-1 \]Question 5
Calculer :
\[ S=\sum_{k=1}^{35}k^2. \]Question 6
Calculer :
\[ \sum_{k=1}^{10}\frac1{k(k+1)}. \]Question 7
On note \(E(x)\) la partie entière du réel \(x\). Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}E(7k). \]Question 8
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\,2+(-1)^n\,}. \]Question 9
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation complexe :
\[ z^2=5-12i. \]La quantité :
\[ \operatorname{Re}(z_1)\operatorname{Im}(z_2) \]vaut :
Question 10
On considère le nombre complexe :
\[ z= \left( \frac{1+i\sqrt3}{1-i} \right)^{20}. \]Sa partie imaginaire est :
Question 11
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt{x+x^2}-\sqrt x} {\sqrt{3x}\,\ln(1+x)}. \]Question 12
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos(2x))} {\ln(\cos(3x))}. \]Question 13
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x+x^2} {\ln(x+x^2)}. \]Question 14
Calculer :
\[ \int_0^3\frac{dx}{3+2^x}. \]Question 15
Calculer :
\[ \int_0^1\ln(1+x^2)\,dx. \]Question 16
Calculer :
\[ \int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx. \]Question 17
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\). On considère :
\[ A(-4,5),\qquad B(5,2),\qquad C(-2,1). \]La distance du point \(C\) à la droite \((AB)\) est égale à :
Question 18
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté :
\[ 4\sqrt3\ \text{cm}. \]Si \(M\) est un point intérieur quelconque du triangle \(ABC\), la somme des distances de \(M\) aux trois côtés de \(ABC\) vaut :
Question 19
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(H_1\), \(H_2\) deux sous-espaces vectoriels distincts de \(E\).
On suppose :
\[ \dim E=4, \qquad \dim H_1=\dim H_2=3. \]Alors :
\[ \dim(H_1\cap H_2)= \]Question 20
On considère la matrice :
\[ B= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]La matrice \(B^{13}\) vaut :
Conseil de travail
Traiter d’abord les questions les plus directes, puis revenir aux questions nécessitant une transformation plus longue. Pour les dernières questions, identifier précisément les résultats de géométrie, d’algèbre linéaire ou de calcul matriciel utilisés.
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