Concours ENSA Maroc 2013 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2013.
Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.
Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2013.
Le sujet couvre les probabilités, le dénombrement, l’arithmétique, les sommes, les limites, les intégrales, la géométrie analytique, les espaces vectoriels et le calcul matriciel.
Consignes
- La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
- L’épreuve comporte 20 questions.
- Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
- Une seule proposition est correcte pour chaque question.
- Barème indiqué sur la fiche-réponses : réponse juste \(=1\) point ; réponse fausse \(=-1\) point ; absence de réponse \(=0\) point.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Le comité du concours ENSA sait par expérience que la probabilité de réussir le concours est :
- \(0{,}95\) pour un candidat ayant obtenu la mention « Très bien » au baccalauréat ;
- \(0{,}50\) pour un candidat ayant obtenu la mention « Bien » ;
- \(0{,}20\) pour les autres candidats.
Parmi les candidats au concours ENSA 2013, \(35\%\) ont la mention « Très bien » et \(50\%\) ont la mention « Bien ».
On choisit au hasard un candidat ayant réussi le concours. La probabilité qu’il n’ait obtenu ni la mention « Très bien » ni la mention « Bien » est :
Question 2
Le conseil d’une ENSA comprend \(5\) mathématiciens et \(6\) physiciens. On doit former un comité de concours composé de \(3\) mathématiciens et de \(3\) physiciens.
Le règlement impose que les deux physiciens les plus âgés fassent obligatoirement partie du comité.
Le nombre de comités différents que l’on peut former est :
Question 3
Le reste de la division euclidienne par \(7\) du nombre :
\[ 1234^{4321}+4321^{1234} \]est égal à :
Question 4
Le nombre :
\[ 2^{100}-1 \]Question 5
Calculer :
\[ S=\sum_{k=1}^{35}k^2. \]Question 6
Calculer :
\[ \sum_{k=1}^{10}\frac1{k(k+1)}. \]Question 7
On note \(E(x)\) la partie entière du réel \(x\). Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}E(7k). \]Question 8
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\,2+(-1)^n\,}. \]Question 9
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation complexe :
\[ z^2=5-12i. \]La quantité :
\[ \operatorname{Re}(z_1)\operatorname{Im}(z_2) \]vaut :
Question 10
On considère le nombre complexe :
\[ z= \left( \frac{1+i\sqrt3}{1-i} \right)^{20}. \]Sa partie imaginaire est :
Question 11
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt{x+x^2}-\sqrt x} {\sqrt{3x}\,\ln(1+x)}. \]Question 12
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos(2x))} {\ln(\cos(3x))}. \]Question 13
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x+x^2} {\ln(x+x^2)}. \]Question 14
Calculer :
\[ \int_0^3\frac{dx}{3+2^x}. \]Question 15
Calculer :
\[ \int_0^1\ln(1+x^2)\,dx. \]Question 16
Calculer :
\[ \int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx. \]Question 17
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\). On considère :
\[ A(-4,5),\qquad B(5,2),\qquad C(-2,1). \]La distance du point \(C\) à la droite \((AB)\) est égale à :
Question 18
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté :
\[ 4\sqrt3\ \text{cm}. \]Si \(M\) est un point intérieur quelconque du triangle \(ABC\), la somme des distances de \(M\) aux trois côtés de \(ABC\) vaut :
Question 19
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(H_1\), \(H_2\) deux sous-espaces vectoriels distincts de \(E\).
On suppose :
\[ \dim E=4, \qquad \dim H_1=\dim H_2=3. \]Alors :
\[ \dim(H_1\cap H_2)= \]Question 20
On considère la matrice :
\[ B= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]La matrice \(B^{13}\) vaut :
Conseil de travail
Traiter d’abord les questions les plus directes, puis revenir aux questions nécessitant une transformation plus longue. Pour les dernières questions, identifier précisément les résultats de géométrie, d’algèbre linéaire ou de calcul matriciel utilisés.
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