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Concours ENSA Maroc 2013 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2013 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2013.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2013.

Le sujet couvre les probabilités, le dénombrement, l’arithmétique, les sommes, les limites, les intégrales, la géométrie analytique, les espaces vectoriels et le calcul matriciel.

Voir la correction Guide ENSA Page Concours Accueil Parcours Maths Maroc

Consignes

  • La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
  • L’épreuve comporte 20 questions.
  • Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
  • Une seule proposition est correcte pour chaque question.
  • Barème indiqué sur la fiche-réponses : réponse juste \(=1\) point ; réponse fausse \(=-1\) point ; absence de réponse \(=0\) point.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Le comité du concours ENSA sait par expérience que la probabilité de réussir le concours est :

  • \(0{,}95\) pour un candidat ayant obtenu la mention « Très bien » au baccalauréat ;
  • \(0{,}50\) pour un candidat ayant obtenu la mention « Bien » ;
  • \(0{,}20\) pour les autres candidats.

Parmi les candidats au concours ENSA 2013, \(35\%\) ont la mention « Très bien » et \(50\%\) ont la mention « Bien ».

On choisit au hasard un candidat ayant réussi le concours. La probabilité qu’il n’ait obtenu ni la mention « Très bien » ni la mention « Bien » est :

A) \(0{,}0144\).
B) \(0{,}0489\).
C) \(0{,}1444\).
D) \(0{,}0498\).
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Question 2

Énoncé

Le conseil d’une ENSA comprend \(5\) mathématiciens et \(6\) physiciens. On doit former un comité de concours composé de \(3\) mathématiciens et de \(3\) physiciens.

Le règlement impose que les deux physiciens les plus âgés fassent obligatoirement partie du comité.

Le nombre de comités différents que l’on peut former est :

A) \(80\).
B) \(60\).
C) \(40\).
D) \(20\).
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Question 3

Énoncé

Le reste de la division euclidienne par \(7\) du nombre :

\[ 1234^{4321}+4321^{1234} \]

est égal à :

A) \(1\).
B) \(2\).
C) \(3\).
D) \(4\).
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Question 4

Énoncé

Le nombre :

\[ 2^{100}-1 \]
A) est divisible par \(31\) et non par \(3\).
B) est divisible par \(3\) et non par \(31\).
C) est divisible par \(3\) et par \(31\).
D) n’est divisible ni par \(3\) ni par \(31\).
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Question 5

Énoncé

Calculer :

\[ S=\sum_{k=1}^{35}k^2. \]
A) \(14512\).
B) \(14510\).
C) \(14910\).
D) \(14215\).
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Question 6

Énoncé

Calculer :

\[ \sum_{k=1}^{10}\frac1{k(k+1)}. \]
A) \(\dfrac{12}{11}\).
B) \(\dfrac{11}{10}\).
C) \(\dfrac{11}{12}\).
D) \(\dfrac{10}{11}\).
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Question 7

Énoncé

On note \(E(x)\) la partie entière du réel \(x\). Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}E(7k). \]
A) \(7\).
B) \(\dfrac72\).
C) \(\dfrac73\).
D) \(\dfrac74\).
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Question 8

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\,2+(-1)^n\,}. \]
A) \(1\).
B) \(\sqrt2\).
C) \(\sqrt3\).
D) \(+\infty\).
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Question 9

Énoncé

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation complexe :

\[ z^2=5-12i. \]

La quantité :

\[ \operatorname{Re}(z_1)\operatorname{Im}(z_2) \]

vaut :

A) \(6\).
B) \(3\).
C) \(-6\).
D) \(0\).
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Question 10

Énoncé

On considère le nombre complexe :

\[ z= \left( \frac{1+i\sqrt3}{1-i} \right)^{20}. \]

Sa partie imaginaire est :

A) \((\sqrt3)^{20}\).
B) \(-512\sqrt3\).
C) \(-20\sqrt3\).
D) \(+512\sqrt3\).
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Question 11

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt{x+x^2}-\sqrt x} {\sqrt{3x}\,\ln(1+x)}. \]
A) \(\dfrac1{2\sqrt3}\).
B) \(\dfrac1{3\sqrt3}\).
C) \(+\infty\).
D) \(0\).
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Question 12

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos(2x))} {\ln(\cos(3x))}. \]
A) \(\dfrac32\).
B) \(\dfrac23\).
C) \(\dfrac49\).
D) \(\dfrac94\).
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Question 13

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x+x^2} {\ln(x+x^2)}. \]
A) \(1\).
B) \(0\).
C) \(-\infty\).
D) \(+\infty\).
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Question 14

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^3\frac{dx}{3+2^x}. \]
A) \(\displaystyle-\frac{\ln(11)}{\ln(8)}\).
B) \(\displaystyle\frac53\).
C) \(\displaystyle\frac15-\frac{\ln(11)}{\ln(8)}\).
D) \(\displaystyle\frac53-\frac{\ln(11)}{\ln(8)}\).
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Question 15

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1\ln(1+x^2)\,dx. \]
A) \(\ln2\).
B) \(\ln2-2\).
C) \(\dfrac{\pi}{2}\).
D) \(\displaystyle\ln2-2+\frac{\pi}{2}\).
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Question 16

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx. \]
A) \(\dfrac{\pi}{8}\).
B) \(\pi\).
C) \(0\).
D) \(\dfrac{\pi}{16}\).
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Question 17

Énoncé

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\). On considère :

\[ A(-4,5),\qquad B(5,2),\qquad C(-2,1). \]

La distance du point \(C\) à la droite \((AB)\) est égale à :

A) \(\sqrt5\).
B) \(\sqrt{10}\).
C) \(2\sqrt{10}\).
D) \(10\sqrt2\).
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Question 18

Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté :

\[ 4\sqrt3\ \text{cm}. \]

Si \(M\) est un point intérieur quelconque du triangle \(ABC\), la somme des distances de \(M\) aux trois côtés de \(ABC\) vaut :

A) \(\dfrac{7\sqrt3}{2}\).
B) \(6\sqrt3\).
C) \(6\).
D) \(\sqrt3\).
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Question 19

Énoncé

Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(H_1\), \(H_2\) deux sous-espaces vectoriels distincts de \(E\).

On suppose :

\[ \dim E=4, \qquad \dim H_1=\dim H_2=3. \]

Alors :

\[ \dim(H_1\cap H_2)= \]
A) \(0\).
B) \(1\).
C) \(2\).
D) \(3\).
La notation \(\dim X\) désigne la dimension de l’espace vectoriel \(X\), c’est-à-dire le nombre de vecteurs d’une base de \(X\).
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Question 20

Énoncé

On considère la matrice :

\[ B= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]

La matrice \(B^{13}\) vaut :

A) \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&13&91\\ 0&1&13\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\).
B) \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&13&92\\ 0&1&13\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\).
C) \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&13&93\\ 0&1&13\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\).
D) \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&13&94\\ 0&1&13\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\).
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Conseil de travail

Traiter d’abord les questions les plus directes, puis revenir aux questions nécessitant une transformation plus longue. Pour les dernières questions, identifier précisément les résultats de géométrie, d’algèbre linéaire ou de calcul matriciel utilisés.

Ressources liées

Guide Concours ENSA Maroc Concours — Énoncés et corrections Accueil Parcours Maths Maroc 2e Bac Sciences Mathématiques A/B 2e Bac PC/SVT

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