Correction Concours ENSA Maroc 2013 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2013.
Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2013.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Probabilité conditionnelle
Les probabilités de réussite sont \(0{,}95\), \(0{,}50\) et \(0{,}20\) selon la mention. Les proportions de candidats sont respectivement \(35\%\), \(50\%\) et \(15\%\).
On choisit un candidat ayant réussi. Calculer la probabilité qu’il appartienne au troisième groupe.
On utilise la formule de Bayes : \[ P(O\mid R)=\frac{P(O\cap R)}{P(R)}. \]
Notons \(T\), \(B\) et \(O\) les trois catégories, et \(R\) l’événement « réussir ».
\[ P(R) = 0{,}35\times0{,}95 + 0{,}50\times0{,}50 + 0{,}15\times0{,}20. \]Donc :
\[ P(R)=0{,}3325+0{,}25+0{,}03=0{,}6125. \]De plus :
\[ P(O\cap R)=0{,}15\times0{,}20=0{,}03. \]Ainsi :
\[ P(O\mid R) = \frac{0{,}03}{0{,}6125} \approx0{,}0489. \]Question 2 — Dénombrement d’un comité
Le conseil contient \(5\) mathématiciens et \(6\) physiciens. Le comité doit comprendre \(3\) mathématiciens et \(3\) physiciens, avec les deux physiciens les plus âgés obligatoirement présents.
On choisit les mathématiciens, puis le troisième physicien parmi les quatre restants.
Le choix des trois mathématiciens peut se faire de :
\[ \mathrm C_5^3=10 \]façons.
Les deux physiciens les plus âgés sont imposés. Il reste à choisir un physicien parmi les quatre autres :
\[ \mathrm C_4^1=4. \]Le nombre total de comités est donc :
\[ 10\times4=40. \]Question 3 — Calcul modulo \(7\)
Déterminer le reste modulo \(7\) de :
\[ 1234^{4321}+4321^{1234}. \]La notation :
\[ a\equiv b\pmod m \]signifie que \(a\) et \(b\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(m\), ou encore que \(a-b\) est divisible par \(m\).
On réduit d’abord les bases modulo \(7\). Comme \(2^6\equiv1\pmod7\), les puissances de \(2\) se répètent avec une période de \(6\).
On a :
\[ 1234\equiv2\pmod7, \qquad 4321\equiv2\pmod7. \]De plus :
\[ 4321\equiv1\pmod6, \qquad 1234\equiv4\pmod6. \]Donc :
\[ 1234^{4321}\equiv2^1\equiv2\pmod7, \] \[ 4321^{1234}\equiv2^4\equiv16\equiv2\pmod7. \]Finalement :
\[ 1234^{4321}+4321^{1234}\equiv4\pmod7. \]Question 4 — Divisibilité de \(2^{100}-1\)
Étudier la divisibilité de :
\[ 2^{100}-1 \]par \(3\) et par \(31\).
On utilise : \[ 2^2\equiv1\pmod3 \qquad\text{et}\qquad 2^5\equiv1\pmod{31}. \]
Comme \(100\) est pair :
\[ 2^{100}=(2^2)^{50}\equiv1\pmod3. \]Donc :
\[ 2^{100}-1\equiv0\pmod3. \]D’autre part :
\[ 2^5=32\equiv1\pmod{31}. \]Comme \(100=5\times20\) :
\[ 2^{100}=(2^5)^{20}\equiv1\pmod{31}. \]Ainsi :
\[ 2^{100}-1\equiv0\pmod{31}. \]Question 5 — Somme des carrés
On utilise : \[ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]
Donc :
\[ S = 35\times6\times71 = 210\times71 = 14910. \]Question 6 — Somme télescopique
On décompose : \[ \frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}. \]
Les termes intermédiaires se simplifient :
\[ 1-\frac1{11} = \frac{10}{11}. \]Question 7 — Partie entière et somme
Comme \(7k\) est un entier, \(E(7k)=7k\).
Donc :
\[ \frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}E(7k) = \frac72\frac{n+1}{n}. \]Par conséquent :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}E(7k) = \frac72. \]Question 8 — Racine \(n\)-ième
On distingue les indices pairs et impairs.
Si \(n\) est pair :
\[ 2+(-1)^n=3, \qquad \sqrt[n]{3}\longrightarrow1. \]Si \(n\) est impair :
\[ 2+(-1)^n=1, \qquad \sqrt[n]{1}=1. \]Les deux sous-suites ont la même limite. Donc :
\[ \sqrt[n]{2+(-1)^n}\longrightarrow1. \]Question 9 — Racines carrées complexes
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de :
\[ z^2=5-12i. \]Calculer :
\[ \operatorname{Re}(z_1)\operatorname{Im}(z_2). \]Si \(z=a+ib\), alors :
\[ \operatorname{Re}(z)=a \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Im}(z)=b. \]Autrement dit, \(\operatorname{Re}(z)\) est la partie réelle de \(z\) et \(\operatorname{Im}(z)\) sa partie imaginaire.
On cherche ensuite une écriture \(5-12i=(a+ib)^2\).
On vérifie :
\[ (3-2i)^2 = 9-12i-4 = 5-12i. \]Les deux solutions sont donc :
\[ z_1=3-2i, \qquad z_2=-3+2i, \]à l’ordre près.
Dans les deux cas :
\[ \operatorname{Re}(z_1)\operatorname{Im}(z_2) = 3\times2 = 6. \]Question 10 — Puissance d’un nombre complexe
On considère :
\[ z= \left( \frac{1+i\sqrt3}{1-i} \right)^{20}. \]Déterminer sa partie imaginaire.
On met le quotient sous forme trigonométrique.
On a :
\[ 1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}, \qquad 1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}. \]Donc :
\[ \frac{1+i\sqrt3}{1-i} = \sqrt2\,e^{i7\pi/12}. \]Ainsi :
\[ z = (\sqrt2)^{20}e^{i35\pi/3} = 1024\,e^{i35\pi/3}. \]Or :
\[ e^{i35\pi/3} = \frac12-\frac{i\sqrt3}{2}. \]Donc :
\[ z=512-512i\sqrt3. \]Sa partie imaginaire vaut :
\[ -512\sqrt3. \]Question 11 — Limite avec une racine
On factorise \(\sqrt x\) puis on rationalise \(\sqrt{1+x}-1\).
Le quotient devient :
\[ \frac{\sqrt x\bigl(\sqrt{1+x}-1\bigr)} {\sqrt3\,\sqrt x\,\ln(1+x)} = \frac{\sqrt{1+x}-1} {\sqrt3\,\ln(1+x)}. \]Or :
\[ \sqrt{1+x}-1 = \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}. \]Donc :
\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{\ln(1+x)} = \frac{x}{\ln(1+x)} \cdot \frac1{\sqrt{1+x}+1}. \]Lorsque \(x\to0^+\) :
\[ \frac{x}{\ln(1+x)}\to1, \qquad \sqrt{1+x}+1\to2. \]Ainsi :
\[ \lim = \frac1{\sqrt3}\times\frac12 = \frac1{2\sqrt3}. \]Question 12 — Rapport de logarithmes
On utilise les limites usuelles :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. \]On utilise aussi l’identité :
\[ 1-\cos u=2\sin^2\left(\frac u2\right). \]Pour \(x\) assez proche de \(0\), on a \(\cos(2x)\gt0\) et \(\cos(3x)\gt0\), donc les logarithmes sont bien définis.
On écrit :
\[ \frac{\ln(\cos(2x))}{\ln(\cos(3x))} = \frac{\ln(\cos(2x))}{\cos(2x)-1} \cdot \frac{\cos(2x)-1}{\cos(3x)-1} \cdot \frac{\cos(3x)-1}{\ln(\cos(3x))}. \]Lorsque \(x\to0\), on a \(\cos(2x)\to1\). En posant \(u=\cos(2x)-1\), la limite usuelle donne :
\[ \frac{\ln(\cos(2x))}{\cos(2x)-1} = \frac{\ln(1+u)}u \longrightarrow1. \]De même :
\[ \frac{\cos(3x)-1}{\ln(\cos(3x))} \longrightarrow1. \]Il reste à calculer :
\[ \frac{\cos(2x)-1}{\cos(3x)-1}. \]À l’aide de \(1-\cos u=2\sin^2\left(\frac u2\right)\), on obtient :
\[ \frac{\cos(2x)-1}{\cos(3x)-1} = \frac{1-\cos(2x)}{1-\cos(3x)} = \frac{2\sin^2x}{2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)}. \]Donc :
\[ \frac{\cos(2x)-1}{\cos(3x)-1} = \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \left( \frac{\frac{3x}{2}}{\sin\left(\frac{3x}{2}\right)} \right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2. \]Lorsque \(x\to0\), les deux premiers facteurs tendent vers \(1\). Ainsi :
\[ \frac{\cos(2x)-1}{\cos(3x)-1} \longrightarrow \frac49. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos(2x))} {\ln(\cos(3x))} = \frac49. \]Question 13 — Limite logarithmique
On écrit : \[ \ln(x+x^2)=\ln x+\ln(1+x). \]
Le quotient devient :
\[ \frac{\ln x+x^2} {\ln x+\ln(1+x)}. \]On divise le numérateur et le dénominateur par \(\ln x\), qui tend vers \(-\infty\) :
\[ \frac{1+\frac{x^2}{\ln x}} {1+\frac{\ln(1+x)}{\ln x}}. \]Or :
\[ \frac{x^2}{\ln x}\to0, \qquad \frac{\ln(1+x)}{\ln x}\to0. \]Donc la limite vaut :
\[ 1. \]Question 14 — Intégrale avec \(2^x\)
On pose \(t=2^x\), donc \(dt=t\ln2\,dx\).
Lorsque \(x\) varie de \(0\) à \(3\), \(t\) varie de \(1\) à \(8\). Ainsi :
\[ I = \frac1{\ln2}\int_1^8\frac{dt}{t(t+3)}. \]Or :
\[ \frac1{t(t+3)} = \frac13\left(\frac1t-\frac1{t+3}\right). \]Donc :
\[ I = \frac1{3\ln2} \left[ \ln t-\ln(t+3) \right]_1^8. \]Ainsi :
\[ I = \frac1{3\ln2} \ln\left(\frac{32}{11}\right). \]Comme \(\ln8=3\ln2\) et \(\ln32=5\ln2\) :
\[ I = \frac53-\frac{\ln11}{\ln8}. \]Question 15 — Intégration par parties
On effectue une intégration par parties avec \(u=\ln(1+x^2)\) et \(dv=dx\).
On a :
\[ du=\frac{2x}{1+x^2}\,dx, \qquad v=x. \]Donc :
\[ I = \left[x\ln(1+x^2)\right]_0^1 - 2\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx. \]Or :
\[ \frac{x^2}{1+x^2} = 1-\frac1{1+x^2}. \]Ainsi :
\[ I = \ln2 - 2\int_0^1\left(1-\frac1{1+x^2}\right)dx. \]Donc :
\[ I = \ln2-2+2\left[\arctan x\right]_0^1. \]Finalement :
\[ I = \ln2-2+\frac{\pi}{2}. \]Question 16 — Intégrale trigonométrique
On pose \(x=\sin t\), avec \(t\in[0,\pi/2]\).
Avec \(x=\sin t\) :
\[ dx=\cos t\,dt, \qquad \sqrt{1-x^2}=\cos t. \]Donc :
\[ I = \int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^2t\,dt. \]Or :
\[ \sin^2t\cos^2t = \frac14\sin^2(2t) = \frac18\bigl(1-\cos(4t)\bigr). \]Ainsi :
\[ I = \frac18 \left[ t-\frac{\sin(4t)}4 \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{16}. \]Question 17 — Distance d’un point à une droite
On considère :
\[ A(-4,5),\qquad B(5,2),\qquad C(-2,1). \]Calculer la distance du point \(C\) à la droite \((AB)\).
Un vecteur normal à une droite est un vecteur perpendiculaire à cette droite.
Si une droite a pour équation :
\[ ax+by+c=0, \]alors la distance du point \(M(x_0,y_0)\) à cette droite est :
\[ d(M,\Delta) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \]Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est :
\[ \overrightarrow{AB} = (5-(-4),\,2-5) = (9,-3). \]Le vecteur \((1,3)\) est perpendiculaire à \((9,-3)\), car :
\[ 9\times1+(-3)\times3=0. \]Il s’agit donc d’un vecteur normal à \((AB)\). Une équation de cette droite est de la forme :
\[ x+3y+c=0. \]Comme \(A(-4,5)\) appartient à la droite :
\[ -4+3\times5+c=0, \]d’où :
\[ c=-11. \]Ainsi, une équation de \((AB)\) est :
\[ x+3y-11=0. \]La distance de \(C(-2,1)\) à cette droite vaut alors :
\[ d = \frac{|-2+3\times1-11|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}. \]Question 18 — Théorème de Viviani
Le triangle \(ABC\) est équilatéral de côté \(4\sqrt3\ \text{cm}\). Pour un point intérieur \(M\), calculer la somme des distances de \(M\) aux trois côtés.
Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur aux trois côtés est égale à la hauteur du triangle.
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté \(a\) vaut :
\[ h=\frac{a\sqrt3}{2}. \]Ici :
\[ a=4\sqrt3. \]Donc :
\[ h = \frac{4\sqrt3\times\sqrt3}{2} = \frac{12}{2} = 6. \]La somme demandée vaut donc :
\[ 6. \]Question 19 — Intersection de deux sous-espaces
Dans un espace vectoriel réel \(E\) de dimension \(4\), on considère deux sous-espaces distincts \(H_1\) et \(H_2\), chacun de dimension \(3\).
Calculer \(\dim(H_1\cap H_2)\).
Le sous-espace \(H_1+H_2\) est l’ensemble des vecteurs qui peuvent s’écrire sous la forme \(u+v\), avec \(u\in H_1\) et \(v\in H_2\).
On utilise la formule :
\[ \dim(H_1+H_2) = \dim H_1+\dim H_2-\dim(H_1\cap H_2). \]Cette formule relie les dimensions de la somme et de l’intersection de deux sous-espaces vectoriels.
Comme \(H_1+H_2\subset E\) :
\[ \dim(H_1+H_2)\le4. \]Donc :
\[ 3+3-\dim(H_1\cap H_2)\le4. \]Ainsi :
\[ \dim(H_1\cap H_2)\ge2. \]Si cette dimension valait \(3\), alors \(H_1=H_2\), contrairement à l’hypothèse.
Donc :
\[ \dim(H_1\cap H_2)=2. \]Question 20 — Puissance d’une matrice triangulaire
On considère :
\[ B= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]Calculer \(B^{13}\).
La lettre \(I\) désigne la matrice identité d’ordre \(3\) :
\[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]On écrit \(B=I+N\). Comme \(I\) commute avec toute matrice, on peut appliquer la formule du binôme :
\[ (I+N)^n = \sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^kN^k. \]Ici, \(N^3=0\), donc toutes les puissances \(N^k\) sont nulles à partir de \(k=3\). Il ne reste que les termes correspondant à \(k=0\), \(k=1\) et \(k=2\).
Le symbole \(\mathrm C_n^k\) désigne le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\).
Posons :
\[ N= \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}. \]Alors :
\[ B=I+N, \qquad N^2= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad N^3=0. \]Donc :
\[ B^{13} = (I+N)^{13} = I+13N+\mathrm C_{13}^{2}N^2. \]Or :
\[ \mathrm C_{13}^{2}=78. \]Le coefficient situé en première ligne et troisième colonne vaut :
\[ 13+78=91. \]Ainsi :
\[ B^{13} = \begin{pmatrix} 1&13&91\\ 0&1&13\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]Conseil de travail
Cette épreuve contient plusieurs notions plus avancées que le programme usuel du baccalauréat, notamment les espaces vectoriels et les matrices. Dans ce cas, il faut d’abord identifier la définition ou le résultat utilisé, puis l’appliquer sans sauter les étapes de calcul.
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