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Concours ENSA Maroc 2014 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2014 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Août 2014.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2014.

Le sujet est structuré en six exercices portant sur les suites, les intégrales, les radicaux, les probabilités conditionnelles et la géométrie complexe.

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Signalement concernant les questions 18 et 19 : plusieurs écritures exponentielles proposées décrivent le même cercle lorsque le paramètre réel parcourt \(\mathbb R\). Les propositions de la copie originale sont reproduites fidèlement ; l’ambiguïté sera analysée dans la correction.

Consignes

  • La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
  • L’épreuve comporte 20 questions.
  • Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
  • La fiche officielle indique normalement une seule réponse correcte par question.

Énoncé — Mathématiques

Exercice 1 — Suites récurrentes

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) les suites réelles définies par :

\[ u_0=\alpha,\qquad v_0=\beta,\qquad 0\lt\alpha\lt\beta, \] \[ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+v_n}, \qquad v_{n+1}=\frac{v_n^2}{u_n+v_n} \qquad(n\in\mathbb N). \]

On pose :

\[ x_n=\frac{u_n}{v_n}, \qquad y_n=u_n-v_n. \]

Question 1

Énoncé

La suite \((x_n)\) :

A) converge vers \(\dfrac{\alpha}{\beta}\).
B) converge vers \(1\).
C) converge vers \(0\).
D) diverge.
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Question 2

Énoncé

La suite \((y_n)\) :

A) converge vers \(\alpha-\beta\).
B) converge vers \(\alpha+\beta\).
C) converge vers \(0\).
D) diverge.
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Question 3

Énoncé

La suite \((u_n)\) :

A) converge vers \(\alpha\).
B) converge vers \(\beta\).
C) converge vers \(0\).
D) diverge.
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Question 4

Énoncé

La suite \((v_n)\) :

A) converge vers \(\alpha-\beta\).
B) converge vers \(\beta-\alpha\).
C) converge vers \(\beta\).
D) diverge.
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Question 5

Énoncé

Soit \(\delta\in]0,1[\). Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n}\left(1+\delta^{2^k}\right). \]
A) \(1\).
B) \(+\infty\).
C) \(\displaystyle\frac1{1-\delta}\).
D) \(\displaystyle\frac1{1+\delta}\).
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Exercice 2 — Intégrales exponentielles et trigonométriques

Calculer les intégrales suivantes.

Question 6

Énoncé \[ \int_0^{\pi}e^t\cos(2t)\,dt. \]
A) \(\displaystyle\frac{e^\pi}{5}\).
B) \(\displaystyle\frac{e^\pi+1}{5}\).
C) \(\displaystyle\frac{e^\pi-2}{5}\).
D) \(\displaystyle\frac{e^\pi-1}{5}\).
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Question 7

Énoncé \[ \int_0^{\pi}e^t\cos^2t\,dt. \]
A) \(\displaystyle\frac{e^\pi-1}{5}\).
B) \(\displaystyle\frac{4(e^\pi+1)}{5}\).
C) \(\displaystyle\frac{3(e^\pi-1)}{5}\).
D) \(\displaystyle\frac{e^\pi+2}{5}\).
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Exercice 3 — Symétrie d’une fonction continue

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que :

\[ f(a+b-x)=f(x) \qquad\text{pour tout }x\in[a,b]. \]

Question 8

Énoncé

Calculer :

\[ \int_a^b t\,f(t)\,dt. \]
A) \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\int_a^b f(t)\,dt\).
B) \(\displaystyle\frac{a-b}{2}\int_a^b f(t)\,dt\).
C) \(\displaystyle\frac{a}{2}\int_a^b f(t)\,dt\).
D) \(\displaystyle\frac{b}{2}\int_a^b f(t)\,dt\).
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Question 9

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{3+\cos^2t}\,dt. \]
A) \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt3}\).
B) \(\displaystyle\frac{\pi}{3\sqrt3}\).
C) \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\).
D) \(\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt3}\).
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Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\pi} \frac{t\sin t}{3+\cos^2t}\,dt. \]
A) \(\displaystyle\frac{\pi}{6\sqrt3}\).
B) \(\displaystyle\frac{\pi^2}{6\sqrt3}\).
C) \(\displaystyle\frac{\pi^3}{6\sqrt3}\).
D) \(\displaystyle\frac{\pi^2}{2\sqrt3}\).
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Exercice 4 — Radicaux cubiques

On note :

\[ a=\frac{\sqrt[3]{41\sqrt5+54\sqrt3}}{\sqrt3}, \qquad b=\frac{\sqrt[3]{54\sqrt3-41\sqrt5}}{\sqrt3}, \qquad \lambda=a+b. \]

Question 11

Énoncé

Le produit \(ab\) vaut :

A) \(\dfrac13\).
B) \(\dfrac23\).
C) \(\dfrac73\).
D) \(1\).
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Question 12

Énoncé

Le réel \(\lambda\) est solution de l’équation :

A) \(x^3-7x-36=0\).
B) \(x^3+7x-21=0\).
C) \(x^3-7x=0\).
D) \(x^3-7x-35=0\).
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Question 13

Énoncé

La valeur de \(\lambda\) est alors :

A) nulle.
B) un réel pair.
C) un réel impair.
D) \(\lambda\gt4\).
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Exercice 5 — Succession de réponses à un concours

Un candidat doit répondre successivement à une série de questions \((Q_n)_{n\ge1}\). L’épreuve est présentée en ligne et, pour \(n\gt1\), l’accès à \(Q_n\) n’est possible qu’après avoir donné une réponse à \(Q_{n-1}\).

On admet que :

  • la probabilité de donner une bonne réponse à \(Q_1\) est \(0{,}1\) ;
  • si le candidat répond correctement à \(Q_{n-1}\), la probabilité de répondre correctement à \(Q_n\) est \(0{,}8\) ;
  • si le candidat répond incorrectement à \(Q_{n-1}\), la probabilité de répondre correctement à \(Q_n\) est \(0{,}6\).

Pour tout entier \(n\ge1\), on note \(B_n\) l’événement « le candidat donne une bonne réponse à la question \(Q_n\) » et \(P_n=P(B_n)\).

Question 14

Énoncé

La valeur de \(P_2\) est :

A) \(0{,}52\).
B) \(0{,}59\).
C) \(0{,}54\).
D) \(0{,}62\).
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Question 15

Énoncé

Le candidat a répondu correctement à la deuxième question. La probabilité qu’il ait donné une mauvaise réponse à la première question vaut :

A) \(\dfrac{27}{37}\).
B) \(\dfrac{21}{37}\).
C) \(\dfrac{27}{31}\).
D) \(\dfrac{21}{31}\).
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Question 16

Énoncé

La probabilité que le candidat ait au moins une bonne réponse aux trois premières questions est :

A) \(0{,}856\).
B) \(0{,}865\).
C) \(0{,}685\).
D) \(0{,}585\).
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Exercice 6 — Transformation dans le plan complexe

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), d’unité graphique \(1\ \text{cm}\).

Soit \(A\) le point d’affixe \(3i\). On appelle \(f\) l’application qui, à tout point \(M\) d’affixe \(z\), distinct de \(A\), associe le point \(M'\) d’affixe :

\[ z'=\frac{3iz-7}{z-3i}. \]

On dit que \(M\) est invariant lorsque \(M=M'\).

Question 17

Énoncé

L’application \(f\) admet deux points invariants \(B\) et \(C\), d’affixes respectives \(z_B\) et \(z_C\).

La somme des parties imaginaires de \(z_B\) et \(z_C\) vaut :

A) \(-6\).
B) \(6\).
C) \(5\).
D) \(-5\).
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Question 18

Énoncé

On admet que :

\[ |\operatorname{Im}(z_B)|\gt|\operatorname{Im}(z_C)| \]

et on appelle \(\mathcal E\) le cercle de diamètre \([BC]\). Soit \(M\) un point quelconque de \(\mathcal E\), différent de \(B\) et de \(C\).

Il existe un réel \(\theta\) tel que l’affixe \(z\) de \(M\) s’écrit :

A) \(3i-4e^{i\theta}\).
B) \(-3i-4e^{i\theta}\).
C) \(3i+4e^{-i\theta}\).
D) \(3i+4e^{i\theta}\).
Remarque : lorsque \(\theta\) parcourt \(\mathbb R\), les propositions A, C et D paramètrent le même cercle. L’énoncé original est conservé sans modification.
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Question 19

Énoncé

Le point \(M'\) est l’image de \(M\) par \(f\). Il existe un réel \(\theta\) tel que son affixe \(z'\) s’écrit :

A) \(3i-4e^{-i\theta}\).
B) \(-3i+4e^{i\theta}\).
C) \(-3i-4e^{-i\theta}\).
D) \(3i+4e^{-i\theta}\).
Remarque : prises comme paramétrisations indépendantes, les propositions A et D décrivent le même cercle. Dans la correction, le même paramètre \(\theta\) sera relié à celui choisi à la question 18.
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Question 20

Énoncé

Le point \(M'\) :

A) est à l’intérieur du cercle \(\mathcal E\).
B) est à l’extérieur du cercle \(\mathcal E\).
C) appartient au cercle \(\mathcal E\).
D) est le centre du cercle \(\mathcal E\).
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Conseil de travail

Traiter les questions par exercice et conserver les résultats intermédiaires. Dans le dernier exercice, distinguer une paramétrisation liée à un même angle d’une simple description globale du cercle par un angle réel quelconque.

Ressources liées

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