Concours ENSA Maroc 2014 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Août 2014.
Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.
Compétences et points clés
ENSA 2014 est organisé en exercices liés : suites, intégrales, racines complexes et géométrie. Certaines questions utilisent des données introduites avant les QCM ; les relire est nécessaire pour interpréter correctement les notations et les choix.
Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; distances, équations de droites et de cercles.
Rappels de cours utiles
Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.
Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.
Lieux géométriques. Une égalité de distances à deux points distincts décrit leur médiatrice. Une distance constante à un point décrit un cercle si cette constante est strictement positive. Lorsque plusieurs conditions sont imposées ensemble, le lieu recherché est leur intersection, qui peut être vide ou réduite à quelques points.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour les suites, reprendre leurs définitions communes et étudier les facteurs qui tendent vers zéro. Pour les racines d’une équation complexe, conserver les relations entre les coefficients et les racines. Dans le lieu géométrique final, séparer l’équation du cercle et la position du point transformé.
Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2014.
Le sujet est structuré en six exercices portant sur les suites, les intégrales, les radicaux, les probabilités conditionnelles et la géométrie complexe.
Consignes
- La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
- L’épreuve comporte 20 questions.
- Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
- La fiche officielle indique normalement une seule réponse correcte par question.
Énoncé — Mathématiques
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) les suites réelles définies par :
\[ u_0=\alpha,\qquad v_0=\beta,\qquad 0\lt\alpha\lt\beta, \] \[ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+v_n}, \qquad v_{n+1}=\frac{v_n^2}{u_n+v_n} \qquad(n\in\mathbb N). \]On pose :
\[ x_n=\frac{u_n}{v_n}, \qquad y_n=u_n-v_n. \]Question 1
La suite \((x_n)\) :
Question 2
La suite \((y_n)\) :
Question 3
La suite \((u_n)\) :
Question 4
La suite \((v_n)\) :
Question 5
Soit \(\delta\in]0,1[\). Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n}\left(1+\delta^{2^k}\right). \]Calculer les intégrales suivantes.
Question 6
Question 7
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que :
\[ f(a+b-x)=f(x) \qquad\text{pour tout }x\in[a,b]. \]Question 8
Calculer :
\[ \int_a^b t\,f(t)\,dt. \]Question 9
Calculer :
\[ \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{3+\cos^2t}\,dt. \]Question 10
Calculer :
\[ \int_0^{\pi} \frac{t\sin t}{3+\cos^2t}\,dt. \]On note :
\[ a=\frac{\sqrt[3]{41\sqrt5+54\sqrt3}}{\sqrt3}, \qquad b=\frac{\sqrt[3]{54\sqrt3-41\sqrt5}}{\sqrt3}, \qquad \lambda=a+b. \]Question 11
Le produit \(ab\) vaut :
Question 12
Le réel \(\lambda\) est solution de l’équation :
Question 13
La valeur de \(\lambda\) est alors :
Un candidat doit répondre successivement à une série de questions \((Q_n)_{n\ge1}\). L’épreuve est présentée en ligne et, pour \(n\gt1\), l’accès à \(Q_n\) n’est possible qu’après avoir donné une réponse à \(Q_{n-1}\).
On admet que :
- la probabilité de donner une bonne réponse à \(Q_1\) est \(0{,}1\) ;
- si le candidat répond correctement à \(Q_{n-1}\), la probabilité de répondre correctement à \(Q_n\) est \(0{,}8\) ;
- si le candidat répond incorrectement à \(Q_{n-1}\), la probabilité de répondre correctement à \(Q_n\) est \(0{,}6\).
Pour tout entier \(n\ge1\), on note \(B_n\) l’événement « le candidat donne une bonne réponse à la question \(Q_n\) » et \(P_n=P(B_n)\).
Question 14
La valeur de \(P_2\) est :
Question 15
Le candidat a répondu correctement à la deuxième question. La probabilité qu’il ait donné une mauvaise réponse à la première question vaut :
Question 16
La probabilité que le candidat ait au moins une bonne réponse aux trois premières questions est :
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), d’unité graphique \(1\ \text{cm}\).
Soit \(A\) le point d’affixe \(3i\). On appelle \(f\) l’application qui, à tout point \(M\) d’affixe \(z\), distinct de \(A\), associe le point \(M'\) d’affixe :
\[ z'=\frac{3iz-7}{z-3i}. \]On dit que \(M\) est invariant lorsque \(M=M'\).
Question 17
L’application \(f\) admet deux points invariants \(B\) et \(C\), d’affixes respectives \(z_B\) et \(z_C\).
La somme des parties imaginaires de \(z_B\) et \(z_C\) vaut :
Question 18
On admet que :
\[ |\operatorname{Im}(z_B)|\gt|\operatorname{Im}(z_C)| \]et on appelle \(\mathcal E\) le cercle de diamètre \([BC]\). Soit \(M\) un point quelconque de \(\mathcal E\), différent de \(B\) et de \(C\).
Il existe un réel \(\theta\) tel que l’affixe \(z\) de \(M\) s’écrit :
Question 19
Le point \(M'\) est l’image de \(M\) par \(f\). Il existe un réel \(\theta\) tel que son affixe \(z'\) s’écrit :
Question 20
Le point \(M'\) :
Conseil de travail
Traiter les questions par exercice et conserver les résultats intermédiaires. Dans le dernier exercice, distinguer une paramétrisation liée à un même angle d’une simple description globale du cercle par un angle réel quelconque.
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