Correction Concours ENSA Maroc 2014 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Août 2014.
Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2014.
Les vingt réponses ont été recalculées. Les ambiguïtés de paramétrisation des questions 18 et 19 sont expliquées sans forcer artificiellement une réponse unique.
- Q18 : les propositions A, C et D décrivent toutes le même cercle lorsque leur paramètre parcourt \(\mathbb R\).
- Q19 : les propositions A et D décrivent le même cercle si l’on change librement le paramètre. Avec le même \(\theta\) que dans la forme de référence \(z=3i+4e^{i\theta}\), la réponse attendue est A.
Tableau des réponses finales vérifiées
Correction détaillée question par question
Question 1 — Étude de la suite \((x_n)\)
On pose \(x_n=\dfrac{u_n}{v_n}\), avec :
\[ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+v_n}, \qquad v_{n+1}=\frac{v_n^2}{u_n+v_n}, \qquad 0\lt\alpha=u_0\lt v_0=\beta. \]On calcule directement le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\).
Comme :
\[ x_0=\frac{\alpha}{\beta}\in]0,1[, \]on obtient par récurrence :
\[ x_n=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{2^n}. \]Puisque \(0\lt\dfrac{\alpha}{\beta}\lt1\) et \(2^n\to+\infty\) :
\[ x_n\longrightarrow0. \]Question 2 — Étude de la suite \((y_n)\)
On pose :
\[ y_n=u_n-v_n. \]On utilise l’identité \(u_n^2-v_n^2=(u_n-v_n)(u_n+v_n)\).
Donc :
\[ y_{n+1}=u_n-v_n=y_n. \]La suite \((y_n)\) est constante et :
\[ y_n=y_0=\alpha-\beta. \]Ainsi :
\[ y_n\longrightarrow\alpha-\beta. \]Question 3 — Limite de la suite \((u_n)\)
Déterminer la limite de \((u_n)\).
On combine \(x_n=\dfrac{u_n}{v_n}\to0\) avec \(u_n-v_n=\alpha-\beta\).
Comme \(u_n=x_nv_n\) et :
\[ u_n-v_n=\alpha-\beta, \]on a :
\[ (x_n-1)v_n=\alpha-\beta. \]Donc :
\[ v_n=\frac{\beta-\alpha}{1-x_n}. \]Puisque \(x_n\to0\) :
\[ v_n\longrightarrow\beta-\alpha. \]Alors :
\[ u_n=x_nv_n\longrightarrow0\times(\beta-\alpha)=0. \]Question 4 — Limite de la suite \((v_n)\)
Déterminer la limite de \((v_n)\).
On reprend l’expression : \[ v_n=\frac{\beta-\alpha}{1-x_n}. \]
Comme \(x_n\to0\), on obtient :
\[ v_n = \frac{\beta-\alpha}{1-x_n} \longrightarrow \beta-\alpha. \]Question 5 — Produit télescopique
Soit \(\delta\in]0,1[\). Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n}\left(1+\delta^{2^k}\right). \]On utilise successivement \(1-x^2=(1-x)(1+x)\).
On a :
\[ (1-\delta)(1+\delta)=1-\delta^2. \]Puis :
\[ (1-\delta^2)(1+\delta^2)=1-\delta^4. \]En poursuivant :
\[ (1-\delta) \prod_{k=0}^{n}(1+\delta^{2^k}) = 1-\delta^{2^{n+1}}. \]Donc :
\[ \prod_{k=0}^{n}(1+\delta^{2^k}) = \frac{1-\delta^{2^{n+1}}}{1-\delta}. \]Comme \(0\lt\delta\lt1\), on a \(\delta^{2^{n+1}}\to0\). Ainsi :
\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n}(1+\delta^{2^k}) = \frac1{1-\delta}. \]Question 6 — Intégrale de \(e^t\cos(2t)\)
Une primitive de \(e^t\cos(2t)\) est : \[ \frac{e^t}{5}\bigl(\cos(2t)+2\sin(2t)\bigr). \]
Comme :
\[ \cos(2\pi)=1,\quad \sin(2\pi)=0,\quad \cos0=1,\quad \sin0=0, \]on obtient :
\[ I=\frac{e^\pi}{5}-\frac15 = \frac{e^\pi-1}{5}. \]Question 7 — Intégrale de \(e^t\cos^2t\)
On utilise : \[ \cos^2t=\frac{1+\cos(2t)}2. \]
D’après la question précédente :
\[ \int_0^\pi e^t\cos(2t)\,dt = \frac{e^\pi-1}{5}. \]De plus :
\[ \int_0^\pi e^t\,dt=e^\pi-1. \]Donc :
\[ J = \frac12(e^\pi-1) + \frac1{10}(e^\pi-1) = \frac35(e^\pi-1). \]Question 8 — Intégrale d’une fonction symétrique
La fonction \(f\) est continue sur \([a,b]\) et vérifie :
\[ f(a+b-x)=f(x). \]Calculer :
\[ I=\int_a^b t\,f(t)\,dt. \]On effectue le changement de variable \(t=a+b-x\).
Avec \(t=a+b-x\), on obtient :
\[ I = \int_a^b(a+b-x)f(a+b-x)\,dx. \]Par symétrie :
\[ f(a+b-x)=f(x). \]Donc :
\[ I = (a+b)\int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b x f(x)\,dx. \]Le dernier terme est encore \(I\). Ainsi :
\[ 2I=(a+b)\int_a^b f(x)\,dx. \]Finalement :
\[ I = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x)\,dx. \]Question 9 — Intégrale trigonométrique
On pose \(u=\cos t\), donc \(du=-\sin t\,dt\).
La fonction intégrée est paire :
\[ I = 2\int_0^1\frac{du}{3+u^2}. \]Une primitive est :
\[ \frac1{\sqrt3}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt3}\right). \]Donc :
\[ I = \frac2{\sqrt3} \arctan\left(\frac1{\sqrt3}\right) = \frac2{\sqrt3}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt3}. \]Question 10 — Intégrale pondérée par \(t\)
La fonction \[ g(t)=\frac{\sin t}{3+\cos^2t} \] vérifie \(g(\pi-t)=g(t)\).
On applique le résultat de la question 8 avec \(a=0\), \(b=\pi\) et \(f=g\) :
\[ J = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi g(t)\,dt. \]D’après la question 9 :
\[ \int_0^\pi g(t)\,dt = \frac{\pi}{3\sqrt3}. \]Donc :
\[ J = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{3\sqrt3} = \frac{\pi^2}{6\sqrt3}. \]Question 11 — Produit de deux radicaux cubiques
On pose :
\[ a=\frac{\sqrt[3]{41\sqrt5+54\sqrt3}}{\sqrt3}, \qquad b=\frac{\sqrt[3]{54\sqrt3-41\sqrt5}}{\sqrt3}. \]Calculer \(ab\).
On multiplie d’abord les deux quantités placées sous les racines cubiques.
On a :
\[ ab = \frac{ \sqrt[3]{(41\sqrt5+54\sqrt3)(54\sqrt3-41\sqrt5)} }{3}. \]Le produit intérieur est une différence de deux carrés :
\[ (54\sqrt3)^2-(41\sqrt5)^2. \]Donc :
\[ 54^2\cdot3-41^2\cdot5 = 8748-8405 = 343 = 7^3. \]Ainsi :
\[ ab=\frac{\sqrt[3]{343}}3=\frac73. \]Question 12 — Équation vérifiée par \(\lambda=a+b\)
On pose \(\lambda=a+b\). Déterminer l’équation vérifiée par \(\lambda\).
On développe : \[ (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b). \]
On calcule :
\[ a^3+b^3 = \frac{41\sqrt5+54\sqrt3+54\sqrt3-41\sqrt5}{3\sqrt3} = 36. \]D’après la question précédente :
\[ ab=\frac73. \]Donc :
\[ \lambda^3 = 36+3\cdot\frac73\,\lambda = 36+7\lambda. \]Ainsi :
\[ \lambda^3-7\lambda-36=0. \]Question 13 — Valeur de \(\lambda\)
Déterminer la nature de \(\lambda\).
On cherche une racine entière de \(x^3-7x-36\).
On vérifie d’abord que \(4\) est une solution :
\[ 4^3-7\cdot4-36 = 64-28-36 = 0. \]On factorise alors le polynôme :
\[ x^3-7x-36 = (x-4)(x^2+4x+9). \]Le discriminant du trinôme \(x^2+4x+9\) est :
\[ \Delta = 4^2-4\times1\times9 = 16-36 = -20. \]Comme \(\Delta\lt0\), ce trinôme n’a aucune racine réelle. L’équation possède donc une seule solution réelle :
\[ x=4. \]Or \(\lambda\) est réel et vérifie cette équation. Ainsi :
\[ \lambda=4. \]Le nombre \(4\) est un entier pair.
Question 14 — Calcul de \(P_2\)
On sait :
\[ P(B_1)=0{,}1,\qquad P(B_2\mid B_1)=0{,}8,\qquad P(B_2\mid\overline{B_1})=0{,}6. \]Calculer \(P_2=P(B_2)\).
On applique la formule des probabilités totales.
Donc :
\[ P_2 = 0{,}1\times0{,}8 + 0{,}9\times0{,}6. \]Ainsi :
\[ P_2=0{,}08+0{,}54=0{,}62. \]Question 15 — Probabilité conditionnelle inverse
Sachant que le candidat a répondu correctement à \(Q_2\), calculer la probabilité qu’il ait répondu incorrectement à \(Q_1\).
On utilise : \[ P(\overline{B_1}\mid B_2) = \frac{P(\overline{B_1}\cap B_2)}{P(B_2)}. \]
On a :
\[ P(\overline{B_1}\cap B_2) = P(\overline{B_1})P(B_2\mid\overline{B_1}) = 0{,}9\times0{,}6 = 0{,}54. \]De plus :
\[ P(B_2)=0{,}62. \]Donc :
\[ P(\overline{B_1}\mid B_2) = \frac{0{,}54}{0{,}62} = \frac{54}{62} = \frac{27}{31}. \]Question 16 — Au moins une bonne réponse
Calculer la probabilité que le candidat obtienne au moins une bonne réponse aux trois premières questions.
On calcule l’événement complémentaire : trois mauvaises réponses successives.
La probabilité d’une mauvaise réponse à \(Q_1\) vaut :
\[ 0{,}9. \]Après une mauvaise réponse, la probabilité de répondre encore incorrectement à la question suivante vaut :
\[ 1-0{,}6=0{,}4. \]Donc :
\[ P(\text{trois mauvaises réponses}) = 0{,}9\times0{,}4\times0{,}4 = 0{,}144. \]Par complémentarité :
\[ P(\text{au moins une bonne réponse}) = 1-0{,}144 = 0{,}856. \]Question 17 — Points invariants de la transformation
Les points invariants vérifient :
\[ z=\frac{3iz-7}{z-3i}. \]Calculer la somme des parties imaginaires de leurs affixes.
On transforme l’équation en une équation du second degré en \(z\).
On multiplie par \(z-3i\) :
\[ z(z-3i)=3iz-7. \]Donc :
\[ z^2-6iz+7=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=(-6i)^2-28=-36-28=-64. \]Les deux solutions sont :
\[ z=\frac{6i\pm8i}{2}. \]Ainsi :
\[ z_B=7i, \qquad z_C=-i. \]La somme de leurs parties imaginaires vaut :
\[ 7+(-1)=6. \]Question 18 — Paramétrisation du cercle \(\mathcal E\)
Le cercle \(\mathcal E\) a pour diamètre les points d’affixes \(7i\) et \(-i\). Pour un point \(M\in\mathcal E\), déterminer les écritures possibles de son affixe.
Le centre du cercle est le milieu des deux extrémités du diamètre et son rayon est la moitié de leur distance.
Définition : paramétrer un cercle signifie donner une formule dépendant d’un réel \(\theta\) qui permet de décrire tous les points de ce cercle lorsque \(\theta\) parcourt \(\mathbb R\).
Le centre du cercle a pour affixe :
\[ \frac{7i+(-i)}2=3i. \]Son rayon vaut :
\[ \frac{|7i-(-i)|}{2} = \frac8{2} = 4. \]Une paramétrisation de référence est donc :
\[ z=3i+4e^{i\theta}, \qquad \theta\in\mathbb R. \]Mais, lorsque \(\theta\) parcourt \(\mathbb R\) :
\[ 3i-4e^{i\theta} = 3i+4e^{i(\theta+\pi)} \]décrit le même cercle, et :
\[ 3i+4e^{-i\theta} \]le décrit également.
Question 19 — Image d’un point du cercle
Pour \(z'= \dfrac{3iz-7}{z-3i}\), déterminer une écriture exponentielle de \(z'\).
On conserve le même paramètre que dans la forme de référence : \[ z=3i+4e^{i\theta}. \]
On a :
\[ z-3i=4e^{i\theta}. \]De plus :
\[ 3iz-7 = 3i(3i+4e^{i\theta})-7 = -16+12ie^{i\theta}. \]Donc :
\[ z' = \frac{-16+12ie^{i\theta}}{4e^{i\theta}} = -4e^{-i\theta}+3i. \]Ainsi :
\[ z'=3i-4e^{-i\theta}. \]Comme \(-4e^{-i\theta}=4e^{-i(\theta+\pi)}\), la proposition D décrit aussi le même cercle si l’on autorise un nouveau paramètre indépendant.
Question 20 — Position du point \(M'\)
Déterminer la position de \(M'\) par rapport au cercle \(\mathcal E\).
Le cercle \(\mathcal E\) a pour centre \(3i\) et pour rayon \(4\).
D’après la question précédente :
\[ z'=3i-4e^{-i\theta}. \]Donc :
\[ |z'-3i| = |-4e^{-i\theta}| = 4. \]La distance de \(M'\) au centre du cercle vaut son rayon. Ainsi :
\[ M'\in\mathcal E. \]Conseil de travail
Dans un QCM, une paramétrisation n’est pas une écriture unique : remplacer \(\theta\) par \(-\theta\) ou \(\theta+\pi\) peut décrire exactement le même cercle. Pour une chaîne de questions, il faut néanmoins conserver le même paramètre lorsque la question suivante en dépend.
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