Concours ENSA Maroc 2015 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2015 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Juillet 2015.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2015.

Le sujet rassemble dix questions indépendantes, un problème de probabilités fondé sur une chaîne d’urnes et un problème de géométrie complexe.

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Consignes

• L’épreuve comporte 20 questions.
• Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
• Une seule proposition est normalement attendue pour chaque question.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5 Q6Q7Q8Q9Q10 Q11Q12Q13Q14Q15 Q16Q17Q18Q19Q20

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Calculer :

\[ \frac12\left(\sum_{k=0}^{12}\mathrm C_{12}^{k}\right)-34. \]

A) \(2012\).

B) \(2013\).

C) \(2014\).

D) \(2015\).

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Question 2

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb N^*\). Calculer :

\[ \sum_{\substack{1\le i\le n\\1\le j\le n}}\min(i,j). \]

A) \(\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}6\).

B) \(\displaystyle\frac{n(n+1)}3\).

C) \(\displaystyle\frac{n(n+2)}3\).

D) \(\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}6\).

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Question 3

Énoncé

Soit le réel :

\[ \lambda= \sqrt[3]{\,3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\,} - \sqrt[3]{\,-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\,}. \]

En calculant \(\lambda^3\), montrer que :

A) \(\lambda=0\).

B) \(\lambda=1\).

C) \(\lambda=2\).

D) \(\lambda=3\).

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Question 4

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{\sin n}{3}\right)^n. \]

A) \(1\).

B) \(\dfrac13\).

C) \(\dfrac23\).

D) \(0\).

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Question 5

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2+k}. \]

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(2\).

D) \(k\).

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Question 6

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \frac{e^{10x}-e^{7x}}{x}. \]

A) \(1\).

B) \(2\).

C) \(3\).

D) \(4\).

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Question 7

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \left(1+\sin^2\left(\frac1x\right)\right)\ln x. \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(-\infty\).

D) \(+\infty\).

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Question 8

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1 \frac{e^x}{\left(10-3e^x\right)^2}\,dx. \]

A) \(\displaystyle\frac13\left(\frac1{10-3e}-\frac17\right)\).

B) \(\displaystyle\frac12\left(\frac1{10-3e}+\frac17\right)\).

C) \(\displaystyle\frac13\left(\frac1{10-e}-\frac17\right)\).

D) \(\displaystyle\frac1{10-3e}\).

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Question 9

Énoncé

Calculer :

\[ \int_1^e \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2\,dx. \]

A) \(\displaystyle-\frac5e\).

B) \(\displaystyle2+\frac5e\).

C) \(\displaystyle\frac5e\).

D) \(\displaystyle2-\frac5e\).

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Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1\frac{dx}{x^2+3x+2}. \]

A) \(\displaystyle\ln\left(\frac43\right)\).

B) \(\displaystyle\frac43\).

C) \(\displaystyle\ln\left(\frac53\right)\).

D) \(\displaystyle\frac53\).

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Question 11

Énoncé

On considère les urnes \(U_1,U_2,\ldots,U_n,\ldots\). L’urne \(U_1\) contient trois boules jaunes et deux boules vertes. Chacune des autres urnes contient deux boules jaunes et deux boules vertes.

On tire une boule au hasard de \(U_1\), on la place dans \(U_2\), puis on tire une boule de \(U_2\). On place ensuite la boule tirée de \(U_2\) dans \(U_3\), puis on tire une boule de \(U_3\), et ainsi de suite.

Pour tout \(n\ge1\), on note \(E_n\) l’événement « la boule tirée de \(U_n\) est verte » et \(P_n=P(E_n)\).

La valeur de \(P_1\) est :

A) \(0{,}54\).

B) \(0{,}40\).

C) \(0{,}44\).

D) \(0{,}64\).

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Question 12

Énoncé

Sachant qu’on a tiré une boule verte de \(U_1\) et qu’on l’a placée dans \(U_2\), la probabilité de tirer une boule verte de \(U_2\) est :

A) \(0{,}60\).

B) \(0{,}83\).

C) \(0{,}80\).

D) \(0{,}33\).

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Question 13

Énoncé

La valeur de \(P_2\) est :

A) \(0{,}44\).

B) \(0{,}46\).

C) \(0{,}48\).

D) \(0{,}45\).

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Question 14

Énoncé

La relation entre \(P_n\) et \(P_{n+1}\) est :

A) \(P_{n+1}=5+5P_n\).

B) \(P_{n+1}=2+5P_n\).

C) \(P_{n+1}=5+2P_n\).

D) \(5P_{n+1}=2+P_n\).

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Question 15

Énoncé

En étudiant le comportement de la suite \((P_n)\), peut-on confirmer qu’après un grand nombre de tirages, on a :

A) une chance sur deux de tirer une boule verte.

B) une chance sur trois de tirer une boule verte.

C) une chance sur quatre de tirer une boule verte.

D) une chance sur cinq de tirer une boule verte.

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Question 16

Énoncé

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), d’unité graphique \(1\ \text{cm}\).

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) les points d’affixes respectives :

\[ a=2,\qquad b=3+i\sqrt3,\qquad c=2i\sqrt3. \]

La mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\) vaut :

A) \(90^\circ\).

B) \(95^\circ\).

C) \(85^\circ\).

D) \(180^\circ\).

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Question 17

Énoncé

L’affixe \(w\) du centre \(\Omega\) du cercle circonscrit au triangle \(ABC\) est :

A) \(1-i\sqrt3\).

B) \(1+i\sqrt3\).

C) \(-1+i\sqrt3\).

D) \(-1-i\sqrt3\).

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Question 18

Énoncé

On note \(A_n\) le point d’affixe \(z_n\), où \((z_n)\) est la suite de nombres complexes définie par :

\[ z_0=0, \qquad z_{n+1}=\frac{1+i\sqrt3}{2}z_n+2. \]

On considère la suite :

\[ t_n=z_n-w. \]

En remarquant que \(w\) est solution de l’équation :

\[ z=\frac{1+i\sqrt3}{2}z+2, \]

la suite \((t_n)\) vérifie :

A) \(\displaystyle t_{n+1}=\frac{1+i\sqrt3}{2}\,t_n\).

B) \(\displaystyle t_{n+1}=\frac{1-i\sqrt3}{2}\,t_n\).

C) \(\displaystyle (1+i\sqrt3)t_{n+1}=2t_n\).

D) \(\displaystyle (1+i\sqrt3)t_n=2t_{n+1}\).

Remarque : les propositions A et D sont algébriquement équivalentes telles qu’elles apparaissent sur la copie consultée. La transcription conserve les quatre choix imprimés.

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Question 19

Énoncé

En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

A) \(A_{n+6}=2A_n\).

B) \(A_{n+6}=-A_n\).

C) \(A_{n+6}=A_n\).

D) \(A_{n+6}=-2A_n\).

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Question 20

Énoncé

L’affixe du point \(A_{2015}\) est :

A) \(-1+2i\sqrt3\).

B) \(3+i\sqrt3\).

C) \(3i\sqrt2\).

D) \(-1+i\sqrt3\).

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Conseil de travail

Traiter d’abord les dix questions indépendantes, puis conserver les résultats intermédiaires dans chacun des deux problèmes. Pour les probabilités, bien suivre le transfert d’une boule d’une urne à la suivante. Pour les complexes, distinguer les points, leurs affixes et la suite auxiliaire.

Ressources liées

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