Correction Concours ENSA Maroc 2015 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2015.
Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2015.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Somme des coefficients binomiaux
Calculer :
\[ \frac12\left(\sum_{k=0}^{12}\mathrm C_{12}^{k}\right)-34. \]On utilise : \[ \sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k=2^n. \]
Donc :
\[ \frac12\times4096-34 = 2048-34 = 2014. \]Question 2 — Somme double avec un minimum
Calculer :
\[ S_n= \sum_{\substack{1\le i\le n\\1\le j\le n}} \min(i,j). \]Pour calculer une somme contenant \(\min(i,j)\), on peut regrouper les couples \((i,j)\) selon la valeur prise par ce minimum.
Pour tout couple \((i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), le nombre \(\min(i,j)\) appartient à \(\{1,\ldots,n\}\).
Fixons un entier \(k\in\{1,\ldots,n\}\). On cherche le nombre de couples \((i,j)\) tels que :
\[ \min(i,j)=k. \]Cette égalité signifie que \(i\ge k\), \(j\ge k\), et que l’un au moins des deux nombres \(i\) ou \(j\) est égal à \(k\).
Les couples concernés sont d’abord :
\[ (k,k),(k,k+1),\ldots,(k,n). \]Il y en a :
\[ n-k+1. \]On ajoute ensuite les couples :
\[ (k+1,k),(k+2,k),\ldots,(n,k). \]Il y en a :
\[ n-k. \]Le nombre total de couples vérifiant \(\min(i,j)=k\) est donc :
\[ (n-k+1)+(n-k)=2n-2k+1. \]Chacun de ces couples apporte la valeur \(k\) à la somme. Par conséquent :
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n}k(2n-2k+1). \]En développant :
\[ S_n = (2n+1)\sum_{k=1}^{n}k - 2\sum_{k=1}^{n}k^2. \]Or :
\[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2 \]et :
\[ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]Ainsi :
\[ S_n = (2n+1)\frac{n(n+1)}2 - 2\frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]Après simplification :
\[ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]Question 3 — Différence de deux racines cubiques
On pose :
\[ \lambda= \sqrt[3]{\,3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\,} - \sqrt[3]{\,-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\,}. \]On pose les deux racines cubiques égales à \(a\) et \(b\), puis on développe \((a-b)^3\).
Posons :
\[ a=\sqrt[3]{\,3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\,}, \qquad b=\sqrt[3]{\,-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\,}. \]Alors :
\[ a^3-b^3=6. \]De plus :
\[ a^3b^3 = \left(3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\right) \left(-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}\right) = \frac{125}{27}. \]Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\) :
\[ ab=\frac53. \]Avec \(\lambda=a-b\) :
\[ \lambda^3 = a^3-b^3-3ab(a-b) = 6-5\lambda. \]Donc :
\[ \lambda^3+5\lambda-6=0. \]On factorise :
\[ \lambda^3+5\lambda-6 = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+6). \]Le trinôme \(\lambda^2+\lambda+6\) est strictement positif. Ainsi :
\[ \lambda=1. \]Question 4 — Puissance d’une suite bornée
On utilise \(|\sin n|\le1\).
Or :
\[ \left(\frac13\right)^n\longrightarrow0. \]Le théorème d’encadrement donne :
\[ \left(\frac{\sin n}{3}\right)^n \longrightarrow0. \]Question 5 — Somme encadrée
On encadre tous les dénominateurs entre \(n^2\) et \((n+1)^2\).
Pour \(0\le k\le2n+1\) :
\[ n^2\le n^2+k\le n^2+2n+1=(n+1)^2. \]Donc :
\[ \frac{n}{(n+1)^2} \le \frac{n}{n^2+k} \le \frac1n. \]La somme contient \(2n+2\) termes. Ainsi :
\[ \frac{(2n+2)n}{(n+1)^2} \le \sum_{k=0}^{2n+1}\frac{n}{n^2+k} \le \frac{2n+2}{n}. \]Soit :
\[ \frac{2n}{n+1} \le \sum_{k=0}^{2n+1}\frac{n}{n^2+k} \le 2+\frac2n. \]Les deux bornes tendent vers \(2\). Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{2n+1}\frac{n}{n^2+k}=2. \]Question 6 — Limite exponentielle
On fait apparaître les limites usuelles : \[ \frac{e^{ax}-1}{x}\longrightarrow a. \]
Lorsque \(x\to0\) :
\[ \frac{e^{10x}-1}{x}\longrightarrow10, \qquad \frac{e^{7x}-1}{x}\longrightarrow7. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0} \frac{e^{10x}-e^{7x}}{x} = 10-7=3. \]Question 7 — Produit avec un logarithme
Le facteur \(1+\sin^2(1/x)\) reste compris entre \(1\) et \(2\).
Pour tout \(x\gt0\) :
\[ 1 \le 1+\sin^2\left(\frac1x\right) \le 2. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\ln x\lt0\). En multipliant l’encadrement par \(\ln x\), le sens des inégalités s’inverse :
\[ 2\ln x \le \left(1+\sin^2\left(\frac1x\right)\right)\ln x \le \ln x. \]Or :
\[ 2\ln x\longrightarrow-\infty \qquad\text{et}\qquad \ln x\longrightarrow-\infty. \]Donc :
\[ \left(1+\sin^2\left(\frac1x\right)\right)\ln x \longrightarrow-\infty. \]Question 8 — Intégrale par changement de variable
On reconnaît la dérivée de \(x\mapsto\dfrac1{10-3e^x}\).
Donc :
\[ \frac{e^x}{(10-3e^x)^2} = \frac13 \left(\frac1{10-3e^x}\right)'. \]Ainsi :
\[ I = \frac13 \left[ \frac1{10-3e^x} \right]_0^1. \]Comme \(e^0=1\) :
\[ I = \frac13 \left( \frac1{10-3e} - \frac17 \right). \]Question 9 — Intégrale avec \((\ln x)^2\)
On effectue une intégration par parties avec \(u=(\ln x)^2\) et \(dv=\dfrac{dx}{x^2}\).
On a :
\[ du=\frac{2\ln x}{x}\,dx, \qquad v=-\frac1x. \]Donc :
\[ I = \left[-\frac{(\ln x)^2}{x}\right]_1^e + 2\int_1^e\frac{\ln x}{x^2}\,dx. \]Posons :
\[ J=\int_1^e\frac{\ln x}{x^2}\,dx. \]Une nouvelle intégration par parties donne :
\[ J = \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^e + \int_1^e\frac{dx}{x^2}. \]Ainsi :
\[ J = -\frac1e + \left[-\frac1x\right]_1^e = -\frac1e+1-\frac1e = 1-\frac2e. \]Par conséquent :
\[ I = -\frac1e + 2\left(1-\frac2e\right) = 2-\frac5e. \]Question 10 — Décomposition en éléments simples
On factorise : \[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2). \]
Donc :
\[ I = \left[ \ln(x+1)-\ln(x+2) \right]_0^1. \]Ainsi :
\[ I = (\ln2-\ln3)-(\ln1-\ln2). \]Donc :
\[ I = 2\ln2-\ln3 = \ln\left(\frac43\right). \]Question 11 — Première urne
L’urne \(U_1\) contient trois boules jaunes et deux boules vertes. On note \(E_1\) l’événement « la boule tirée de \(U_1\) est verte ».
Calculer \(P_1=P(E_1)\).
La probabilité est le rapport du nombre de boules vertes au nombre total de boules.
Question 12 — Probabilité conditionnelle dans \(U_2\)
Sachant qu’une boule verte a été tirée de \(U_1\) puis placée dans \(U_2\), calculer la probabilité de tirer une boule verte de \(U_2\).
L’urne \(U_2\) contient initialement deux boules jaunes et deux boules vertes.
Après l’ajout d’une boule verte, l’urne \(U_2\) contient :
- deux boules jaunes ;
- trois boules vertes.
Donc :
\[ P(E_2\mid E_1) = \frac35 = 0{,}60. \]Question 13 — Calcul de \(P_2\)
Calculer \(P_2=P(E_2)\).
On applique la formule des probabilités totales selon la couleur tirée de \(U_1\).
On sait :
\[ P(E_1)=\frac25, \qquad P(\overline{E_1})=\frac35. \]Si la boule transférée est verte :
\[ P(E_2\mid E_1)=\frac35. \]Si la boule transférée est jaune, \(U_2\) contient trois jaunes et deux vertes, donc :
\[ P(E_2\mid\overline{E_1})=\frac25. \]Ainsi :
\[ P_2 = P(E_1)P(E_2\mid E_1) + P(\overline{E_1})P(E_2\mid\overline{E_1}). \]Donc :
\[ P_2 = \frac25\cdot\frac35 + \frac35\cdot\frac25 = \frac{12}{25} = 0{,}48. \]Question 14 — Relation de récurrence de \((P_n)\)
Déterminer la relation reliant \(P_{n+1}\) à \(P_n\).
On conditionne par la couleur de la boule transférée de \(U_n\) vers \(U_{n+1}\).
Si la boule tirée de \(U_n\) est verte, alors \(U_{n+1}\) contient trois vertes et deux jaunes :
\[ P(E_{n+1}\mid E_n)=\frac35. \]Si elle est jaune :
\[ P(E_{n+1}\mid\overline{E_n})=\frac25. \]La formule des probabilités totales donne :
\[ P_{n+1} = \frac35P_n + \frac25(1-P_n). \]Donc :
\[ P_{n+1} = \frac{P_n+2}{5}. \]Finalement :
\[ 5P_{n+1}=2+P_n. \]Question 15 — Limite de la suite \((P_n)\)
Après un grand nombre de tirages, quelle probabilité obtient-on approximativement pour tirer une boule verte ?
On cherche le point fixe de la relation : \[ P_{n+1}=\frac{P_n+2}{5}. \]
Posons :
\[ u_n=P_n-\frac12. \]Alors :
\[ u_{n+1} = P_{n+1}-\frac12 = \frac{P_n+2}{5}-\frac12. \]Donc :
\[ u_{n+1} = \frac15\left(P_n-\frac12\right) = \frac15u_n. \]La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\), donc :
\[ u_n\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ P_n\longrightarrow\frac12. \]Après un grand nombre de tirages, la probabilité est donc approximativement une chance sur deux.
Question 16 — Angle d’un triangle complexe
Les affixes sont :
\[ a=2, \qquad b=3+i\sqrt3, \qquad c=2i\sqrt3. \]Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\).
On étudie le quotient : \[ \frac{c-b}{a-b}, \] dont l’argument donne l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\).
On a :
\[ a-b=-1-i\sqrt3, \qquad c-b=-3+i\sqrt3. \]Donc :
\[ \frac{c-b}{a-b} = \frac{-3+i\sqrt3}{-1-i\sqrt3}. \]En multipliant par le conjugué \(-1+i\sqrt3\) :
\[ \frac{c-b}{a-b} = \frac{(-3+i\sqrt3)(-1+i\sqrt3)}{4} = -i\sqrt3. \]Ce quotient est imaginaire pur non nul. Les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont donc orthogonaux.
Ainsi :
\[ \widehat{ABC}=90^\circ. \]Question 17 — Centre du cercle circonscrit
Déterminer l’affixe \(w\) du centre \(\Omega\) du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).
Le triangle est rectangle en \(B\). Le centre du cercle circonscrit est donc le milieu de l’hypoténuse \([AC]\).
L’affixe du milieu de \([AC]\) est :
\[ w=\frac{a+c}{2}. \]Donc :
\[ w = \frac{2+2i\sqrt3}{2} = 1+i\sqrt3. \]Question 18 — Suite complexe auxiliaire
La suite \((z_n)\) est définie par :
\[ z_0=0, \qquad z_{n+1}=\frac{1+i\sqrt3}{2}z_n+2. \]On pose :
\[ t_n=z_n-w, \qquad w=1+i\sqrt3. \]Déterminer la relation vérifiée par \((t_n)\).
On utilise le fait que \(w\) est le point fixe de la transformation : \[ w=\frac{1+i\sqrt3}{2}w+2. \]
On a :
\[ t_{n+1} = z_{n+1}-w. \]Donc :
\[ t_{n+1} = \frac{1+i\sqrt3}{2}z_n+2-w. \]Comme :
\[ 2-w = -\frac{1+i\sqrt3}{2}w, \]on obtient :
\[ t_{n+1} = \frac{1+i\sqrt3}{2}(z_n-w). \]Ainsi :
\[ t_{n+1} = \frac{1+i\sqrt3}{2}t_n. \]En multipliant cette relation par \(2\), on obtient aussi :
\[ 2t_{n+1} = (1+i\sqrt3)t_n. \]La proposition D exprime donc exactement la même relation que la proposition A.
Question 19 — Périodicité des points \(A_n\)
En déduire la relation entre les points \(A_{n+6}\) et \(A_n\).
Le coefficient : \[ q=\frac{1+i\sqrt3}{2} \] est de module \(1\) et d’argument \(\pi/3\).
On écrit :
\[ q = \cos\frac{\pi}{3} +i\sin\frac{\pi}{3}. \]La relation de la question précédente donne :
\[ t_n=q^nt_0. \]Or :
\[ q^6 = \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) = 1. \]Donc :
\[ t_{n+6} = q^{n+6}t_0 = q^nq^6t_0 = t_n. \]Comme \(t_n=z_n-w\) :
\[ z_{n+6}-w=z_n-w. \]Ainsi :
\[ z_{n+6}=z_n. \]Les points d’affixes \(z_{n+6}\) et \(z_n\) sont donc confondus :
\[ A_{n+6}=A_n. \]Question 20 — Affixe du point \(A_{2015}\)
Déterminer l’affixe du point \(A_{2015}\).
La suite des points est de période \(6\), et : \[ 2015\equiv5\pmod6. \]
D’après la question précédente :
\[ z_{2015}=z_5. \]Avec :
\[ q=\frac{1+i\sqrt3}{2}, \qquad t_0=z_0-w=-w, \]on a :
\[ t_5=q^5t_0=-q^5w. \]Donc :
\[ z_5=w+t_5=w(1-q^5). \]Or :
\[ q^5 = \cos\frac{5\pi}{3} +i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac12-\frac{i\sqrt3}{2}. \]Ainsi :
\[ 1-q^5 = \frac12+\frac{i\sqrt3}{2} = q. \]Donc :
\[ z_5=wq = (1+i\sqrt3)\frac{1+i\sqrt3}{2}. \]Finalement :
\[ z_5 = \frac{1-3+2i\sqrt3}{2} = -1+i\sqrt3. \]Par conséquent :
\[ z_{2015}=-1+i\sqrt3. \]Conseil de travail
Cette épreuve associe calcul algébrique, limites, intégrales, probabilités conditionnelles et géométrie complexe. Dans les problèmes liés, il faut conserver soigneusement les résultats précédents. Lorsqu’un QCM contient deux propositions équivalentes, la correction doit le signaler clairement au lieu de forcer une réponse unique.
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