Concours ENSA Maroc 2016 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2016 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Juillet 2016.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Compétences et points clés

ENSA 2016 commence par une lecture géométrique d’un quotient complexe puis parcourt le dénombrement, les fonctions et les intégrales. Les questions liées demandent de conserver les données communes au lieu de reconstruire la figure à chaque étape.

Prérequis à revoir : affixes de vecteurs, modules et angles orientés; combinaisons, arrangements et permutations; dérivation des fonctions usuelles et composées.

Rappels de cours utiles

Transformations du plan complexe. Pour une rotation, on travaille avec les affixes relatives au centre : la différence entre l’affixe du point et celle du centre est multipliée par un complexe de module un. Un quotient d’affixes utilisé pour un angle doit avoir un dénominateur non nul. Le calcul doit être relié aux distances et aux directions de la figure.

Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.

Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Relier le quotient d’affixes à un rapport de longueurs et à un angle. Dans les sommes binomiales, reconnaître la structure de la somme avant tout développement. Pour les deux intégrales finales, comparer les expressions et leurs bornes afin de rechercher une relation entre elles.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2016.

Le sujet porte notamment sur les nombres complexes, le dénombrement, les fonctions, les limites, les intégrales et le calcul algébrique.

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Consignes

• L’épreuve comporte 20 questions.
• Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
• Une seule proposition est attendue pour chaque question.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q9Q10Q11Q12Q13Q14Q15Q16Q17Q18Q19Q20

Énoncé — Mathématiques

Exercice 1 — Nombres complexes et géométrie

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres complexes distincts, et \(A\), \(B\), \(C\) leurs images dans le plan. On pose :

\[t=\frac{c-a}{b-a}.\]

Question 1

Énoncé

Soient \(r\in\mathbb R_+^*\) et \(\theta\in\mathbb R\). La relation :

\[t=re^{i\theta}\]

se traduit géométriquement par :

A) \(AC=r\,AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv0\ [2\pi]\).

B) \(AB=r\,AC\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).

C) \(AC=r\,AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).

D) \(AC=r^2AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).

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Question 2

Énoncé

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si :

A) \(t\in i\mathbb R\).

B) \(t\in\mathbb R_+\).

C) \(t\in i\mathbb R_+\).

D) \(t\in\mathbb R\).

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Question 3

Énoncé

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si :

A) \(t\in i\mathbb R\).

B) \(t\in\mathbb R_+\).

C) \(t\in i\mathbb R_+\).

D) \(t\in\mathbb R\).

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Exercice 2 — Dénombrement

Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments et \(A\subset E\) un sous-ensemble à \(p\) éléments.

Question 4

Énoncé

Le nombre de parties de \(E\) est :

A) \(n^2\).

B) \(2^n\).

C) \(n^n\).

D) \(n!\).

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Question 5

Énoncé

Le nombre de parties de \(E\) qui contiennent un et un seul élément de \(A\) est :

A) \(n\,2^{\,n-p}\).

B) \(pn\,2^{\,n-p}\).

C) \(p\,2^{\,n-p}\).

D) \(2^{\,n-p}\).

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Question 6

Énoncé

On part du point de coordonnées \((0,0)\) pour rejoindre le point de coordonnées \((p,q)\), où \(p\) et \(q\) sont des entiers naturels strictement supérieurs à \(1\), en se déplaçant à chaque étape d’une unité vers la droite ou vers le haut.

Le nombre de chemins possibles est :

A) \(\mathrm C_{p+q}^{q}\).

B) \(q\,\mathrm C_{p+q}^{q}\).

C) \(\mathrm C_{pq}^{q}\).

D) \(2^{p+q}\).

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Question 7

Énoncé

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) la fonction définie par :

\[f(x)=\frac{2x}{1+x^2}.\]

A) \(f\) est injective.

B) \(f\) est surjective.

C) \(f\) n’est pas injective.

D) \(f\) est injective et n’est pas surjective.

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Question 8

Énoncé

Combien le nombre \(15!\) admet-il de diviseurs positifs ?

A) \(4032\).

B) \(3042\).

C) \(2034\).

D) \(3044\).

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Question 9

Énoncé

Un QCM comporte \(20\) questions. Pour chacune d’elles, \(4\) réponses sont proposées et une seule est exacte.

Le nombre de grilles-réponses possibles est :

A) \(4^{20}\).

B) \(20^4\).

C) \(800\).

D) \(80\).

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Question 10

Énoncé

Soit \((x,y,z)\in[0,1]^3\). On pose :

\[\alpha=\min\left\{x(1-y),\ y(1-z),\ z(1-x)\right\}.\]

A) \(\alpha=0\).

B) \(\alpha\gt\dfrac14\).

C) \(\dfrac18\lt\alpha\lt\dfrac14\).

D) \(\alpha\le\dfrac14\).

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Question 11

Énoncé

Calculer :

\[\sum_{k=0}^{2016}(-1)^k\mathrm C_{2016}^{k}.\]

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(2\).

D) \(3\).

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Question 12

Énoncé

Calculer :

\[\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}(i+j)^2.\]

A) \(10000\).

B) \(10750\).

C) \(13000\).

D) \(13750\).

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Question 13

Énoncé

Toute fonction discontinue est :

A) Constante.

B) Non dérivable.

C) Dérivable.

D) Périodique.

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Question 14

Énoncé

On considère la fonction :

\[f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\dfrac1x\right),&x\ne0,\\[2mm]0,&x=0.\end{cases}\]

A) \(f'\) n’est pas continue en \(0\).

B) \(f'\) est continue en \(0\).

C) \(f'\) admet une limite finie en \(0\).

D) \(f'\) a pour limite \(+\infty\) en \(0\).

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Question 15

Énoncé

Calculer :

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}.\]

A) \(1\).

B) \(e^{-4}\).

C) \(\sqrt e\).

D) \(0\).

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Question 16

Énoncé

Calculer :

\[\lim_{x\to0^+}\frac{2\cos^2\left(\frac1x\right)-\sin\left(\frac1x\right)+3}{x+\sqrt x}.\]

A) \(+\infty\).

B) \(0\).

C) \(1\).

D) \(3\).

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Question 17

Énoncé

Soient \(r_i\), pour \(1\le i\le4\), les quatre racines réelles de l’équation :

\[(x-7)(x-5)(x+4)(x+6)=608.\]

Le produit des racines \(\displaystyle\prod_{i=1}^{4}r_i\) vaut :

A) \(464\).

B) \(608\).

C) \(232\).

D) \(840\).

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Question 18

Énoncé

Calculer :

\[\int_e^{e^2}\frac{1+\ln x}{x\ln x}\,dx.\]

A) \(1-\ln2\).

B) \(1+\ln2\).

C) \(\ln2\).

D) \(1\).

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Question 19

Énoncé

Calculer :

\[\int_0^1x^2\sin(\pi x)\,dx.\]

A) \(\displaystyle\frac{\pi^2-4}{\pi^3}\).

B) \(\displaystyle\frac{\pi^2+4}{\pi^3}\).

C) \(\displaystyle\frac4{\pi^3}\).

D) \(\displaystyle-\frac4{\pi^3}\).

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Question 20

Énoncé

On pose :

\[I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,dx\]

et :

\[J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx.\]

A) \(I=J=0\).

B) \(I=\dfrac{\pi}{2}\) et \(J=\dfrac{\pi}{4}\).

C) \(I=J=\dfrac{\pi}{4}\).

D) \(I=\dfrac{\pi}{3}\) et \(J=\pi\).

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Conseil de travail

Traiter l’épreuve en temps limité avant de consulter la correction. Les premières questions utilisent les interprétations géométriques des nombres complexes et les principes de dénombrement ; les dernières demandent surtout une bonne maîtrise des limites et des intégrales.

Ressources liées

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