Correction Concours ENSA Maroc 2016 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2016.
Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2016.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Interprétation géométrique d’un quotient complexe
On pose :
\[ t=\frac{c-a}{b-a}. \]Si \(t=re^{i\theta}\), déterminer la traduction géométrique correcte.
Le module d’un quotient donne le rapport des longueurs et son argument donne l’angle orienté correspondant.
Comme :
\[ |t| = \left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}, \]et \(t=re^{i\theta}\), on a :
\[ \frac{AC}{AB}=r, \qquad AC=r\,AB. \]D’autre part :
\[ \arg(t) = \arg(c-a)-\arg(b-a) = \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \quad[2\pi]. \]Donc :
\[ \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \equiv\theta\ [2\pi]. \]Question 2 — Condition d’alignement
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si :
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si le quotient de leurs affixes est réel.
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont pour affixes respectives :
\[ b-a \qquad\text{et}\qquad c-a. \]Ils sont colinéaires si et seulement si :
\[ \frac{c-a}{b-a}\in\mathbb R. \]Or ce quotient est précisément \(t\). Ainsi :
\[ A,\ B,\ C\ \text{sont alignés} \iff t\in\mathbb R. \]Question 3 — Triangle rectangle en \(A\)
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si :
Le triangle est rectangle en \(A\) lorsque l’angle orienté entre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) vaut \(\pm\pi/2\) modulo \(\pi\).
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si :
\[ \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi]. \]Cela équivaut à dire que l’argument de \(t\) vaut \(\pm\pi/2\) modulo \(2\pi\). Par conséquent, \(t\) est imaginaire pur.
Comme les points sont distincts, \(t\ne0\), mais l’appartenance proposée reste :
\[ t\in i\mathbb R. \]Question 4 — Nombre de parties d’un ensemble
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments. Déterminer le nombre de parties de \(E\).
Pour chaque élément de \(E\), deux choix sont possibles : il appartient ou il n’appartient pas à la partie considérée.
Chacun des \(n\) éléments donne deux possibilités indépendantes :
- l’élément est choisi ;
- l’élément n’est pas choisi.
Le principe multiplicatif donne donc :
\[ \underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{n\ \text{facteurs}} = 2^n. \]Question 5 — Parties contenant exactement un élément de \(A\)
Soit \(A\subset E\), avec \(\operatorname{card}(A)=p\). Déterminer le nombre de parties de \(E\) qui contiennent un et un seul élément de \(A\).
On choisit d’abord l’unique élément retenu dans \(A\), puis une partie quelconque de \(E\setminus A\).
L’unique élément appartenant à \(A\) peut être choisi de :
\[ p \]façons.
L’ensemble \(E\setminus A\) contient \(n-p\) éléments. On peut en choisir une partie quelconque, soit :
\[ 2^{n-p} \]possibilités.
Par le principe multiplicatif :
\[ p\,2^{n-p}. \]Question 6 — Nombre de chemins dans un quadrillage
On va de \((0,0)\) à \((p,q)\) par des déplacements unitaires vers la droite ou vers le haut. Déterminer le nombre de chemins possibles.
Tout chemin contient exactement \(p\) déplacements vers la droite et \(q\) déplacements vers le haut.
Un chemin comporte au total :
\[ p+q \]déplacements.
Il suffit de choisir les \(q\) positions occupées par les déplacements vers le haut parmi les \(p+q\) positions disponibles.
Le nombre de chemins est donc :
\[ \mathrm C_{p+q}^{q}. \]Question 7 — Injectivité et surjectivité
On considère :
\[ f(x)=\frac{2x}{1+x^2}. \]Déterminer l’affirmation correcte.
Pour réfuter l’injectivité, il suffit de trouver deux réels distincts ayant la même image.
On calcule :
\[ f(2)=\frac4{5}. \]D’autre part :
\[ f\left(\frac12\right) = \frac{1}{1+\frac14} = \frac45. \]Or :
\[ 2\ne\frac12. \]Deux antécédents distincts ont donc la même image. Ainsi, \(f\) n’est pas injective.
Question 8 — Nombre de diviseurs de \(15!\)
Combien le nombre \(15!\) possède-t-il de diviseurs positifs ?
Si \(N=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}\), son nombre de diviseurs positifs est \((\alpha_1+1)\cdots(\alpha_r+1)\).
La décomposition de \(15!\) en facteurs premiers est :
\[ 15! = 2^{11}3^65^37^2\,11\,13. \]En effet :
\[ v_2(15!)=7+3+1=11, \qquad v_3(15!)=5+1=6. \]Le nombre de diviseurs positifs est donc :
\[ (11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1). \]Ainsi :
\[ 12\times7\times4\times3\times2\times2 = 4032. \]Question 9 — Nombre de grilles-réponses
Un QCM comporte \(20\) questions et \(4\) choix pour chacune. Déterminer le nombre total de grilles-réponses.
Les choix effectués pour les vingt questions sont indépendants.
Pour chacune des \(20\) questions, il existe \(4\) réponses possibles.
Le principe multiplicatif donne :
\[ \underbrace{4\times4\times\cdots\times4}_{20\ \text{facteurs}} = 4^{20}. \]Question 10 — Encadrement d’un minimum
Pour \((x,y,z)\in[0,1]^3\), on pose :
\[ \alpha= \min\left\{ x(1-y),\ y(1-z),\ z(1-x) \right\}. \]Pour tout \(u\in[0,1]\), on a \(u(1-u)\le\dfrac14\).
Comme \(\alpha\) est inférieur ou égal à chacun des trois termes :
\[ \alpha^3 \le x(1-y)\,y(1-z)\,z(1-x). \]On réorganise le produit :
\[ \alpha^3 \le x(1-x)\,y(1-y)\,z(1-z). \]Or, pour tout \(u\in[0,1]\) :
\[ u(1-u)\le\frac14. \]Donc :
\[ \alpha^3\le\left(\frac14\right)^3. \]Les trois termes définissant \(\alpha\) sont positifs ou nuls, donc \(\alpha\ge0\). On en déduit :
\[ \alpha\le\frac14. \]Question 11 — Somme binomiale alternée
On applique la formule du binôme de Newton à \((1-1)^{2016}\).
D’après le binôme de Newton :
\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \mathrm C_n^k a^{n-k}b^k. \]En prenant \(a=1\), \(b=-1\) et \(n=2016\) :
\[ (1-1)^{2016} = \sum_{k=0}^{2016} \mathrm C_{2016}^{k}(-1)^k. \]Donc :
\[ \sum_{k=0}^{2016}(-1)^k\mathrm C_{2016}^{k}=0. \]Question 12 — Calcul d’une somme double
On développe \((i+j)^2=i^2+2ij+j^2\), puis on sépare les sommes.
On a :
\[ S = \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}i^2 + 2\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}ij + \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}j^2. \]Or :
\[ \sum_{k=1}^{10}k=55, \qquad \sum_{k=1}^{10}k^2=385. \]Donc :
\[ S = 10\times385 + 2\times55^2 + 10\times385. \]Ainsi :
\[ S = 3850+6050+3850 = 13750. \]Question 13 — Discontinuité et dérivabilité
Toute fonction discontinue est :
Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.
La dérivabilité implique la continuité :
\[ f\ \text{dérivable en }a \Longrightarrow f\ \text{continue en }a. \]Par contraposition, si une fonction est discontinue en un point, elle n’est pas dérivable en ce point.
Dans le sens attendu par le QCM, une fonction discontinue n’est donc pas dérivable sur tout son domaine.
Question 14 — Continuité de la fonction dérivée
On considère :
\[ f(x)= \begin{cases} x^2\sin\left(\dfrac1x\right),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]On calcule séparément \(f'(0)\) et l’expression de \(f'(x)\) pour \(x\ne0\).
Au point \(0\) :
\[ f'(0) = \lim_{x\to0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0} x\sin\left(\frac1x\right) = 0. \]Pour \(x\ne0\) :
\[ f'(x) = 2x\sin\left(\frac1x\right) - \cos\left(\frac1x\right). \]Le premier terme tend vers \(0\), mais le second oscille et n’admet pas de limite lorsque \(x\to0\).
Ainsi, \(f'\) n’admet pas de limite en \(0\) et n’est donc pas continue en \(0\).
Question 15 — Limite d’une puissance
On écrit la base sous la forme \(1+u(x)\), avec \(u(x)\to0\), puis on étudie le logarithme.
On a :
\[ \frac{x-1}{x+3} = 1-\frac4{x+3}. \]Posons :
\[ L_x= \left(1-\frac4{x+3}\right)^{x+2}. \]Alors :
\[ \ln L_x = (x+2)\ln\left(1-\frac4{x+3}\right). \]Comme \(\ln(1+u)\sim u\) lorsque \(u\to0\) :
\[ \ln L_x \sim (x+2)\left(-\frac4{x+3}\right) \longrightarrow-4. \]Par continuité de l’exponentielle :
\[ L_x\longrightarrow e^{-4}. \]Question 16 — Limite avec oscillations
Il faut minorer le numérateur par une constante strictement positive.
Posons :
\[ s=\sin\left(\frac1x\right), \qquad s\in[-1,1]. \]Comme \(\cos^2(1/x)=1-s^2\), le numérateur vaut :
\[ 2(1-s^2)-s+3 = 5-s-2s^2. \]La fonction \(s\mapsto5-s-2s^2\) est concave sur \([-1,1]\). Son minimum est atteint à une extrémité :
\[ 5-1-2=2, \qquad 5+1-2=4. \]Donc le numérateur est toujours supérieur ou égal à \(2\).
Or :
\[ x+\sqrt x\longrightarrow0^+. \]Ainsi :
\[ \frac{2\cos^2\left(\frac1x\right)-\sin\left(\frac1x\right)+3} {x+\sqrt x} \longrightarrow+\infty. \]Question 17 — Produit des racines d’un polynôme
Les quatre réels \(r_i\) sont les racines de :
\[ (x-7)(x-5)(x+4)(x+6)=608. \]Calculer \(\displaystyle\prod_{i=1}^{4}r_i\).
Pour un polynôme unitaire de degré \(4\), le produit des racines est égal au terme constant.
L’équation s’écrit :
\[ P(x) = (x-7)(x-5)(x+4)(x+6)-608 = 0. \]Le polynôme \(P\) est unitaire de degré \(4\). Son terme constant est :
\[ P(0) = (-7)(-5)(4)(6)-608. \]Donc :
\[ P(0)=840-608=232. \]D’après les relations de Viète :
\[ r_1r_2r_3r_4=232. \]Question 18 — Intégrale logarithmique
On sépare l’intégrande : \[ \frac{1+\ln x}{x\ln x} = \frac1{x\ln x}+\frac1x. \]
Une primitive est :
\[ \ln(\ln x)+\ln x. \]Donc :
\[ I = \left[\ln(\ln x)+\ln x\right]_e^{e^2}. \]À \(x=e^2\) :
\[ \ln(\ln(e^2))+\ln(e^2) = \ln2+2. \]À \(x=e\) :
\[ \ln(\ln e)+\ln e = 0+1. \]Ainsi :
\[ I=1+\ln2. \]Question 19 — Intégration par parties
On effectue deux intégrations par parties successives.
Première intégration par parties :
\[ u=x^2, \qquad dv=\sin(\pi x)\,dx, \qquad v=-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}. \]Donc :
\[ I = \left[-\frac{x^2\cos(\pi x)}{\pi}\right]_0^1 + \frac2\pi\int_0^1x\cos(\pi x)\,dx. \]Le terme de bord vaut \(\dfrac1\pi\). Posons :
\[ J=\int_0^1x\cos(\pi x)\,dx. \]Une nouvelle intégration par parties donne :
\[ J = \left[\frac{x\sin(\pi x)}{\pi}\right]_0^1 - \frac1\pi\int_0^1\sin(\pi x)\,dx. \]Ainsi :
\[ J = -\frac1\pi\cdot\frac2\pi = -\frac2{\pi^2}. \]Finalement :
\[ I = \frac1\pi + \frac2\pi\left(-\frac2{\pi^2}\right) = \frac1\pi-\frac4{\pi^3}. \]Donc :
\[ I = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}. \]Question 20 — Symétrie de deux intégrales
On pose :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,dx, \qquad J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx. \]Le changement de variable \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\) transforme \(I\) en \(J\).
Dans \(I\), posons :
\[ x=\frac{\pi}{2}-t. \]Alors :
\[ \sin x=\cos t, \qquad \cos x=\sin t. \]On obtient :
\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\sin t+\cos t}\,dt = J. \]D’autre part :
\[ I+J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,dx = \frac{\pi}{2}. \]Comme \(I=J\) :
\[ 2I=\frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ I=J=\frac{\pi}{4}. \]Conseil de travail
Cette épreuve associe des questions rapides et des raisonnements plus structurés. En nombres complexes, il faut distinguer précisément module, argument et alignement. En dénombrement, il faut identifier les choix indépendants. Pour les limites et les intégrales, une transformation adaptée permet souvent d’éviter des calculs longs.
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