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Concours ENSA Maroc 2017 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2017 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2017.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2017.

L’épreuve comprend dix questions indépendantes, un exercice de géométrie dans l’espace, un exercice de probabilités et un exercice sur les nombres complexes.

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Consignes

  • Calculatrices, téléphones et tous types de documents non autorisés.
  • L’épreuve comporte 20 questions.
  • Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Calculer :

\[ \sqrt{9{,}8}\left(\frac{147}{375}\right)^{-\frac48}. \]
A) \(4\).
B) \(5\).
C) \(6\).
D) \(7\).
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Question 2

Énoncé

On pose :

\[ X=\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}. \]

En calculant \(X^3\), montrer que \(X\) vaut :

A) \(0\).
B) \(1\).
C) \(2\).
D) \(3\).
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Question 3

Énoncé

Calculer :

\[ 2\arctan\left(\frac13\right)+\arctan\left(\frac17\right). \]
A) \(\dfrac{\pi}{2}\).
B) \(\dfrac{\pi}{3}\).
C) \(\dfrac{\pi}{4}\).
D) \(\dfrac{\pi}{6}\).
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Question 4

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n-(-1)^n}{n+(-1)^n}. \]
A) \(0\).
B) \(1\).
C) \(2\).
D) \(3\).
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Question 5

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{xe^{-x}+x^2}{x-\ln x}. \]
A) \(0\).
B) \(1\).
C) \(+\infty\).
D) \(-\infty\).
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Question 6

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to-1} \frac{x^3+x^2-x-1}{x^3-3x-2}. \]
A) \(\dfrac12\).
B) \(\dfrac14\).
C) \(\dfrac23\).
D) \(\dfrac32\).
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Question 7

Énoncé

Soit \(f(x)=|x|\) et \(f'\) la dérivée d’ordre \(1\) de \(f\). Alors :

A) \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
B) \(f'(0)=0\).
C) \(f'(0)=1\).
D) \(f'(0)=-1\).
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Question 8

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^7\,dx. \]
A) \(\dfrac1{\pi}\).
B) \(0\).
C) \(\dfrac{16}{35}\).
D) \(\dfrac{16\pi}{35}\).
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Question 9

Énoncé

Calculer :

\[ \int_{\frac13}^{1} \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^4}\,dx. \]
A) \(2\).
B) \(5\).
C) \(6\).
D) \(7\).
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Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1\frac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx. \]
A) \(\displaystyle \frac e2-1\).
B) \(e^{-2}+1\).
C) \(e^{-2}\).
D) \(e^2\).
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Exercice 1 — Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\).

Question 11

Énoncé

Une représentation paramétrique de la droite passant par le point :

\[ A(-1,2,-3) \]

et orthogonale au plan d’équation :

\[ 2x-3y+4z+1=0 \]

est :

A) \(\displaystyle \begin{cases}x=3-2t\\y=2-t\\z=-3+t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).
B) \(\displaystyle \begin{cases}x=1+2t\\y=-3-2t\\z=-3-4t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).
C) \(\displaystyle \begin{cases}x=-3+2t\\y=2-t\\z=-3+t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).
D) \(\displaystyle \begin{cases}x=-1+2t\\y=2-3t\\z=-3+4t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).
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Question 12

Énoncé

On considère le point :

\[ A(-1,3,1) \]

et la droite \((D)\) définie par :

\[ \begin{cases} x=-1+2t,\\ y=2-2t,\\ z=3+3t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]

Les coordonnées du projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\) sont :

A) \(\displaystyle \left(-\frac{33}{17},\frac{50}{17},\frac{27}{17}\right)\).
B) \(\displaystyle \left(\frac1{13},\frac{12}{13},\frac{60}{13}\right)\).
C) \(\displaystyle \left(-\frac1{17},\frac{18}{17},\frac{75}{17}\right)\).
D) \(\displaystyle \left(-\frac1{17},\frac{18}{17},-\frac{75}{17}\right)\).
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Question 13

Énoncé

La droite dirigée par :

\[ \vec u=(3,2,1) \]

et passant par le point \(A(1,2,3)\) coupe le plan \((xOy)\) au point \(B\) de coordonnées :

A) \((4,4,4)\).
B) \((-5,-2,1)\).
C) \((-8,-4,0)\).
D) \((4,4,0)\).
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Exercice 2 — Probabilités

Pour fêter leur réussite au concours ENSA, Taha et Jawad sont partis au restaurant pour déjeuner.

Taha possède dans sa poche trois billets de \(50\) DH et un billet de \(100\) DH. Jawad possède un billet de \(50\) DH et un billet de \(100\) DH.

Ils décident avec le serveur de payer leur repas selon la procédure suivante :

  • une urne contient deux boules, portant respectivement les prénoms de Taha et de Jawad ;
  • le serveur tire au hasard une boule, lit le prénom, remet la boule dans l’urne et demande à la personne désignée de tirer au hasard un seul billet de sa poche ;
  • le billet tiré est remis au serveur et placé dans la caisse ;
  • si le billet vaut \(100\) DH, la procédure s’arrête ; sinon, elle recommence une seule fois encore, selon la même procédure.

Les billets sont supposés indiscernables au toucher.

Question 14

Énoncé

La probabilité que le coût du repas des deux amis soit de \(150\) DH est :

A) \(\dfrac{11}{32}\).
B) \(\dfrac{10}{32}\).
C) \(\dfrac9{32}\).
D) \(\dfrac{12}{32}\).
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Question 15

Énoncé

La probabilité que les deux amis paient équitablement le repas est :

A) \(\dfrac6{32}\).
B) \(\dfrac9{32}\).
C) \(\dfrac{15}{32}\).
D) \(\dfrac{11}{32}\).
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Question 16

Énoncé

La probabilité que l’un des deux amis mange gratuitement est :

A) \(\dfrac{19}{32}\).
B) \(\dfrac{16}{32}\).
C) \(\dfrac{22}{32}\).
D) \(\dfrac4{32}\).
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Exercice 3 — Nombres complexes

On considère :

\[ z_1=\sqrt2+i\sqrt6, \qquad z_2=2+2i, \qquad Z=\frac{z_1}{z_2}. \]

Question 17

Énoncé

La forme algébrique de \(Z\) est :

A) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}\left(1+\sqrt3+i\sqrt3-i\right)\).
B) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}\left(1-\sqrt3+i\sqrt3-i\right)\).
C) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}(1+i)\).
D) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}(1-i)\).
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Question 18

Énoncé

Le module de \(Z\) est :

A) \(4\).
B) \(2\).
C) \(3\).
D) \(1\).
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Question 19

Énoncé

Un argument de \(Z\) est :

A) \(\displaystyle \frac{\pi}{12}\ [2\pi]\).
B) \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\ [2\pi]\).
C) \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\ [2\pi]\).
D) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\ [2\pi]\).
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Question 20

Énoncé

La forme algébrique de \(Z^{2017}\) est :

A) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}\left(1+\sqrt3+i\sqrt3-i\right)\).
B) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}\left(-\sqrt3+i\sqrt3\right)\).
C) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}(1+i)\).
D) \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}(1-i)\).
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Conseil de travail

Traiter l’épreuve en temps limité avant de consulter la correction. Les questions 11 à 13 nécessitent une rédaction géométrique rigoureuse, tandis que les questions 14 à 16 demandent une modélisation précise de la procédure aléatoire.

Ressources liées

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