Correction Concours ENSA Maroc 2017 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Juillet 2017.
Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2017.
Chaque résultat a été recalculé à partir du sujet. Une attention particulière est accordée à la procédure probabiliste, qui ne peut être répétée qu’une seule fois après un premier billet de 50 DH.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Simplification d’une expression
Calculer :
\[ \sqrt{9{,}8}\left(\frac{147}{375}\right)^{-\frac48}. \]\[ 9{,}8=\frac{49}{5}, \qquad \frac{147}{375}=\frac{49}{125}, \qquad -\frac48=-\frac12. \]
On obtient :
\[ \sqrt{\frac{49}{5}} \left(\frac{49}{125}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{49}{5}} \sqrt{\frac{125}{49}}. \]Donc :
\[ \sqrt{\frac{49}{5}\times\frac{125}{49}} = \sqrt{25}=5. \]Question 2 — Différence de deux racines cubiques
On pose :
\[ X=\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}. \]On pose : \[ a=\sqrt[3]{\sqrt5+2}, \qquad b=\sqrt[3]{\sqrt5-2}. \] Alors \(ab=1\).
Comme \(X=a-b\) :
\[ X^3=a^3-b^3-3ab(a-b). \]Or :
\[ a^3-b^3=(\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)=4, \qquad ab=1. \]Donc :
\[ X^3=4-3X, \qquad X^3+3X-4=0. \]On factorise :
\[ X^3+3X-4=(X-1)(X^2+X+4). \]Le trinôme \(X^2+X+4\) est strictement positif, donc :
\[ X=1. \]Question 3 — Somme d’arctangentes
Calculer :
\[ 2\arctan\left(\frac13\right)+\arctan\left(\frac17\right). \]Si \(\alpha=\arctan(1/3)\), alors : \[ \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}. \]
Posons :
\[ \alpha=\arctan\left(\frac13\right), \qquad \beta=\arctan\left(\frac17\right). \]Alors :
\[ \tan(2\alpha) = \frac{\frac23}{1-\frac19} = \frac34. \]Donc :
\[ \tan(2\alpha+\beta) = \frac{\frac34+\frac17}{1-\frac34\cdot\frac17} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} =1. \]Les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont positifs et \(2\alpha+\beta\in]0,\pi/2[\). Par conséquent :
\[ 2\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}. \]Question 4 — Limite d’une suite avec \((-1)^n\)
On divise le numérateur et le dénominateur par \(n\).
Or :
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n-(-1)^n}{n+(-1)^n}=1. \]Question 5 — Croissance comparée
On divise le numérateur et le dénominateur par \(x\gt0\).
Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ e^{-x}\to0, \qquad x\to+\infty, \qquad \frac{\ln x}{x}\to0. \]Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur vers \(1\). Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{xe^{-x}+x^2}{x-\ln x} =+\infty. \]Question 6 — Limite d’une fraction rationnelle
On factorise le numérateur et le dénominateur par \(x+1\).
Pour \(x\ne-1\) :
\[ \frac{x^3+x^2-x-1}{x^3-3x-2} = \frac{x-1}{x-2}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to-1}\frac{x-1}{x-2} = \frac{-2}{-3} = \frac23. \]Question 7 — Dérivabilité de la valeur absolue
Soit \(f(x)=|x|\). Déterminer l’affirmation correcte.
On compare les nombres dérivés à droite et à gauche en \(0\).
À droite de \(0\), \(f(x)=x\), donc :
\[ f'_d(0)=1. \]À gauche de \(0\), \(f(x)=-x\), donc :
\[ f'_g(0)=-1. \]Comme :
\[ f'_d(0)\ne f'_g(0), \]la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
Question 8 — Intégrale d’une puissance de cosinus
On écrit \(\cos^7x=(1-\sin^2x)^3\cos x\), puis on pose \(u=\sin x\).
Avec \(u=\sin x\), \(du=\cos x\,dx\), et les bornes deviennent \(0\) et \(1\) :
\[ I=\int_0^1(1-u^2)^3\,du. \]En développant :
\[ I=\int_0^1(1-3u^2+3u^4-u^6)\,du. \]Donc :
\[ I = 1-1+\frac35-\frac17 = \frac{16}{35}. \]Question 9 — Changement de variable
On pose : \[ t=\frac1{x^2}-1=\frac{1-x^2}{x^2}. \]
On a :
\[ dt=-\frac{2}{x^3}\,dx. \]De plus :
\[ \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^4} = \frac{\sqrt[3]{x(1-x^2)}}{x^4} = \frac{t^{1/3}}{x^3}. \]Pour \(x=\dfrac13\), \(t=8\), et pour \(x=1\), \(t=0\). Ainsi :
\[ I = -\frac12\int_8^0t^{1/3}\,dt = \frac12\int_0^8t^{1/3}\,dt. \]Donc :
\[ I = \frac12\left[\frac34t^{4/3}\right]_0^8 = \frac38\times16 = 6. \]Question 10 — Reconnaissance d’une dérivée
On calcule la dérivée de \(x\mapsto\dfrac{e^x}{x+1}\).
Donc :
\[ \int_0^1\frac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx = \left[\frac{e^x}{x+1}\right]_0^1. \]Ainsi :
\[ I=\frac e2-1. \]Question 11 — Droite orthogonale à un plan
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(-1,2,-3)\) et orthogonale au plan :
\[ 2x-3y+4z+1=0. \]Un vecteur normal au plan est \((2,-3,4)\). Il dirige toute droite orthogonale au plan.
La droite recherchée passe par \(A(-1,2,-3)\) et admet pour vecteur directeur :
\[ \vec n=(2,-3,4). \]Une représentation paramétrique est donc :
\[ \begin{cases} x=-1+2t,\\ y=2-3t,\\ z=-3+4t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]Question 12 — Projeté orthogonal sur une droite
Soit \(A(-1,3,1)\) et la droite \((D)\) :
\[ \begin{cases} x=-1+2t,\\ y=2-2t,\\ z=3+3t. \end{cases} \]Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\).
Le projeté \(H\) appartient à \((D)\) et le vecteur \(\overrightarrow{HA}\) est orthogonal au vecteur directeur \((2,-2,3)\).
Un point \(H\) de \((D)\) a pour coordonnées :
\[ H(-1+2t,\,2-2t,\,3+3t). \]Le vecteur directeur est :
\[ \vec u=(2,-2,3). \]Par la relation de Chasles :
\[ \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OA}. \]Ses coordonnées sont donc :
\[ \overrightarrow{HA} = (-2t,\,1+2t,\,-2-3t). \]La condition \(\overrightarrow{HA}\cdot\vec u=0\) donne :
\[ -4t-2-4t-6-9t=0, \] \[ -17t-8=0, \qquad t=-\frac8{17}. \]On obtient :
\[ H\left( -\frac{33}{17}, \frac{50}{17}, \frac{27}{17} \right). \]Question 13 — Intersection d’une droite avec le plan \((xOy)\)
La droite passe par \(A(1,2,3)\) et est dirigée par \(\vec u=(3,2,1)\). Déterminer son intersection avec le plan \((xOy)\).
Le plan \((xOy)\) est défini par \(z=0\).
Une représentation paramétrique de la droite est :
\[ \begin{cases} x=1+3t,\\ y=2+2t,\\ z=3+t. \end{cases} \]À l’intersection avec \((xOy)\), on a :
\[ 3+t=0, \qquad t=-3. \]Donc :
\[ x=1-9=-8, \qquad y=2-6=-4, \qquad z=0. \]Ainsi :
\[ B(-8,-4,0). \]Question 14 — Coût total de 150 DH
Taha possède trois billets de \(50\) DH et un billet de \(100\) DH. Jawad possède un billet de \(50\) DH et un billet de \(100\) DH.
Une personne est choisie au hasard, puis tire un billet au hasard. Si le billet vaut \(100\) DH, la procédure s’arrête. Si le billet vaut \(50\) DH, la procédure est répétée une seule fois encore.
Calculer la probabilité que le coût total soit \(150\) DH.
Pour obtenir \(150\) DH, le premier billet doit être \(50\) DH et le second \(100\) DH.
Premier cas : Taha donne d’abord \(50\) DH.
\[ P(T_{50})=\frac12\times\frac34=\frac38. \]Il lui reste alors deux billets de \(50\) DH et un billet de \(100\) DH. La probabilité que le second billet soit \(100\) DH vaut :
\[ \frac12\times\frac13+\frac12\times\frac12 = \frac5{12}. \]La contribution de ce cas est :
\[ \frac38\times\frac5{12}=\frac5{32}. \]Deuxième cas : Jawad donne d’abord \(50\) DH.
\[ P(J_{50})=\frac12\times\frac12=\frac14. \]Il ne lui reste alors que son billet de \(100\) DH. La probabilité que le second billet soit \(100\) DH vaut :
\[ \frac12\times\frac14+\frac12\times1 = \frac58. \]La contribution de ce cas est :
\[ \frac14\times\frac58=\frac5{32}. \]Finalement :
\[ P(\text{coût }150) = \frac5{32}+\frac5{32} = \frac{10}{32}. \]Question 15 — Paiement équitable
Avec la même procédure, calculer la probabilité que Taha et Jawad paient exactement la même somme.
Avec au plus deux billets versés, l’égalité des paiements exige que chacun donne un billet de \(50\) DH.
Cas 1 : Taha donne \(50\) DH, puis Jawad donne \(50\) DH :
\[ \frac38\times\left(\frac12\times\frac12\right) = \frac3{32}. \]Cas 2 : Jawad donne \(50\) DH, puis Taha donne \(50\) DH :
\[ \frac14\times\left(\frac12\times\frac34\right) = \frac3{32}. \]Les deux cas sont incompatibles. Donc :
\[ P(\text{paiement équitable}) = \frac3{32}+\frac3{32} = \frac6{32}. \]Question 16 — Un ami ne paie rien
Avec la même procédure, calculer la probabilité que l’un des deux amis mange gratuitement, c’est-à-dire ne verse aucun billet.
On calcule plus simplement la probabilité complémentaire : les deux amis versent chacun au moins un billet.
Les deux amis paient tous les deux seulement si le premier billet vaut \(50\) DH et si l’autre ami est choisi au second tirage.
Si Taha donne d’abord \(50\) DH :
\[ \frac38\times\frac12=\frac6{32}. \]Si Jawad donne d’abord \(50\) DH :
\[ \frac14\times\frac12=\frac4{32}. \]Donc :
\[ P(\text{les deux paient}) = \frac{10}{32}. \]Par complémentarité :
\[ P(\text{un ami ne paie rien}) = 1-\frac{10}{32} = \frac{22}{32}. \]Question 17 — Forme algébrique d’un quotient complexe
On considère :
\[ z_1=\sqrt2+i\sqrt6, \qquad z_2=2+2i, \qquad Z=\frac{z_1}{z_2}. \]On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(2-2i\).
Le dénominateur vaut \(8\). Le numérateur vaut :
\[ 2\sqrt2+2\sqrt6+i(2\sqrt6-2\sqrt2). \]Donc :
\[ Z = \frac{\sqrt2}{4} \left(1+\sqrt3+i\sqrt3-i\right). \]Question 18 — Module d’un quotient complexe
Déterminer le module du nombre \(Z=\dfrac{z_1}{z_2}\).
\[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}. \]
Ainsi :
\[ |Z|=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt2}=1. \]Question 19 — Argument d’un quotient complexe
Déterminer un argument de \(Z=\dfrac{z_1}{z_2}\).
\[ \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1)-\arg(z_2) \quad[2\pi]. \]
Comme :
\[ z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right), \] \[ z_2=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right), \]on obtient :
\[ \arg(Z) = \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \quad[2\pi]. \]Question 20 — Puissance d’un complexe de module \(1\)
Déterminer la forme algébrique de \(Z^{2017}\).
On a \(Z=e^{i\pi/12}\). Les puissances sont périodiques modulo \(24\), car \(24\times\pi/12=2\pi\).
On écrit :
\[ Z^{2017} = e^{i\frac{2017\pi}{12}}. \]Or :
\[ 2017=24\times84+1. \]Donc :
\[ Z^{2017} = e^{i\left(84\times2\pi+\frac{\pi}{12}\right)} = e^{i\pi/12} = Z. \]D’après la question 17 :
\[ Z^{2017} = \frac{\sqrt2}{4} \left(1+\sqrt3+i\sqrt3-i\right). \]Conseil de travail
Dans cette épreuve, plusieurs questions se résolvent par une transformation courte mais précise. Pour les probabilités, il faut traduire exactement la procédure et distinguer les événements selon l’ordre des tirages. Pour la géométrie, les coordonnées vectorielles doivent être établies à partir des relations de Chasles.
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