Concours ENSA Maroc 2018 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2018 — Énoncé de mathématiques

Écoles nationales des sciences appliquées — Concours d’accès en première année

Juillet 2018 · Épreuve de mathématiques · Durée : 1 h 30 · 20 QCM

Cette annale du concours ENSA Maroc 2018 rassemble les vingt questions de l’épreuve de mathématiques, dans leur ordre de présentation. Les premières questions mobilisent les suites, les limites, la continuité, les fonctions réciproques et la dérivabilité ; deux calculs d’intégrales complètent cette première partie. L’épreuve propose ensuite un exercice de géométrie dans l’espace, fondé sur un cube muni d’un repère orthonormé, puis un exercice de probabilités concernant une grille de vingt réponses choisies au hasard.

Chaque question comporte quatre propositions. Pour préparer efficacement le concours, ne cherchez pas seulement une lettre : identifiez la notion du cours, vérifiez les conditions nécessaires, puis contrôlez votre raisonnement avant de comparer le résultat aux choix. Les rappels disposés au fil de la page servent à orienter la recherche sans dévoiler toutes les réponses. L’énoncé permet ainsi de travailler à la fois la maîtrise des propriétés et la gestion du temps.

Consignes de l’épreuve

Le concours comporte 20 questions à choix multiples, avec quatre propositions A, B, C et D pour chacune. Une seule réponse est correcte par question. Les calculatrices, téléphones et documents ne sont pas autorisés. La durée annoncée est de 1 h 30. Les questions 11 à 16 partagent la même configuration géométrique et les questions 17 à 20 se rapportent à une même expérience aléatoire.

Comment aborder les vingt questions ?

Lors de la première lecture, distinguez les calculs immédiats des questions qui demandent une mise en place. Pour une limite, examinez l’expression et les conditions de définition avant toute transformation. Pour une intégrale, recherchez une simplification ou une méthode du cours. Dans les exercices liés, conservez les données communes : un repère pour le cube et un événement précis pour les probabilités. Enfin, si un choix paraît impossible, vérifiez d’abord la lecture de l’énoncé et la validité de votre calcul.

Accès rapide aux 20 questions

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10 Question 11 Question 12 Question 13 Question 14 Question 15 Question 16 Question 17 Question 18 Question 19 Question 20

Questions 1 à 3 — Suites et limites

Repère de cours — Reconnaître la structure d’une limite

Une suite dont les accroissements successifs admettent une limite peut être étudiée en écrivant la différence entre deux termes sous forme d’une somme d’accroissements. Cette stratégie permet de relier le comportement de la suite à celui de ses variations. Pour un quotient trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus sont bornées : on peut alors utiliser un encadrement. Enfin, lorsque le logarithme est composé avec lui-même, commencez par déterminer de quel côté la variable approche le point et si les logarithmes sont définis.

Question 1

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que :

\[ \lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=2. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n} \]

est égale à :

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(+\infty\).

D) \(2\).

Question 2

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sin^2 n-\cos^3 n}{n}. \]

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(-\infty\).

D) \(+\infty\).

Question 3

Calculer :

\[ \lim_{x\to1^+}\ln x\,\ln(\ln x). \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(+\infty\).

D) \(-\infty\).

Questions 4 et 5 — Sommes harmoniques et encadrements

Méthode — Comparer une somme à des termes simples

Les deux questions utilisent la même suite définie à l’aide d’une somme de fractions. Pour comparer deux termes éloignés, écrivez leur différence sous forme d’une somme dont les indices et le nombre de termes sont bien identifiés. Encadrer chaque fraction par une quantité commune conduit alors à un encadrement de la somme entière. Une propriété obtenue pour une différence de termes peut ensuite être réutilisée plusieurs fois : gardez les résultats précédents à votre disposition.

Question 4

Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb N^*\) par :

\[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k. \]

On a :

A) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\ge\frac12\).

B) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\le\frac14\).

C) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\lt\frac13\).

D) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\lt\frac12\).

Question 5

Pour la même suite que dans la question 4, on a :

A) \(\displaystyle u_{2^{10}}\ge6\).

B) \(\displaystyle u_{2^{10}}\lt6\).

C) \(\displaystyle u_{2^{10}}=3\).

D) \(\displaystyle u_{2^{10}}\lt5\).

Questions 6 à 8 — Trigonométrie, continuité et dérivabilité

Rappel de cours — Vérifier les hypothèses

Dans une expression comme \(\cos(\arctan x)\), utilisez les relations trigonométriques avec la valeur de l’angle fournie par la fonction réciproque, sans oublier le signe du cosinus. Pour une fonction qui vérifie une relation entre \(f(2x)\) et \(f(x)\), demandez-vous comment ramener son argument vers un point de continuité connu. Enfin, devant un quotient dont le dénominateur tend vers zéro, faites apparaître un taux d’accroissement afin de pouvoir appliquer la définition de la dérivée.

Question 6

Pour \(x\in\mathbb R\), on a :

\[ \cos(\arctan x)= \]

A) \(\displaystyle \frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

B) \(\displaystyle \frac1{\sqrt{1+x^2}}\).

C) \(\displaystyle -\frac1{\sqrt{1+x^2}}\).

D) \(\displaystyle -\frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

Question 7

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction continue en \(0\) telle que :

\[ f(2x)=f(x) \qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]

Alors \(f\) est :

A) Constante.

B) Strictement croissante.

C) Strictement décroissante.

D) Périodique de période \(2\).

Question 8

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction dérivable en \(a\in\mathbb R\). Calculer :

\[ \lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}. \]

A) \(f'(a)\).

B) \(f(a)+af'(a)\).

C) \(f(a)-f'(a)\).

D) \(f(a)-af'(a)\).

Questions 9 et 10 — Calcul intégral

Méthode — Transformer avant d’intégrer

Une intégrale de fraction rationnelle peut parfois être simplifiée grâce à une division algébrique : le numérateur est alors exprimé à partir du dénominateur, et l’on retrouve des primitives usuelles. Pour une intégrale faisant intervenir un logarithme, une intégration par parties peut déplacer la difficulté vers une intégrale plus simple. Dans les deux cas, distinguez l’obtention d’une primitive et son évaluation aux bornes : une erreur de signe ou de coefficient suffit à fausser le choix final.

Question 9

Calculer :

\[ \int_0^1\frac{x^4}{x^2+1}\,dx. \]

A) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\).

B) \(\displaystyle \frac23\).

C) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac23\).

D) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac23\).

Question 10

Calculer :

\[ \int_0^{\sqrt3}x^2\ln(x^2+1)\,dx. \]

A) \(\displaystyle \sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\).

B) \(\displaystyle \sqrt3\ln2+\frac{\pi}{9}\).

C) \(\displaystyle 2\left(\sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\right)\).

D) \(\displaystyle \sqrt3\ln2\).

Exercice 1 — Géométrie dans l’espace (questions 11 à 16)

Énoncé commun

On considère le cube \(ABCDEFGH\) et le repère orthonormé de l’espace :

\[ \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right). \]

Les questions 11 à 16 se rapportent à cette configuration.

Repère de cours — Exploiter un repère orthonormé

Les coordonnées des sommets s’obtiennent à partir de l’origine \(A\) et des trois vecteurs de base du repère. Pour trouver les coordonnées d’un vecteur, on soustrait celles de son origine à celles de son extrémité. Une droite se décrit par un point et un vecteur directeur. Pour un plan, on utilise trois points non alignés ou un point et un vecteur normal. Conservez le même repère d’une question à l’autre : les calculs réalisés au début pourront servir aux questions sur la perpendicularité, l’intersection et la nature du triangle.

Question 11

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{FD}\) sont :

A) \((1,1,1)\).

B) \((-1,1,1)\).

C) \((-1,1,-1)\).

D) \((1,1,0)\).

Question 12

Une représentation paramétrique de la droite \((FD)\) est :

A) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t+1\\z=-t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

B) \(\displaystyle \begin{cases}x=-t\\y=-t+1\\z=-t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

C) \(\displaystyle \begin{cases}x=-t\\y=t+1\\z=-t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

D) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t+1\\z=t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

Question 13

On note \(I\) le milieu du segment \([AB]\), \(J\) le milieu du segment \([EH]\) et \(K\) le milieu du segment \([BC]\).

La droite \((FD)\) :

A) Est orthogonale au plan \((IJK)\).

B) N’est pas orthogonale au plan \((IJK)\).

C) Appartient au plan \((IJK)\).

D) Est parallèle au plan \((IJK)\).

Question 14

Une équation cartésienne du plan \((IJK)\) est :

\[ ax+by+cz+d=0 \]

avec :

A) \(a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=-\dfrac12\).

B) \(a=1,\ b=-1,\ c=1,\ d=-\dfrac12\).

C) \(a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=\dfrac12\).

D) \(a=1,\ b=1,\ c=-1,\ d=-\dfrac12\).

Question 15

Les coordonnées du point \(M\), intersection de la droite \((FD)\) et du plan \((IJK)\), sont :

A) \(\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)\).

B) \(\left(\dfrac12,0,\dfrac12\right)\).

C) \(\left(\dfrac12,\dfrac12,0\right)\).

D) \((1,1,0)\).

Question 16

Le triangle \(IJK\) est :

A) Équilatéral.

B) Rectangle en \(J\).

C) Rectangle en \(K\).

D) Rectangle en \(I\).

Exercice 2 — Probabilités et grille-réponses (questions 17 à 20)

Énoncé commun

Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions. Pour chacune, quatre réponses sont proposées et une seule est correcte.

Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en choisissant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions.

Pour \(n\in\mathbb N\) avec \(0\le n\le20\), on note \(A_n\) l’événement : « répondre exactement \(n\) fois correctement », c’est-à-dire obtenir \(n\) réponses correctes et \(20-n\) réponses incorrectes.

La notation \(\mathrm C_n^p\) désigne le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\).

Repère de cours — Nombre de choix et loi binomiale

Chaque ligne de la grille offre quatre réponses possibles. Pour compter toutes les grilles, appliquez le principe multiplicatif en tenant compte des vingt questions. Pour une question isolée choisie au hasard, distinguez la probabilité d’une bonne réponse et celle d’une réponse incorrecte. Le nombre total de bonnes réponses se modélise alors par une loi binomiale, à condition que les choix successifs soient effectués indépendamment. Enfin, « exactement \(n\) » et « au moins six » désignent deux événements différents : le premier demande une probabilité ponctuelle, le second une somme de probabilités.

Question 17

Le nombre de grilles-réponses possibles est :

A) \(24\).

B) \(20^4\).

C) \(80\).

D) \(4^{20}\).

Question 18

La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est :

\[ P(A_0)= \]

A) \(\displaystyle \frac{3^{20}}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \frac{24}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \frac1{20^4}\).

D) \(\displaystyle \frac1{80}\).

Question 19

La probabilité de donner exactement \(n\) bonnes réponses est :

\[ P(A_n)= \]

A) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^n}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{3}\,3^{20-n}}{20^4}\).

D) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{3}\,3^n}{80}\).

Question 20

La probabilité de répondre au hasard au moins six fois correctement est :

A) \(\displaystyle \sum_{n=6}^{20}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{6}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \sum_{n=6}^{20}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{20^4}\).

D) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{6}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{20^4}\).

À retenir après votre entraînement

Revenez sur chaque question pour laquelle vous avez hésité, même si la réponse choisie était juste. Vérifiez que la propriété utilisée était applicable et que les données ont été interprétées dans le bon ordre. Notez séparément les difficultés rencontrées en calcul algébrique, en analyse, en géométrie et en probabilités. Cette relecture permet de préparer la prochaine annale de manière ciblée, sans confondre la mémorisation des réponses et la compréhension des méthodes.

Poursuivre la préparation au concours ENSA

L’épreuve 2018 associe des questions courtes et deux ensembles de questions liées. Elle permet de travailler l’usage des propriétés du cours dans des situations variées : encadrer une somme, exploiter une relation fonctionnelle, décrire une droite dans l’espace et modéliser une expérience aléatoire. Une préparation efficace consiste à justifier les étapes importantes tout en apprenant à reconnaître rapidement les structures familières.

Guide de préparation au concours ENSA

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