Concours ENSA Maroc 2018 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2018 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Juillet 2018.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2018.

L’épreuve comporte seize questions indépendantes ou liées, puis un exercice probabiliste portant sur le remplissage aléatoire d’une grille de vingt réponses.

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Consignes

• Calculatrices, téléphones et tous types de documents non autorisés.
• L’épreuve comporte 20 questions.
• Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
• Une seule proposition est correcte pour chaque question.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5 Q6Q7Q8Q9Q10 Q11Q12Q13Q14Q15 Q16Q17Q18Q19Q20

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que :

\[ \lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=2. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n} \]

est égale à :

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(+\infty\).

D) \(2\).

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Question 2

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sin^2 n-\cos^3 n}{n}. \]

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(-\infty\).

D) \(+\infty\).

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Question 3

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to1^+}\ln x\,\ln(\ln x). \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(+\infty\).

D) \(-\infty\).

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Question 4

Énoncé

Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb N^*\) par :

\[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k. \]

On a :

A) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\ge\frac12\).

B) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\le\frac14\).

C) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\lt\frac13\).

D) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\lt\frac12\).

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Question 5

Énoncé

Pour la même suite que dans la question 4, on a :

A) \(\displaystyle u_{2^{10}}\ge6\).

B) \(\displaystyle u_{2^{10}}\lt6\).

C) \(\displaystyle u_{2^{10}}=3\).

D) \(\displaystyle u_{2^{10}}\lt5\).

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Question 6

Énoncé

Pour \(x\in\mathbb R\), on a :

\[ \cos(\arctan x)= \]

A) \(\displaystyle \frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

B) \(\displaystyle \frac1{\sqrt{1+x^2}}\).

C) \(\displaystyle -\frac1{\sqrt{1+x^2}}\).

D) \(\displaystyle -\frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

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Question 7

Énoncé

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction continue en \(0\) telle que :

\[ f(2x)=f(x) \qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]

Alors \(f\) est :

A) Constante.

B) Strictement croissante.

C) Strictement décroissante.

D) Périodique de période \(2\).

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Question 8

Énoncé

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction dérivable en \(a\in\mathbb R\). Calculer :

\[ \lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}. \]

A) \(f'(a)\).

B) \(f(a)+af'(a)\).

C) \(f(a)-f'(a)\).

D) \(f(a)-af'(a)\).

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Question 9

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1\frac{x^4}{x^2+1}\,dx. \]

A) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\).

B) \(\displaystyle \frac23\).

C) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac23\).

D) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac23\).

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Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\sqrt3}x^2\ln(x^2+1)\,dx. \]

A) \(\displaystyle \sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\).

B) \(\displaystyle \sqrt3\ln2+\frac{\pi}{9}\).

C) \(\displaystyle 2\left(\sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\right)\).

D) \(\displaystyle \sqrt3\ln2\).

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Exercice 1 — Géométrie dans l’espace

On considère le cube \(ABCDEFGH\) et le repère orthonormé de l’espace :

\[ \left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right). \]

Les questions 11 à 16 se rapportent à cette configuration.

Question 11

Énoncé

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{FD}\) sont :

A) \((1,1,1)\).

B) \((-1,1,1)\).

C) \((-1,1,-1)\).

D) \((1,1,0)\).

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Question 12

Énoncé

Une représentation paramétrique de la droite \((FD)\) est :

A) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t+1\\z=-t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

B) \(\displaystyle \begin{cases}x=-t\\y=-t+1\\z=-t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

C) \(\displaystyle \begin{cases}x=-t\\y=t+1\\z=-t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

D) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t+1\\z=t\end{cases},\quad t\in\mathbb R\).

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Question 13

Énoncé

On note \(I\) le milieu du segment \([AB]\), \(J\) le milieu du segment \([EH]\) et \(K\) le milieu du segment \([BC]\).

La droite \((FD)\) :

A) Est orthogonale au plan \((IJK)\).

B) N’est pas orthogonale au plan \((IJK)\).

C) Appartient au plan \((IJK)\).

D) Est parallèle au plan \((IJK)\).

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Question 14

Énoncé

Une équation cartésienne du plan \((IJK)\) est :

\[ ax+by+cz+d=0 \]

avec :

A) \(a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=-\dfrac12\).

B) \(a=1,\ b=-1,\ c=1,\ d=-\dfrac12\).

C) \(a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=\dfrac12\).

D) \(a=1,\ b=1,\ c=-1,\ d=-\dfrac12\).

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Question 15

Énoncé

Les coordonnées du point \(M\), intersection de la droite \((FD)\) et du plan \((IJK)\), sont :

A) \(\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)\).

B) \(\left(\dfrac12,0,\dfrac12\right)\).

C) \(\left(\dfrac12,\dfrac12,0\right)\).

D) \((1,1,0)\).

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Question 16

Énoncé

Le triangle \(IJK\) est :

A) Équilatéral.

B) Rectangle en \(J\).

C) Rectangle en \(K\).

D) Rectangle en \(I\).

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Exercice 2 — Grille remplie au hasard

Le QCM du concours ENSA comporte 20 questions. Pour chacune, quatre réponses sont proposées et une seule est correcte.

Un étudiant décide de remplir la grille-réponses en choisissant au hasard une réponse pour chacune des 20 questions.

Pour \(n\in\mathbb N\) avec \(0\le n\le20\), on note \(A_n\) l’événement : « répondre exactement \(n\) fois correctement », c’est-à-dire obtenir \(n\) réponses correctes et \(20-n\) réponses incorrectes.

La notation \(\mathrm C_n^p\) désigne le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\).

Question 17

Énoncé

Le nombre de grilles-réponses possibles est :

A) \(24\).

B) \(20^4\).

C) \(80\).

D) \(4^{20}\).

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Question 18

Énoncé

La probabilité de ne donner aucune réponse correcte est :

\[ P(A_0)= \]

A) \(\displaystyle \frac{3^{20}}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \frac{24}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \frac1{20^4}\).

D) \(\displaystyle \frac1{80}\).

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Question 19

Énoncé

La probabilité de donner exactement \(n\) bonnes réponses est :

\[ P(A_n)= \]

A) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^n}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{3}\,3^{20-n}}{20^4}\).

D) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{3}\,3^n}{80}\).

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Question 20

Énoncé

La probabilité de répondre au hasard au moins six fois correctement est :

A) \(\displaystyle \sum_{n=6}^{20}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{6}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \sum_{n=6}^{20}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{20^4}\).

D) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{6}\frac{\mathrm C_{20}^{n}\,3^{20-n}}{20^4}\).

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Conseil de travail

Traiter l’épreuve en temps limité avant de consulter la correction. Les questions 11 à 16 doivent être résolues en exploitant systématiquement le repère orthonormé associé au cube, tandis que les questions 17 à 20 reposent sur le modèle binomial.

Ressources liées

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