Correction Concours ENSA Maroc 2018

Correction Concours ENSA Maroc 2018 — Mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Juillet 2018.

Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.

Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2018.

Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.

Tableau des réponses finales

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Réponse} & D&A&B&A&A&B&A&D&C&C \end{array} \] \[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline \text{Réponse} & C&C&A&B&A&D&D&A&B&A \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1 — Limite du quotient \(u_n/n\)

Rappel complet de la question

On sait que :

\[ \lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=2. \]

Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}\).

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(+\infty\).

D) \(2\).

Rappel utile
On écrit \(u_n-u_0\) comme une somme télescopique des accroissements successifs.

Correction \[ u_n-u_0 = \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k). \]

Donc :

\[ \frac{u_n}{n} = \frac{u_0}{n} + \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k). \]

La suite des accroissements tend vers \(2\). La moyenne de ses \(n\) premiers termes tend donc également vers \(2\), tandis que \(\dfrac{u_0}{n}\to0\).

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}=2. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 2 — Encadrement d’une suite

Rappel complet de la question \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin^2n-\cos^3n}{n}. \]

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(-\infty\).

D) \(+\infty\).

Rappel utile
Les fonctions sinus et cosinus sont bornées.

Correction \[ |\sin^2n-\cos^3n| \le|\sin^2n|+|\cos^3n| \le2. \]

Ainsi :

\[ \left|\frac{\sin^2n-\cos^3n}{n}\right| \le\frac2n. \]

Comme \(\dfrac2n\to0\), le théorème d’encadrement donne :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin^2n-\cos^3n}{n}=0. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 3 — Limite logarithmique

Rappel complet de la question \[ \lim_{x\to1^+}\ln x\,\ln(\ln x). \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(+\infty\).

D) \(-\infty\).

Rappel utile
On pose \(t=\ln x\). Lorsque \(x\to1^+\), on a \(t\to0^+\).

Correction \[ \ln x\,\ln(\ln x)=t\ln t. \]

Or :

\[ \lim_{t\to0^+}t\ln t=0. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1^+}\ln x\,\ln(\ln x)=0. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 4 — Somme harmonique

Rappel complet de la question \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k. \]

A) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\ge\frac12\).

B) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\le\frac14\).

C) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\lt\frac13\).

D) \(\displaystyle u_{2n}-u_n\lt\frac12\).

Rappel utile
La différence contient exactement \(n\) termes.

Correction \[ u_{2n}-u_n = \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k. \]

Pour tout \(k\in\{n+1,\ldots,2n\}\), on a \(k\le2n\), donc :

\[ \frac1k\ge\frac1{2n}. \]

Comme la somme comporte \(n\) termes :

\[ u_{2n}-u_n \ge n\frac1{2n} = \frac12. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 5 — Minoration d’une somme harmonique

Rappel complet de la question

Pour la suite précédente, déterminer l’affirmation correcte concernant \(u_{2^{10}}\).

A) \(u_{2^{10}}\ge6\).

B) \(u_{2^{10}}\lt6\).

C) \(u_{2^{10}}=3\).

D) \(u_{2^{10}}\lt5\).

Rappel utile
On applique plusieurs fois le résultat \(u_{2n}-u_n\ge\dfrac12\).

Correction

Pour \(j=0,\ldots,9\) :

\[ u_{2^{j+1}}-u_{2^j}\ge\frac12. \]

En sommant ces dix inégalités :

\[ u_{2^{10}}-u_1\ge10\times\frac12=5. \]

Or \(u_1=1\). Donc :

\[ u_{2^{10}}\ge6. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 6 — Cosinus d’un arctangente

Rappel complet de la question \[ \cos(\arctan x). \]

A) \(\displaystyle \frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

B) \(\displaystyle \frac1{\sqrt{1+x^2}}\).

C) \(\displaystyle -\frac1{\sqrt{1+x^2}}\).

D) \(\displaystyle -\frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

Rappel utile
Posons \(\theta=\arctan x\). Alors \(\tan\theta=x\) et \(\theta\in]-\pi/2,\pi/2[\).

Correction \[ 1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}. \]

Donc :

\[ \cos^2\theta=\frac1{1+x^2}. \]

Comme \(\theta\in]-\pi/2,\pi/2[\), on a \(\cos\theta\gt0\). Ainsi :

\[ \cos(\arctan x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 7 — Fonction vérifiant \(f(2x)=f(x)\)

Rappel complet de la question

\(f:\mathbb R\to\mathbb R\) est continue en \(0\) et vérifie :

\[ f(2x)=f(x). \]

A) Constante.

B) Strictement croissante.

C) Strictement décroissante.

D) Périodique de période \(2\).

Rappel utile
On applique la relation à \(x/2\), puis à \(x/2^2\), etc.

Correction

Pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right). \]

Or :

\[ \frac{x}{2^n}\longrightarrow0. \]

Par continuité de \(f\) en \(0\) :

\[ f(x) = \lim_{n\to+\infty} f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(0). \]

Ainsi, \(f\) est constante sur \(\mathbb R\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 8 — Nombre dérivé

Rappel complet de la question \[ \lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}. \]

A) \(f'(a)\).

B) \(f(a)+af'(a)\).

C) \(f(a)-f'(a)\).

D) \(f(a)-af'(a)\).

Rappel utile
On fait apparaître \(f(x)-f(a)\).

Correction \[ xf(a)-af(x) = (x-a)f(a)-a\bigl(f(x)-f(a)\bigr). \]

Donc :

\[ \frac{xf(a)-af(x)}{x-a} = f(a) - a\frac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]

En faisant tendre \(x\) vers \(a\) :

\[ \lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a} = f(a)-af'(a). \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 9 — Intégrale rationnelle

Rappel complet de la question \[ I=\int_0^1\frac{x^4}{x^2+1}\,dx. \]

A) \(\dfrac{\pi}{4}\).

B) \(\dfrac23\).

C) \(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac23\).

D) \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac23\).

Rappel utile
On effectue la division euclidienne de \(x^4\) par \(x^2+1\).

Correction \[ x^4=(x^2+1)(x^2-1)+1. \]

Donc :

\[ \frac{x^4}{x^2+1} = x^2-1+\frac1{x^2+1}. \]

Ainsi :

\[ I = \left[\frac{x^3}{3}-x+\arctan x\right]_0^1. \]

Par conséquent :

\[ I = \frac13-1+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}-\frac23. \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 10 — Intégration par parties

Rappel complet de la question \[ J=\int_0^{\sqrt3}x^2\ln(x^2+1)\,dx. \]

A) \(\sqrt3\ln2-\dfrac{\pi}{9}\).

B) \(\sqrt3\ln2+\dfrac{\pi}{9}\).

C) \(\displaystyle 2\left(\sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\right)\).

D) \(\sqrt3\ln2\).

Rappel utile
On choisit \(u(x)=\ln(x^2+1)\) et \(v'(x)=x^2\).

Correction \[ u'(x)=\frac{2x}{x^2+1}, \qquad v(x)=\frac{x^3}{3}. \]

Par intégration par parties :

\[ J = \left[\frac{x^3}{3}\ln(x^2+1)\right]_0^{\sqrt3} - \frac23\int_0^{\sqrt3}\frac{x^4}{x^2+1}\,dx. \]

Le premier terme vaut :

\[ \frac{(\sqrt3)^3}{3}\ln4 = \sqrt3\ln4 = 2\sqrt3\ln2. \]

De plus :

\[ \int_0^{\sqrt3}\frac{x^4}{x^2+1}\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-x+\arctan x\right]_0^{\sqrt3} = \frac{\pi}{3}. \]

Donc :

\[ J = 2\sqrt3\ln2-\frac23\cdot\frac{\pi}{3} = 2\left(\sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\right). \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 11 — Coordonnées d’un vecteur

Rappel complet de la question

Dans le repère \(\left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{FD}\).

A) \((1,1,1)\).

B) \((-1,1,1)\).

C) \((-1,1,-1)\).

D) \((1,1,0)\).

Rappel utile
Dans ce repère, \(\overrightarrow{AF}=(1,0,1)\) et \(\overrightarrow{AD}=(0,1,0)\).

Correction \[ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}. \]

Donc :

\[ \overrightarrow{FD} = -(1,0,1)+(0,1,0) = (-1,1,-1). \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 12 — Représentation paramétrique

Rappel complet de la question

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((FD)\).

A) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t+1\\z=-t\end{cases}\).

B) \(\displaystyle \begin{cases}x=-t\\y=-t+1\\z=-t\end{cases}\).

C) \(\displaystyle \begin{cases}x=-t\\y=t+1\\z=-t\end{cases}\).

D) \(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t+1\\z=t\end{cases}\).

Rappel utile
La droite passe par \(D(0,1,0)\) et est dirigée par \(\overrightarrow{FD}=(-1,1,-1)\).

Correction

Une représentation paramétrique est :

\[ \begin{cases} x=0-t,\\ y=1+t,\\ z=0-t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]

Soit :

\[ \begin{cases} x=-t,\\ y=t+1,\\ z=-t. \end{cases} \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 13 — Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Rappel complet de la question

\(I\), \(J\) et \(K\) sont respectivement les milieux de \([AB]\), \([EH]\) et \([BC]\). Déterminer la position de \((FD)\) par rapport au plan \((IJK)\).

A) Orthogonale au plan.

B) Non orthogonale au plan.

C) Incluse dans le plan.

D) Parallèle au plan.

Rappel utile
Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Correction

Dans le repère :

\[ I\left(\frac12,0,0\right), \quad J\left(0,\frac12,1\right), \quad K\left(1,\frac12,0\right). \]

On écrit :

\[ \overrightarrow{IJ} = -\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} = \left(-\frac12,\frac12,1\right), \] \[ \overrightarrow{IK} = -\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK} = \left(\frac12,\frac12,0\right). \]

Or :

\[ \overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{IJ} = (-1)\left(-\frac12\right) +1\left(\frac12\right) +(-1)(1) =0, \] \[ \overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{IK} = (-1)\left(\frac12\right) +1\left(\frac12\right) +(-1)(0) =0. \]

Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) ne sont pas colinéaires. Donc :

\[ (FD)\perp(IJK). \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 14 — Équation cartésienne d’un plan

Rappel complet de la question

Déterminer une équation du plan \((IJK)\).

A) \(-x-y+z-\dfrac12=0\).

B) \(x-y+z-\dfrac12=0\).

C) \(-x-y+z+\dfrac12=0\).

D) \(x+y-z-\dfrac12=0\).

Rappel utile
Le vecteur \(\overrightarrow{FD}=(-1,1,-1)\) est normal au plan.

Correction

Une équation du plan est de la forme :

\[ -x+y-z+d=0. \]

Comme \(I\left(\dfrac12,0,0\right)\) appartient au plan :

\[ -\frac12+d=0, \qquad d=\frac12. \]

On obtient :

\[ -x+y-z+\frac12=0. \]

En multipliant par \(-1\) :

\[ x-y+z-\frac12=0. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 15 — Intersection d’une droite et d’un plan

Rappel complet de la question

Déterminer les coordonnées du point \(M=(FD)\cap(IJK)\).

A) \(\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)\).

B) \(\left(\dfrac12,0,\dfrac12\right)\).

C) \(\left(\dfrac12,\dfrac12,0\right)\).

D) \((1,1,0)\).

Rappel utile
On remplace la représentation paramétrique de la droite dans l’équation du plan.

Correction

Sur \((FD)\) :

\[ x=-t,\qquad y=t+1,\qquad z=-t. \]

Dans l’équation \(x-y+z-\dfrac12=0\) :

\[ -t-(t+1)-t-\frac12=0. \]

Donc :

\[ -3t-\frac32=0, \qquad t=-\frac12. \]

Ainsi :

\[ M\left(\frac12,\frac12,\frac12\right). \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 16 — Nature d’un triangle

Rappel complet de la question

Déterminer la nature du triangle \(IJK\).

A) Équilatéral.

B) Rectangle en \(J\).

C) Rectangle en \(K\).

D) Rectangle en \(I\).

Rappel utile
On compare les carrés des trois longueurs.

Correction \[ \|\overrightarrow{IJ}\|^2 = \frac14+\frac14+1 = \frac32, \] \[ \|\overrightarrow{IK}\|^2 = \frac14+\frac14 = \frac12, \] \[ \overrightarrow{JK} = -\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AK} = \left(1,0,-1\right), \] \[ \|\overrightarrow{JK}\|^2=1+1=2. \]

On constate que :

\[ \|\overrightarrow{IJ}\|^2 + \|\overrightarrow{IK}\|^2 = \|\overrightarrow{JK}\|^2. \]

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(IJK\) est rectangle en \(I\).

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 17 — Nombre de grilles possibles

Rappel complet de la question

Le QCM comporte 20 questions et quatre choix par question.

A) \(24\).

B) \(20^4\).

C) \(80\).

D) \(4^{20}\).

Rappel utile
On applique le principe multiplicatif.

Correction

Pour chacune des 20 questions, il existe quatre choix possibles. Le nombre total de grilles est donc :

\[ \underbrace{4\times4\times\cdots\times4}_{20\ \text{facteurs}} = 4^{20}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 18 — Aucune bonne réponse

Rappel complet de la question

Calculer la probabilité \(P(A_0)\) de ne donner aucune réponse correcte.

A) \(\displaystyle \frac{3^{20}}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \frac{24}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \frac1{20^4}\).

D) \(\displaystyle \frac1{80}\).

Rappel utile
Pour chaque question, trois réponses sur quatre sont fausses.

Correction

La probabilité de répondre faux à une question est :

\[ \frac34. \]

Les 20 choix étant indépendants :

\[ P(A_0) = \left(\frac34\right)^{20} = \frac{3^{20}}{4^{20}}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 19 — Exactement \(n\) bonnes réponses

Rappel complet de la question

Calculer \(P(A_n)\), la probabilité d’obtenir exactement \(n\) bonnes réponses.

A) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{n}3^n}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{3}3^{20-n}}{20^4}\).

D) \(\displaystyle \frac{\mathrm C_{20}^{3}3^n}{80}\).

Rappel utile
Le nombre de réponses correctes suit une loi binomiale de paramètres \(20\) et \(\dfrac14\).

Correction

On choisit d’abord les \(n\) questions correctement répondues de \(\mathrm C_{20}^{n}\) façons.

La probabilité associée est :

\[ P(A_n) = \mathrm C_{20}^{n} \left(\frac14\right)^n \left(\frac34\right)^{20-n}. \]

Donc :

\[ P(A_n) = \frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{4^{20}}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 20 — Au moins six bonnes réponses

Rappel complet de la question

Calculer la probabilité d’obtenir au moins six réponses correctes.

A) \(\displaystyle \sum_{n=6}^{20}\frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{4^{20}}\).

B) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{6}\frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{4^{20}}\).

C) \(\displaystyle \sum_{n=6}^{20}\frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{20^4}\).

D) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{6}\frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{20^4}\).

Rappel utile
« Au moins six » signifie \(X\ge6\).

Correction \[ P(X\ge6) = \sum_{n=6}^{20}P(X=n). \]

En utilisant le résultat de la question précédente :

\[ P(X\ge6) = \sum_{n=6}^{20} \frac{\mathrm C_{20}^{n}3^{20-n}}{4^{20}}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Conseil de travail

Cette épreuve alterne questions rapides et exercices liés. Il faut réutiliser les résultats déjà établis, notamment pour la somme harmonique, la géométrie du cube et la loi binomiale. Dans les calculs vectoriels, les coordonnées doivent toujours être déduites à partir des vecteurs de position et des relations de Chasles.

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