Concours ENSA Maroc 2019 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Maroc 2019 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Session du 23 juillet 2019.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2019.

La transcription conserve les formulations et les choix imprimés dans le sujet. Les anomalies repérées après comparaison avec le corrigé sont signalées sans remplacer silencieusement les données originales.

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Signalement important :

• Question 1 : la condition \(a\ne b\) est nécessaire. Si \(a=b\), alors \(v_0\) n’est pas défini et la relation de récurrence donne une forme \(0/0\) dès le premier calcul.
• Les propositions imprimées aux questions 9 et 10 ne contiennent pas les probabilités obtenues directement à partir des données.
• À la question 18, le produit est imprimé avec un indice initial \(k=1\), alors que les réponses proposées correspondent vraisemblablement à un produit commençant à \(k=0\).
• Ces éléments seront examinés précisément dans la correction ; l’énoncé ci-dessous conserve la copie consultée.

Consignes

• Calculatrices non autorisées.
• Téléphones, montres connectées et documents non autorisés.
• L’épreuve comporte 20 questions.
• Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5 Q6Q7Q8Q9Q10 Q11Q12Q13Q14Q15 Q16Q17Q18Q19Q20

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Soient \(a\gt0\) et \(b\gt0\). On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=\frac ba, \qquad u_{n+1}= \frac{(b^2+ab-a^2)u_n-a^2} {b^2u_n+b^2-ab-a^2}. \]

En remarquant que la suite :

\[ v_n=\frac{b}{bu_n-a} \]

est arithmétique, \(u_n\) est égal à :

A) \(\displaystyle u_n=\frac{an+b}{bn+a}\).

B) \(\displaystyle u_n=\frac{n+b}{bn+a}\).

C) \(\displaystyle u_n=\frac{an-b}{bn-a}\).

D) \(\displaystyle u_n=\frac{an+b}{n+a}\).

Condition nécessaire : la résolution suppose \(a\ne b\). Cette condition n’apparaît pas dans la transcription consultée, mais elle est indispensable pour que \(v_0\) et la récurrence soient définis.

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Question 2

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb N^*\), on considère la suite :

\[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{2k+n}. \]

On a \(u_n\in I\), avec :

A) \(\displaystyle I=\left[0,\frac13\right[\).

B) \(\displaystyle I=\left[\frac13,1\right[\).

C) \(I=[2,3[\).

D) \(I=[1,2[\).

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Question 3

Énoncé

On considère toujours la suite de la question 2. La limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n \]

est égale à :

A) \(\sqrt3\).

B) \(\ln3\).

C) \(\ln(\sqrt3)\).

D) \(0\).

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Question 4

Énoncé

Sachant que :

\[ \left(\ln\left(x+\sqrt{4+x^2}\right)\right)' =\frac1{\sqrt{4+x^2}}, \]

la valeur de l’intégrale :

\[ \int_0^1\sqrt{4+x^2}\,dx \]

est :

A) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)-\frac{\sqrt5}{2}\).

B) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)-\ln\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)\).

C) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)-\frac52\).

D) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)+\frac{\sqrt5}{2}\).

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Question 5

Énoncé

On considère l’équation trigonométrique :

\[ (E):\quad \cos^4(3x)+\sin^4(3x)=1. \]

Les solutions de \((E)\) sont de la forme :

A) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\).

B) \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\).

C) \(\displaystyle x=\frac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb Z\).

D) \(\displaystyle x=\frac{k\pi}{6},\ k\in\mathbb Z\).

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Question 6

Énoncé

Soit le réel :

\[ \lambda= \sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt5}{2}} - \sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt5}{2}}. \]

En calculant \(\lambda^4\), la valeur de \(\lambda\) est :

A) \(\lambda=0\).

B) \(\lambda=1\).

C) \(\lambda=2\).

D) \(\lambda=3\).

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Question 7

Énoncé

Soit \(a\gt0\). La valeur de l’intégrale :

\[ \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx \]

est :

A) \(\displaystyle \frac{\pi a}{4}\).

B) \(4\pi a\).

C) \(\pi a^2\).

D) \(\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}\).

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Question 8

Énoncé

On jette trois fois un dé à six faces numérotées de \(1\) à \(6\), et on note \(a\), \(b\) et \(c\) les résultats successifs obtenus.

On considère le polynôme :

\[ Q(x)=ax^2+bx+c. \]

La probabilité pour que \(Q\) admette une racine double est :

A) \(\dfrac{11}{216}\).

B) \(\dfrac7{216}\).

C) \(\dfrac5{216}\).

D) \(\dfrac9{216}\).

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Question 9

Énoncé

Une urne contient quatre boules jaunes, trois boules rouges et trois boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire successivement deux boules, sans remise.

La probabilité d’obtenir une deuxième boule de couleur rouge est :

A) \(\dfrac{17}{90}\).

B) \(\dfrac{15}{90}\).

C) \(\dfrac{19}{90}\).

D) \(\dfrac{13}{90}\).

Remarque : les choix ci-dessus reproduisent la copie consultée. Ils paraissent incompatibles avec les données de l’expérience ; cette anomalie sera analysée dans la correction.

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Question 10

Énoncé

On considère toujours la même expérience.

La probabilité d’obtenir une deuxième boule rouge sachant que la première boule est jaune est :

A) \(\dfrac4{17}\).

B) \(\dfrac5{17}\).

C) \(\dfrac8{17}\).

D) \(\dfrac9{17}\).

Remarque : les dénominateurs \(17\) sont lisibles sur la copie consultée, mais aucune proposition ne correspond au calcul direct de la probabilité conditionnelle annoncée.

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Question 11

Énoncé

Soit :

\[ z=-1+\sqrt2+i. \]

Un argument de \(z\) est :

A) \(\dfrac{3\pi}{8}\).

B) \(\dfrac{5\pi}{8}\).

C) \(\dfrac{7\pi}{8}\).

D) \(\dfrac{\pi}{8}\).

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Question 12

Énoncé

En relation avec la question précédente, la valeur de :

\[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) \]

est :

A) \(\displaystyle \sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}}\).

B) \(\displaystyle -\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\).

C) \(\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\).

D) \(\displaystyle -\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}}\).

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Question 13

Énoncé

Soit :

\[ a=\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

En calculant \(a\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\), la valeur de \(a\) est :

A) \(\dfrac12\).

B) \(\dfrac13\).

C) \(\dfrac14\).

D) \(\dfrac15\).

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Question 14

Énoncé

À partir de l’expression de \(a\) obtenue à la question précédente, la valeur de :

\[ b=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \]

est :

A) \(\dfrac54\).

B) \(\dfrac{\sqrt5}{4}\).

C) \(\dfrac14\).

D) \(\displaystyle \sqrt{\frac54}\).

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Question 15

Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan. L’ensemble des points \(M\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AM} - 4\,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} =0 \]

est :

A) Une droite.

B) Un cercle.

C) Une demi-droite.

D) Un disque.

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Question 16

Énoncé

L’expression simplifiée de :

\[ u_n= \prod_{k=0}^{n} \frac{k^2+5k+6}{k^2+5k+4} \]

est :

A) \(\displaystyle \frac{6n+3}{n+4}\).

B) \(\displaystyle \frac{n+4}{3n+6}\).

C) \(\displaystyle \frac{n+4}{6n+3}\).

D) \(\displaystyle \frac{3n+6}{n+4}\).

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Question 17

Énoncé

Le concours d’entrée en première année des ENSA pour l’année universitaire 2019-2020 se déroule le 23 juillet 2019.

Le chiffre des unités de :

\[ 23^{2019} \]

est :

A) \(3\).

B) \(9\).

C) \(1\).

D) \(7\).

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Question 18

Énoncé

La valeur du produit :

\[ u_n= \prod_{k=1}^{n} \left(e^{2^k}+e^{-2^k}\right) \]

est :

A) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\).

B) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\).

C) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\).

D) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\).

Remarque : l’indice inférieur \(k=1\) est celui qui apparaît sur le sujet. Le corrigé consulté signale que la formule proposée semble nécessiter un départ à \(k=0\).

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Question 19

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb N^*\), on considère :

\[ f_n(x)=e^x+nx^2-3, \qquad x\ge0, \]

et \(u_n\) la solution de l’équation :

\[ f_n(x)=0. \]

La suite \((u_n)\) est :

A) Croissante.

B) Décroissante.

C) Stationnaire.

D) Périodique.

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Question 20

Énoncé

Suite à la question précédente, la limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n \]

est égale à :

A) \(\dfrac12\).

B) \(0\).

C) \(1\).

D) \(\displaystyle \sqrt{\frac12}\).

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Conseil de travail

Traiter l’épreuve en temps limité avant de consulter la correction. Lorsque les choix proposés semblent incohérents, conserver le calcul obtenu, vérifier la lecture du sujet et signaler clairement l’anomalie au lieu de choisir une réponse arbitraire.

Ressources liées

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