Correction Concours ENSA Maroc 2019

Correction Concours ENSA Maroc 2019 — Mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Session du 23 juillet 2019.

Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 20.

Cette page présente une correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2019.

Les calculs ont été repris indépendamment. Lorsqu’une proposition imprimée ou un corrigé externe est incohérent, l’anomalie est signalée clairement au lieu de choisir une réponse arbitraire.

Voir l’énoncé Guide ENSA Page Concours

Anomalies vérifiées :

Q1 : la condition \(a\ne b\) manque dans l’énoncé transcrit. Elle est indispensable pour définir \(v_0\) et éviter une forme \(0/0\) dans la récurrence.
Q9 : le résultat exact est \(\dfrac3{10}=\dfrac{27}{90}\), mais aucune proposition imprimée ne convient.
Q10 : la probabilité demandée vaut \(\dfrac13\), mais aucune proposition imprimée ne convient.
Q12 : le résultat exact est négatif ; la bonne réponse est B. Le corrigé consulté retient C à la suite d’une erreur de signe.
Q18 : avec le produit imprimé commençant à \(k=1\), aucune proposition ne convient. La réponse A devient correcte seulement si le produit commence à \(k=0\).

Tableau des réponses finales vérifiées

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Réponse} & A&B&C&D&D&B&D&C&\text{Aucune}&\text{Aucune} \end{array} \] \[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline \text{Réponse} & A&B&C&B&B&D&D&\text{Aucune}&B&B \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1 — Suite homographique

Rappel complet de la question

Soient \(a\gt0\) et \(b\gt0\). On considère :

\[ u_0=\frac ba, \qquad u_{n+1}= \frac{(b^2+ab-a^2)u_n-a^2} {b^2u_n+b^2-ab-a^2}, \]

et :

\[ v_n=\frac{b}{bu_n-a}. \]

A) \(\displaystyle u_n=\frac{an+b}{bn+a}\).

B) \(\displaystyle u_n=\frac{n+b}{bn+a}\).

C) \(\displaystyle u_n=\frac{an-b}{bn-a}\).

D) \(\displaystyle u_n=\frac{an+b}{n+a}\).

Condition de validité : la correction est menée sous l’hypothèse \(a\ne b\). En effet, si \(a=b\), alors \(u_0=1\), \(v_0\) n’est pas défini et la relation donnant \(u_1\) prend la forme \(0/0\).

Rappel utile
On transforme la relation de récurrence grâce à la suite auxiliaire \(v_n\).

Correction

Un calcul direct donne :

\[ v_{n+1}-v_n=\frac{b^2}{b^2-a^2}. \]

La suite \((v_n)\) est donc arithmétique. De plus :

\[ v_0 = \frac{b}{b\frac ba-a} = \frac{ab}{b^2-a^2}. \]

Ainsi :

\[ v_n = \frac{ab+nb^2}{b^2-a^2} = \frac{b(a+nb)}{b^2-a^2}. \]

Comme :

\[ v_n=\frac{b}{bu_n-a}, \]

on obtient :

\[ bu_n-a=\frac{b}{v_n} =\frac{b^2-a^2}{a+nb}. \]

Donc :

\[ u_n = \frac{an+b}{bn+a}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 2 — Encadrement d’une somme

Rappel complet de la question \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{2k+n}. \]

A) \(\displaystyle u_n\in\left[0,\frac13\right[\).

B) \(\displaystyle u_n\in\left[\frac13,1\right[\).

C) \(u_n\in[2,3[\).

D) \(u_n\in[1,2[\).

Rappel utile
Pour \(1\le k\le n\), on encadre le dénominateur \(2k+n\).

Correction \[ n+2\le2k+n\le3n. \]

Donc :

\[ \frac1{3n}\le\frac1{2k+n}\le\frac1{n+2}. \]

En sommant de \(k=1\) à \(n\) :

\[ \frac13\le u_n\le\frac{n}{n+2}\lt1. \]

Ainsi :

\[ u_n\in\left[\frac13,1\right[. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 3 — Somme de Riemann

Rappel complet de la question

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1{2k+n}. \]

A) \(\sqrt3\).

B) \(\ln3\).

C) \(\ln(\sqrt3)\).

D) \(0\).

Rappel utile
On fait apparaître une somme de Riemann : \[ \frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right). \]

Correction \[ u_n = \frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac1{1+2\frac kn}. \]

La fonction \(x\mapsto\dfrac1{1+2x}\) est continue sur \([0,1]\). Donc :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = \int_0^1\frac{dx}{1+2x}. \]

Ainsi :

\[ \int_0^1\frac{dx}{1+2x} = \left[\frac12\ln(1+2x)\right]_0^1 = \frac12\ln3 = \ln(\sqrt3). \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 4 — Intégrale avec une racine carrée

Rappel complet de la question \[ I=\int_0^1\sqrt{4+x^2}\,dx. \]

A) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)-\frac{\sqrt5}{2}\).

B) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)-\ln\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)\).

C) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)-\frac52\).

D) \(\displaystyle \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)+\frac{\sqrt5}{2}\).

Rappel utile
On utilise une intégration par parties et la primitive fournie de \(\dfrac1{\sqrt{4+x^2}}\).

Correction

Par intégration par parties :

\[ I = \left[x\sqrt{4+x^2}\right]_0^1 - \int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}\,dx. \]

Or :

\[ x^2=(4+x^2)-4. \]

Donc :

\[ I = \sqrt5-I + 4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}. \]

Ainsi :

\[ 2I = \sqrt5 + 4\left[\ln\left(x+\sqrt{4+x^2}\right)\right]_0^1. \]

Donc :

\[ I = \frac{\sqrt5}{2} + 2\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right). \]

Enfin :

\[ 2\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right) = \ln\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right). \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 5 — Équation trigonométrique

Rappel complet de la question \[ \cos^4(3x)+\sin^4(3x)=1. \]

A) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\).

B) \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\).

C) \(\displaystyle x=\frac{k\pi}{3}\).

D) \(\displaystyle x=\frac{k\pi}{6}\).

Rappel utile
\[ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab. \]

Correction \[ \cos^4(3x)+\sin^4(3x) = 1-2\sin^2(3x)\cos^2(3x). \]

Or :

\[ 2\sin^2(3x)\cos^2(3x) = \frac12\sin^2(6x). \]

L’équation devient :

\[ \sin^2(6x)=0. \]

Donc :

\[ 6x=k\pi, \qquad x=\frac{k\pi}{6}, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 6 — Calcul d’un radical

Rappel complet de la question \[ \lambda= \sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt5}{2}} - \sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt5}{2}}. \]

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(2\).

D) \(3\).

Rappel utile
On pose les deux racines quatrièmes égales à \(A\) et \(B\), puis on développe \((A-B)^4\).

Correction

Posons :

\[ A=\sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt5}{2}}, \qquad B=\sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt5}{2}}. \]

On a :

\[ A^4+B^4=7 \qquad\text{et}\qquad A^4B^4=1. \]

Comme \(A\gt0\) et \(B\gt0\), alors \(AB=1\). De plus :

\[ A^2+B^2 = \sqrt{A^4+B^4+2A^2B^2} = \sqrt9=3. \]

Ainsi :

\[ \lambda^4 = (A-B)^4 = A^4+B^4-4AB(A^2+B^2)+6A^2B^2. \]

Donc :

\[ \lambda^4=7-12+6=1. \]

Comme \(\lambda\gt0\), on obtient :

\[ \lambda=1. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 7 — Aire d’un quart de disque

Rappel complet de la question \[ \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx. \]

A) \(\displaystyle \frac{\pi a}{4}\).

B) \(4\pi a\).

C) \(\pi a^2\).

D) \(\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}\).

Rappel utile
La courbe \(y=\sqrt{a^2-x^2}\) est le demi-cercle supérieur de centre \(O\) et de rayon \(a\).

Correction

Sur l’intervalle \([0,a]\), l’aire sous la courbe représente le quart d’un disque de rayon \(a\).

\[ \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac14\pi a^2. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 8 — Racine double d’un trinôme

Rappel complet de la question

On lance trois fois un dé et on note \(a,b,c\) les résultats. On considère :

\[ Q(x)=ax^2+bx+c. \]

Calculer la probabilité que \(Q\) admette une racine double.

A) \(\dfrac{11}{216}\).

B) \(\dfrac7{216}\).

C) \(\dfrac5{216}\).

D) \(\dfrac9{216}\).

Rappel utile
Un trinôme admet une racine double si et seulement si son discriminant est nul.

Correction \[ \Delta=b^2-4ac. \]

La condition est donc :

\[ b^2=4ac. \]

Avec \(a,b,c\in\{1,2,3,4,5,6\}\), les cinq triplets possibles sont :

\[ (1,2,1),\ (1,4,4),\ (2,4,2),\ (3,6,3),\ (4,4,1). \]

L’univers contient :

\[ 6^3=216 \]

issues équiprobables. Donc :

\[ P=\frac5{216}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 9 — Probabilité de la couleur du deuxième tirage

Rappel complet de la question

Une urne contient \(4\) boules jaunes, \(3\) rouges et \(3\) bleues. On tire successivement deux boules sans remise.

Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge.

A) \(\dfrac{17}{90}\).

B) \(\dfrac{15}{90}\).

C) \(\dfrac{19}{90}\).

D) \(\dfrac{13}{90}\).

Rappel utile
On distingue le cas où la première boule est rouge et celui où elle ne l’est pas.

Correction

En comptant les couples ordonnés, il y a :

\[ 10\times9=90 \]

tirages possibles.

Si la première boule est rouge, on dispose de \(3\times2=6\) couples favorables.

Si la première boule n’est pas rouge, on dispose de \(7\times3=21\) couples favorables.

Donc :

\[ P(\text{deuxième rouge}) = \frac{6+21}{90} = \frac{27}{90} = \frac3{10}. \]

Anomalie du sujet : aucune des quatre propositions imprimées ne vaut \(\dfrac{27}{90}\). Le corrigé externe choisit A, ce qui suggère une coquille \(17/90\) à la place de \(27/90\).

Réponse mathématique : \(\boxed{\dfrac3{10}}\) — aucune proposition imprimée correcte.

Question 10 — Probabilité conditionnelle

Rappel complet de la question

Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge sachant que la première est jaune.

A) \(\dfrac4{17}\).

B) \(\dfrac5{17}\).

C) \(\dfrac8{17}\).

D) \(\dfrac9{17}\).

Rappel utile
Sachant que la première boule est jaune, il reste neuf boules, dont trois rouges.

Correction \[ P(\text{deuxième rouge}\mid\text{première jaune}) = \frac39 = \frac13. \]

Anomalie du sujet et du corrigé consulté : aucune proposition imprimée ne vaut \(\dfrac13\). Le corrigé externe calcule la probabilité conditionnelle inverse, « première jaune sachant deuxième rouge », qui vaut \(\dfrac49\), puis retient A. Ce calcul ne répond pas à la question imprimée.

Réponse mathématique : \(\boxed{\dfrac13}\) — aucune proposition imprimée correcte.

Question 11 — Argument d’un nombre complexe

Rappel complet de la question \[ z=-1+\sqrt2+i. \]

A) \(\dfrac{3\pi}{8}\).

B) \(\dfrac{5\pi}{8}\).

C) \(\dfrac{7\pi}{8}\).

D) \(\dfrac{\pi}{8}\).

Rappel utile
Le nombre \(z=(\sqrt2-1)+i\) appartient au premier quadrant.

Correction

Si \(\theta=\arg(z)\), alors :

\[ \tan\theta = \frac1{\sqrt2-1} = \sqrt2+1. \]

Or :

\[ \tan\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\sqrt2+1. \]

Comme \(z\) appartient au premier quadrant :

\[ \arg(z)=\frac{3\pi}{8}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 12 — Valeur exacte d’un cosinus

Rappel complet de la question

Calculer :

\[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right). \]

A) \(\displaystyle \sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}}\).

B) \(\displaystyle -\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\).

C) \(\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\).

D) \(\displaystyle -\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}}\).

Rappel utile
\[ \frac{5\pi}{8}=\pi-\frac{3\pi}{8}. \]

Correction \[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right). \]

La formule de l’angle moitié donne :

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}. \]

Donc :

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}. \]

Finalement :

\[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}. \]

Correction d’une erreur externe : le corrigé consulté retient C après avoir calculé \(\cos(3\pi/8)\), sans appliquer le signe négatif correspondant à \(\cos(5\pi/8)\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 13 — Produit de cosinus

Rappel complet de la question \[ a=\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

A) \(\dfrac12\).

B) \(\dfrac13\).

C) \(\dfrac14\).

D) \(\dfrac15\).

Rappel utile
On multiplie \(a\) par \(\sin(\pi/5)\), comme le suggère l’énoncé.

Correction \[ a\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

Donc :

\[ a\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac12 \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

Ainsi :

\[ a\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac14\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) = \frac14\sin\left(\frac{\pi}{5}\right). \]

Comme \(\sin(\pi/5)\ne0\) :

\[ a=\frac14. \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 14 — Produit de sinus

Rappel complet de la question \[ b=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

A) \(\dfrac54\).

B) \(\dfrac{\sqrt5}{4}\).

C) \(\dfrac14\).

D) \(\displaystyle \sqrt{\frac54}\).

Rappel utile
On utilise \(a=\dfrac14\) et les identités \(\cos(\alpha-\beta)\) et \(\cos(\alpha+\beta)\).

Correction

On a :

\[ a+b = \cos\left(\frac{\pi}{5}-\frac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{5}\right), \]

et :

\[ a-b = \cos\left(\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = -\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

En multipliant :

\[ (a+b)(a-b)=-a. \]

Donc :

\[ a^2-b^2=-a, \qquad b^2=a+a^2. \]

Avec \(a=\dfrac14\) :

\[ b^2=\frac14+\frac1{16}=\frac5{16}. \]

Comme \(b\gt0\) :

\[ b=\frac{\sqrt5}{4}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 15 — Lieu géométrique

Rappel complet de la question

Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AM} - 4\,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} =0. \]

A) Une droite.

B) Un cercle.

C) Une demi-droite.

D) Un disque.

Rappel utile
On utilise : \[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}. \]

Correction

Posons :

\[ \vec x=\overrightarrow{AM} \qquad\text{et}\qquad \vec c=\overrightarrow{AB}. \]

Alors :

\[ \overrightarrow{BM} = -\vec c+\vec x. \]

L’équation devient :

\[ \|\vec x\|^2-4\vec x\cdot(\vec x-\vec c)=0. \]

Donc :

\[ 3\|\vec x\|^2-4\vec x\cdot\vec c=0. \]

On complète le carré :

\[ \left\|\vec x-\frac23\vec c\right\|^2 = \frac49\|\vec c\|^2. \]

Il s’agit d’un cercle de centre \(G\) défini par :

\[ \overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AB}, \]

et de rayon \(\dfrac23 AB\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 16 — Produit télescopique

Rappel complet de la question \[ u_n= \prod_{k=0}^{n} \frac{k^2+5k+6}{k^2+5k+4}. \]

A) \(\displaystyle \frac{6n+3}{n+4}\).

B) \(\displaystyle \frac{n+4}{3n+6}\).

C) \(\displaystyle \frac{n+4}{6n+3}\).

D) \(\displaystyle \frac{3n+6}{n+4}\).

Rappel utile
On factorise le numérateur et le dénominateur.

Correction \[ k^2+5k+6=(k+2)(k+3), \] \[ k^2+5k+4=(k+1)(k+4). \]

Donc :

\[ u_n = \prod_{k=0}^{n} \frac{(k+2)(k+3)}{(k+1)(k+4)}. \]

Le produit se simplifie :

\[ u_n = \frac{2\cdot3\cdot3\cdot4\cdots(n+2)(n+3)} {1\cdot4\cdot2\cdot5\cdots(n+1)(n+4)}. \]

Ainsi :

\[ u_n = \frac{3(n+2)}{n+4} = \frac{3n+6}{n+4}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 17 — Chiffre des unités

Rappel complet de la question

Déterminer le chiffre des unités de :

\[ 23^{2019}. \]

A) \(3\).

B) \(9\).

C) \(1\).

D) \(7\).

Rappel utile
Le chiffre des unités se détermine modulo \(10\).

Correction \[ 23^{2019}\equiv3^{2019}\pmod{10}. \]

Les puissances de \(3\) ont un cycle de longueur \(4\) :

\[ 3,\ 9,\ 7,\ 1. \]

Or :

\[ 2019\equiv3\pmod4. \]

Le chiffre des unités est donc celui de \(3^3\), soit :

\[ 7. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 18 — Produit exponentiel

Rappel complet de la question \[ u_n= \prod_{k=1}^{n} \left(e^{2^k}+e^{-2^k}\right). \]

A) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\).

B) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\).

C) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\).

D) \(\displaystyle \frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\).

Rappel utile
\[ e^{2x}-e^{-2x} = \left(e^x-e^{-x}\right) \left(e^x+e^{-x}\right). \]

Correction

Pour chaque \(k\ge1\) :

\[ e^{2^{k+1}}-e^{-2^{k+1}} = \left(e^{2^k}-e^{-2^k}\right) \left(e^{2^k}+e^{-2^k}\right). \]

Donc :

\[ e^{2^k}+e^{-2^k} = \frac{e^{2^{k+1}}-e^{-2^{k+1}}} {e^{2^k}-e^{-2^k}}. \]

Le produit est télescopique :

\[ u_n = \frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}} {e^2-e^{-2}}. \]

Anomalie du sujet : aucune proposition imprimée ne possède le dénominateur \(e^2-e^{-2}\). Si le produit commençait à \(k=0\), la réponse A serait correcte.

Réponse mathématique : \(\displaystyle\boxed{\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e^2-e^{-2}}}\) — aucune proposition imprimée correcte.

Question 19 — Monotonie d’une suite de solutions

Rappel complet de la question \[ f_n(x)=e^x+nx^2-3, \qquad x\ge0, \]

et \(u_n\) est l’unique solution de \(f_n(x)=0\).

A) \((u_n)\) est croissante.

B) \((u_n)\) est décroissante.

C) \((u_n)\) est stationnaire.

D) \((u_n)\) est périodique.

Rappel utile
On compare \(f_{n+1}\) et \(f_n\), puis on utilise la stricte croissance de \(f_{n+1}\).

Correction

Pour \(x\ge0\) :

\[ f_n'(x)=e^x+2nx\gt0. \]

La fonction \(f_n\) est donc strictement croissante.

De plus :

\[ f_n(0)=-2\lt0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty. \]

Par continuité et stricte croissance de \(f_n\), l’équation \(f_n(x)=0\) admet une unique solution \(u_n\), avec \(u_n\gt0\).

Enfin :

\[ f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^2\ge0. \]

En particulier :

\[ f_{n+1}(u_n) = f_n(u_n)+u_n^2 = u_n^2\gt0. \]

Or :

\[ f_{n+1}(u_{n+1})=0. \]

Comme \(f_{n+1}\) est strictement croissante :

\[ u_{n+1}\lt u_n. \]

La suite \((u_n)\) est donc décroissante.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 20 — Limite de la suite de solutions

Rappel complet de la question

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]

A) \(\dfrac12\).

B) \(0\).

C) \(1\).

D) \(\displaystyle \sqrt{\frac12}\).

Rappel utile
On exploite directement l’équation vérifiée par \(u_n\).

Correction

Comme \(f_n(u_n)=0\) :

\[ e^{u_n}+nu_n^2-3=0. \]

Donc :

\[ nu_n^2=3-e^{u_n}. \]

Comme \(u_n\ge0\), on a \(e^{u_n}\ge1\). Ainsi :

\[ 0\le nu_n^2\le2. \]

Par conséquent :

\[ 0\le u_n^2\le\frac2n. \]

Le théorème d’encadrement donne :

\[ u_n^2\longrightarrow0. \]

Comme \(u_n\ge0\) :

\[ u_n\longrightarrow0. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Conseil de travail

Dans un QCM de concours, une proposition imprimée peut exceptionnellement contenir une coquille. Il faut conserver son calcul, vérifier les données et distinguer clairement la réponse mathématique de la réponse probablement attendue. Cette rigueur est particulièrement importante pour les probabilités, les signes trigonométriques et les indices des produits.

Parcours Maths Maroc

Rechercher dans ce blog