Concours ENSA Marrakech 2003

Concours ENSA Marrakech 2003 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.

Session du 29 juillet 2003 — Durée : 1 h 30 — 15 exercices.

Compétences et points clés

Marrakech ENSA 2003 propose des assertions en arithmétique, complexes et analyse, puis une géométrie de sphère. L’élève doit distinguer une propriété valable sous certaines conditions d’une égalité qui aurait été écrite sans ces conditions.

Prérequis à revoir : division euclidienne, PGCD et identité de Bézout; conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; limites usuelles et définition du nombre dérivé.

Rappels de cours utiles

Divisibilité et congruences. Une congruence s’additionne et se multiplie ; on ne peut pas y simplifier un facteur quelconque sans justification. Un facteur premier avec le module admet un inverse modulo ce module. Pour une équation entière, les conditions sur le PGCD et les contraintes de signe doivent être contrôlées avant de conclure.

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour les propriétés du PGCD, contrôler les hypothèses et l’effet d’une combinaison entière. Pour l’inverse complexe, vérifier que le nombre est non nul. Pour la fonction signe, traiter les deux côtés de zéro. Pour le plan tangent à la sphère, identifier le centre et comparer sa distance au plan avec le rayon.

Cette page reproduit l’épreuve de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech 2003.

Le sujet porte notamment sur l’arithmétique, les nombres complexes, les suites, les probabilités, les fonctions, les intégrales et la géométrie dans l’espace.

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Consignes de l’épreuve

Les calculatrices sont interdites.
Réponse juste : \(+1\) point.
Réponse fausse : \(-1\) point.
Absence de réponse : \(0\) point.

Lecture du sujet

Contrairement aux sujets ENSA plus récents, l’énoncé de 2003 ne précise pas qu’une seule proposition est correcte par exercice. Plusieurs exercices contiennent effectivement plusieurs affirmations vraies.

Énoncé — ENSA Marrakech 2003

Exercice 1 — Arithmétique — PGCD

Énoncé

Soient \(u\), \(v\) et \(w\) dans \(\mathbb N\). Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \forall n\in\mathbb Z,\qquad u\wedge v=u\wedge(v+nu). \]

B. Si : \[ u\wedge v=1 \] et si \(w\) divise \(u\), alors : \[ w\wedge v=1. \]

C. Si : \[ w\wedge u=1, \] alors : \[ u\wedge v=u\wedge(vw). \]

D. Si \(p\) est premier et ne divise pas \(u\), alors \(p\) et \(u\) sont premiers entre eux.

Exercice 2 — Nombres complexes — module et partie réelle

Énoncé

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux nombres complexes non nuls. Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \frac1Z=\frac{\overline Z}{|Z|^2}. \]

B. \[ |\operatorname{Re}(Z)|\le|Z|. \]

C. \[ \bigl||Z|-|Z'|\bigr| \le |Z+Z'|. \]

D. \[ \operatorname{Re}\left(Z\overline{Z'}\right) = |Z|\,|Z'|. \]

Exercice 3 — Arguments de nombres complexes

Énoncé

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux nombres complexes. Indiquer les affirmations vraies lorsque les arguments utilisés sont définis.

A. \[ \operatorname{Arg}(ZZ') = \operatorname{Arg}(Z) + \operatorname{Arg}(Z'). \]

B. \[ \operatorname{Arg}(\overline Z) = -\operatorname{Arg}(Z) = \operatorname{Arg}\left(\frac1Z\right). \]

C. \[ \operatorname{Arg}(Z+Z') = \operatorname{Arg}(Z) + \operatorname{Arg}(Z'). \]

D. \[ \operatorname{Arg}\left(\frac Z{Z'}\right) = \operatorname{Arg}(Z) - \operatorname{Arg}(Z'). \]

Exercice 4 — Suite harmonique

Énoncé

Soit la suite :

\[ u_n= 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n. \]

Indiquer les affirmations vraies.

A. La suite \((u_n)\) est croissante.

B. La suite \((u_n)\) est convergente.

C. La suite \((u_n)\) est majorée.

D. La suite \((u_n)\) est positive.

Exercice 5 — Propriétés des racines

Énoncé

Pour tout \(x\in\mathbb R_+\) et tout \((m,n)\in(\mathbb N^\ast)^2\), indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x. \]

B. \[ \sqrt[n]{x^n}=x. \]

C. \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m+n]{x}. \]

D. \[ \sqrt[n]{x}\,\sqrt[m]{x} = \sqrt[mn]{x^{m+n}}. \]

Exercice 6 — Cardinaux d’ensembles finis

Énoncé

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles finis tels que :

\[ \operatorname{Card}(E)=m \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Card}(F)=n. \]

Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \operatorname{Card}(E\cup F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F). \]

B. \[ \operatorname{Card}(E\times F) = \operatorname{Card}(E)\, \operatorname{Card}(F). \]

C. \[ \operatorname{Card}(E\cap F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F) - \operatorname{Card}(E\cup F). \]

D. \[ \operatorname{Card}\bigl(\mathcal P(E)\bigr)=2^m, \] où \(\mathcal P(E)\) est l’ensemble des parties de \(E\).

Exercice 7 — Probabilités

Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) deux événements d’un univers \(X\), avec \(P(A)\ne0\). Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ P(A\cap B)=P(A)\,P(B). \]

B. \[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]

C. \[ P(A\mid B)\,P(A) = P(A\cap B)\,P(B). \]

D. \[ P(\overline A)=1-P(A). \]

Exercice 8 — Fonction signe

Énoncé

Pour tout \(x\in\mathbb R^\ast\), on considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

A. La limite en \(0\) est \(0\).

B. La limite en \(0\) est \(1\).

C. La limite en \(0\) n’existe pas.

D. La fonction \(f\) est dérivable en \(0\).

Exercice 9 — Fonction logarithmique

Énoncé

Soit la fonction définie sur :

\[ D=]0,+\infty[ \]

par :

\[ f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x^2}. \]

A. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x+1 \] est une asymptote oblique à la courbe de \(f\).

C. La fonction \(F\), définie sur \(D\) par : \[ F(x)= \frac{x^3-1+2\ln x}{x^3}, \] est une primitive de \(f\) sur \(D\).

D. La fonction \(f\) est décroissante pour \(x\ge1\).

Exercice 10 — Fonctions hyperboliques

Énoncé

On considère les deux fonctions :

\[ C(x)=\frac12\left(e^x+e^{-x}\right) \]

et :

\[ S(x)=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right). \]

Correction locale de numérotation : les deux dernières propositions, toutes deux notées « d » dans l’impression originale, sont présentées ici sous les lettres C et D.

A. \[ C^2(x)-S^2(x)=1. \]

B. Les deux fonctions sont positives.

C. \[ C'=S \qquad\text{et}\qquad S'=C. \]

D. Les deux fonctions sont décroissantes.

Exercice 11 — Fonction avec racines cubiques

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur son domaine \(D_f\) par :

\[ f(x)= \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x^2-4}. \]

A. \[ D_f= ]-\infty,-2] \cup ]2,+\infty[. \]

B. La fonction \(f\) est dérivable sur : \[ ]-\infty,-2] \cup ]2,+\infty[. \]

C. \[ \lim_{x\to2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = +\infty. \]

D. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

Exercice 12 — Continuité et asymptote

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \frac2\pi x\, \arctan\left(\frac1{|x|}\right) -2x \qquad\text{si }x\ne0, \]

et :

\[ f(0)=0. \]

On note \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).

A. \[ D_f=[0,1]. \]

B. La fonction \(f\) est continue en \(0\).

C. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

D. La droite d’équation : \[ y=-2x+\frac2\pi \] est une asymptote à la courbe de \(f\) lorsque \(x\to+\infty\).

Exercice 13 — Calculs d’intégrales

Énoncé

Indiquer les égalités vraies.

A. \[ \int_0^1 \frac{2x+2}{(x+1)^2}\,dx = 3\ln2. \]

B. \[ \int_1^{-1}e^{-x}\,dx = e-e^{-1}. \]

C. \[ \int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx = \frac12. \]

D. \[ \int_0^2 \frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \ln\left( \frac{1+e^3}{3} \right). \]

Exercice 14 — Plans, droite et sphère

Énoncé

Dans le repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les plans \((P)\) et \((Q)\) d’équations :

\[ (P):\quad 2x+y-13=0, \] \[ (Q):\quad x-7y+16=0, \]

la droite \((D)\) de représentation paramétrique :

\[ (D): \begin{cases} x=5,\\ y=3,\\ z=t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R, \]

et la sphère \((S)\) d’équation :

\[ (S): \quad (x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25. \]

A. L’intersection de \((P)\) et \((Q)\) est la droite \((D)\).

B. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

C. La droite \((D)\) est tangente à \((S)\).

D. La droite \((D)\) n’est pas tangente à \((S)\).

Exercice 15 — Sphère et plan tangent

Énoncé

Dans le repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère la sphère d’équation :

\[ x^2+y^2+z^2+x-\frac14=0 \]

et le plan \((P)\) d’équation :

\[ y+z-1=0. \]

A. Le centre de la sphère est : \[ \left(-\frac12,0,0\right). \]

B. Le rayon de la sphère est : \[ R=\frac12. \]

C. Le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

D. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

Conseil de travail

Pour chaque exercice, examiner séparément les quatre propositions et retenir toutes celles qui sont mathématiquement vraies.

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