Concours ENSA Marrakech 2003

Concours ENSA Marrakech 2003 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.

Session du 29 juillet 2003 — Durée : 1 h 30 — 15 exercices.

Cette page reproduit l’épreuve de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech 2003.

Le sujet porte notamment sur l’arithmétique, les nombres complexes, les suites, les probabilités, les fonctions, les intégrales et la géométrie dans l’espace.

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Consignes de l’épreuve

Les calculatrices sont interdites.
Réponse juste : \(+1\) point.
Réponse fausse : \(-1\) point.
Absence de réponse : \(0\) point.

Lecture du sujet

Contrairement aux sujets ENSA plus récents, l’énoncé de 2003 ne précise pas qu’une seule proposition est correcte par exercice. Plusieurs exercices contiennent effectivement plusieurs affirmations vraies.

Énoncé — ENSA Marrakech 2003

Exercice 1 — Arithmétique — PGCD

Énoncé

Soient \(u\), \(v\) et \(w\) dans \(\mathbb N\). Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \forall n\in\mathbb Z,\qquad u\wedge v=u\wedge(v+nu). \]

B. Si : \[ u\wedge v=1 \] et si \(w\) divise \(u\), alors : \[ w\wedge v=1. \]

C. Si : \[ w\wedge u=1, \] alors : \[ u\wedge v=u\wedge(vw). \]

D. Si \(p\) est premier et ne divise pas \(u\), alors \(p\) et \(u\) sont premiers entre eux.

Exercice 2 — Nombres complexes — module et partie réelle

Énoncé

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux nombres complexes non nuls. Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \frac1Z=\frac{\overline Z}{|Z|^2}. \]

B. \[ |\operatorname{Re}(Z)|\le|Z|. \]

C. \[ \bigl||Z|-|Z'|\bigr| \le |Z+Z'|. \]

D. \[ \operatorname{Re}\left(Z\overline{Z'}\right) = |Z|\,|Z'|. \]

Exercice 3 — Arguments de nombres complexes

Énoncé

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux nombres complexes. Indiquer les affirmations vraies lorsque les arguments utilisés sont définis.

A. \[ \operatorname{Arg}(ZZ') = \operatorname{Arg}(Z) + \operatorname{Arg}(Z'). \]

B. \[ \operatorname{Arg}(\overline Z) = -\operatorname{Arg}(Z) = \operatorname{Arg}\left(\frac1Z\right). \]

C. \[ \operatorname{Arg}(Z+Z') = \operatorname{Arg}(Z) + \operatorname{Arg}(Z'). \]

D. \[ \operatorname{Arg}\left(\frac Z{Z'}\right) = \operatorname{Arg}(Z) - \operatorname{Arg}(Z'). \]

Exercice 4 — Suite harmonique

Énoncé

Soit la suite :

\[ u_n= 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n. \]

Indiquer les affirmations vraies.

A. La suite \((u_n)\) est croissante.

B. La suite \((u_n)\) est convergente.

C. La suite \((u_n)\) est majorée.

D. La suite \((u_n)\) est positive.

Exercice 5 — Propriétés des racines

Énoncé

Pour tout \(x\in\mathbb R_+\) et tout \((m,n)\in(\mathbb N^\ast)^2\), indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x. \]

B. \[ \sqrt[n]{x^n}=x. \]

C. \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m+n]{x}. \]

D. \[ \sqrt[n]{x}\,\sqrt[m]{x} = \sqrt[mn]{x^{m+n}}. \]

Exercice 6 — Cardinaux d’ensembles finis

Énoncé

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles finis tels que :

\[ \operatorname{Card}(E)=m \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Card}(F)=n. \]

Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \operatorname{Card}(E\cup F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F). \]

B. \[ \operatorname{Card}(E\times F) = \operatorname{Card}(E)\, \operatorname{Card}(F). \]

C. \[ \operatorname{Card}(E\cap F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F) - \operatorname{Card}(E\cup F). \]

D. \[ \operatorname{Card}\bigl(\mathcal P(E)\bigr)=2^m, \] où \(\mathcal P(E)\) est l’ensemble des parties de \(E\).

Exercice 7 — Probabilités

Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) deux événements d’un univers \(X\), avec \(P(A)\ne0\). Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ P(A\cap B)=P(A)\,P(B). \]

B. \[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]

C. \[ P(A\mid B)\,P(A) = P(A\cap B)\,P(B). \]

D. \[ P(\overline A)=1-P(A). \]

Exercice 8 — Fonction signe

Énoncé

Pour tout \(x\in\mathbb R^\ast\), on considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

A. La limite en \(0\) est \(0\).

B. La limite en \(0\) est \(1\).

C. La limite en \(0\) n’existe pas.

D. La fonction \(f\) est dérivable en \(0\).

Exercice 9 — Fonction logarithmique

Énoncé

Soit la fonction définie sur :

\[ D=]0,+\infty[ \]

par :

\[ f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x^2}. \]

A. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x+1 \] est une asymptote oblique à la courbe de \(f\).

C. La fonction \(F\), définie sur \(D\) par : \[ F(x)= \frac{x^3-1+2\ln x}{x^3}, \] est une primitive de \(f\) sur \(D\).

D. La fonction \(f\) est décroissante pour \(x\ge1\).

Exercice 10 — Fonctions hyperboliques

Énoncé

On considère les deux fonctions :

\[ C(x)=\frac12\left(e^x+e^{-x}\right) \]

et :

\[ S(x)=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right). \]

Correction locale de numérotation : les deux dernières propositions, toutes deux notées « d » dans l’impression originale, sont présentées ici sous les lettres C et D.

A. \[ C^2(x)-S^2(x)=1. \]

B. Les deux fonctions sont positives.

C. \[ C'=S \qquad\text{et}\qquad S'=C. \]

D. Les deux fonctions sont décroissantes.

Exercice 11 — Fonction avec racines cubiques

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur son domaine \(D_f\) par :

\[ f(x)= \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x^2-4}. \]

A. \[ D_f= ]-\infty,-2] \cup ]2,+\infty[. \]

B. La fonction \(f\) est dérivable sur : \[ ]-\infty,-2] \cup ]2,+\infty[. \]

C. \[ \lim_{x\to2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = +\infty. \]

D. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

Exercice 12 — Continuité et asymptote

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \frac2\pi x\, \arctan\left(\frac1{|x|}\right) -2x \qquad\text{si }x\ne0, \]

et :

\[ f(0)=0. \]

On note \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).

A. \[ D_f=[0,1]. \]

B. La fonction \(f\) est continue en \(0\).

C. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

D. La droite d’équation : \[ y=-2x+\frac2\pi \] est une asymptote à la courbe de \(f\) lorsque \(x\to+\infty\).

Exercice 13 — Calculs d’intégrales

Énoncé

Indiquer les égalités vraies.

A. \[ \int_0^1 \frac{2x+2}{(x+1)^2}\,dx = 3\ln2. \]

B. \[ \int_1^{-1}e^{-x}\,dx = e-e^{-1}. \]

C. \[ \int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx = \frac12. \]

D. \[ \int_0^2 \frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \ln\left( \frac{1+e^3}{3} \right). \]

Exercice 14 — Plans, droite et sphère

Énoncé

Dans le repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les plans \((P)\) et \((Q)\) d’équations :

\[ (P):\quad 2x+y-13=0, \] \[ (Q):\quad x-7y+16=0, \]

la droite \((D)\) de représentation paramétrique :

\[ (D): \begin{cases} x=5,\\ y=3,\\ z=t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R, \]

et la sphère \((S)\) d’équation :

\[ (S): \quad (x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25. \]

A. L’intersection de \((P)\) et \((Q)\) est la droite \((D)\).

B. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

C. La droite \((D)\) est tangente à \((S)\).

D. La droite \((D)\) n’est pas tangente à \((S)\).

Exercice 15 — Sphère et plan tangent

Énoncé

Dans le repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère la sphère d’équation :

\[ x^2+y^2+z^2+x-\frac14=0 \]

et le plan \((P)\) d’équation :

\[ y+z-1=0. \]

A. Le centre de la sphère est : \[ \left(-\frac12,0,0\right). \]

B. Le rayon de la sphère est : \[ R=\frac12. \]

C. Le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

D. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

Conseil de travail

Pour chaque exercice, examiner séparément les quatre propositions et retenir toutes celles qui sont mathématiquement vraies.

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