Correction Concours ENSA Marrakech 2003

Correction Concours ENSA Marrakech 2003 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.

Session du 29 juillet 2003 — Correction détaillée des 15 exercices.

Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Marrakech 2003. Chaque proposition est examinée séparément.

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Lecture du QCM

Le sujet de 2003 ne précise pas qu’une seule proposition doit être retenue. Plusieurs exercices comportent donc plusieurs réponses correctes.

Correction détaillée

Exercice 1 — Arithmétique — PGCD

Rappel complet de la question

Soient \(u\), \(v\) et \(w\) dans \(\mathbb N\). Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \forall n\in\mathbb Z,\qquad u\wedge v=u\wedge(v+nu). \]

B. Si : \[ u\wedge v=1 \] et si \(w\) divise \(u\), alors : \[ w\wedge v=1. \]

C. Si : \[ w\wedge u=1, \] alors : \[ u\wedge v=u\wedge(vw). \]

D. Si \(p\) est premier et ne divise pas \(u\), alors \(p\) et \(u\) sont premiers entre eux.

Correction détaillée et entièrement justifiée

On examine séparément les quatre affirmations. On rappelle que \(u\wedge v\) désigne le plus grand commun diviseur de \(u\) et \(v\).

Proposition A

Nous devons comparer les diviseurs communs de \(u\) et \(v\) avec les diviseurs communs de \(u\) et \(v+nu\).

Soit \(d\) un entier positif. Supposons d’abord que :

\[ d\mid u \qquad\text{et}\qquad d\mid v. \]

Comme \(d\mid u\), on a aussi \(d\mid nu\). Puisque \(d\mid v\), le nombre \(d\) divise la somme :

\[ v+nu. \]

Ainsi, tout diviseur commun de \(u\) et \(v\) est également un diviseur commun de \(u\) et \(v+nu\).

Réciproquement, supposons que :

\[ d\mid u \qquad\text{et}\qquad d\mid(v+nu). \]

Comme \(d\mid u\), on a \(d\mid nu\). Par différence :

\[ v=(v+nu)-nu, \]

donc \(d\mid v\). Les deux couples possèdent donc exactement les mêmes diviseurs communs. Leurs plus grands diviseurs communs sont égaux :

\[ u\wedge v=u\wedge(v+nu). \]

La proposition A est vraie.

Proposition B

On suppose :

\[ u\wedge v=1 \qquad\text{et}\qquad w\mid u. \]

Soit \(d\) un diviseur commun de \(w\) et \(v\). Alors \(d\mid w\). Comme \(w\mid u\), la divisibilité est transitive et l’on obtient :

\[ d\mid u. \]

De plus, \(d\mid v\). Le nombre \(d\) est donc un diviseur commun de \(u\) et \(v\). Or leur PGCD vaut \(1\). Le seul diviseur positif commun possible est donc \(1\). Ainsi :

\[ w\wedge v=1. \]

La proposition B est vraie.

Proposition C

On suppose :

\[ w\wedge u=1. \]

Montrons d’abord que tout diviseur commun de \(u\) et \(v\) est aussi commun à \(u\) et \(vw\). En effet, si \(d\mid u\) et \(d\mid v\), alors \(d\mid vw\). On a donc :

\[ u\wedge v\mid u\wedge(vw). \]

Pour l’autre sens, posons :

\[ d=u\wedge(vw). \]

Alors \(d\mid u\) et \(d\mid vw\). Puisque \(d\mid u\) et que \(u\wedge w=1\), on a aussi :

\[ d\wedge w=1. \]

Pourquoi ? Tout diviseur commun de \(d\) et \(w\) divise \(u\), car \(d\mid u\), et divise aussi \(w\). Il divise donc \(u\wedge w=1\).

Or \(d\mid vw\) et \(d\wedge w=1\). D’après le théorème de Gauss, on en déduit :

\[ d\mid v. \]

Ainsi, \(d\) divise à la fois \(u\) et \(v\), donc :

\[ u\wedge(vw)\mid u\wedge v. \]

Les deux divisibilités donnent finalement :

\[ u\wedge v=u\wedge(vw). \]

La proposition C est vraie.

Proposition D

Soit \(p\) un nombre premier. Les seuls diviseurs positifs de \(p\) sont \(1\) et \(p\). Par conséquent, le PGCD \(p\wedge u\), qui doit diviser \(p\), ne peut prendre que l’une des deux valeurs :

\[ 1 \qquad\text{ou}\qquad p. \]

Si \(p\wedge u=p\), alors \(p\mid u\), ce qui contredit l’hypothèse \(p\nmid u\). Il reste donc nécessairement :

\[ p\wedge u=1. \]

La proposition D est vraie.

Réponse finale : les propositions A, B, C et D sont vraies.

Exercice 2 — Nombres complexes — module et partie réelle

Rappel complet de la question

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux nombres complexes non nuls. Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \frac1Z=\frac{\overline Z}{|Z|^2}. \]

B. \[ |\operatorname{Re}(Z)|\le|Z|. \]

C. \[ \bigl||Z|-|Z'|\bigr| \le |Z+Z'|. \]

D. \[ \operatorname{Re}\left(Z\overline{Z'}\right) = |Z|\,|Z'|. \]

Correction détaillée et entièrement justifiée

Écrivons :

\[ Z=x+iy \qquad\text{et}\qquad Z'=x'+iy'. \] Proposition A

Pour \(Z\ne0\), on utilise le conjugué afin de rendre le dénominateur réel :

\[ \frac1Z = \frac1Z\times\frac{\overline Z}{\overline Z} = \frac{\overline Z}{Z\overline Z}. \]

Or :

\[ Z\overline Z = (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2 = |Z|^2. \]

Donc :

\[ \frac1Z=\frac{\overline Z}{|Z|^2}. \]

La proposition A est vraie.

Proposition B

La partie réelle de \(Z\) est \(x\), donc :

\[ |\operatorname{Re}(Z)|=|x|. \]

Le module de \(Z\) vaut :

\[ |Z|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Comme \(y^2\ge0\), on a :

\[ x^2\le x^2+y^2. \]

Les deux membres étant positifs, on peut prendre leurs racines carrées :

\[ |x|\le\sqrt{x^2+y^2}=|Z|. \]

La proposition B est vraie.

Proposition C

On part de l’inégalité triangulaire appliquée à :

\[ Z=(Z+Z')-Z'. \]

Elle donne :

\[ |Z| \le |Z+Z'|+|Z'|. \]

En soustrayant \(|Z'|\) aux deux membres :

\[ |Z|-|Z'|\le|Z+Z'|. \]

En échangeant les rôles de \(Z\) et \(Z'\), on obtient également :

\[ |Z'|-|Z|\le|Z+Z'|. \]

Le nombre \(\bigl||Z|-|Z'|\bigr|\) est précisément le plus grand des deux nombres \(|Z|-|Z'|\) et \(|Z'|-|Z|\). Les deux étant inférieurs ou égaux à \(|Z+Z'|\), on conclut :

\[ \bigl||Z|-|Z'|\bigr| \le |Z+Z'|. \]

La proposition C est vraie.

Proposition D

Calculons la partie réelle :

\[ Z\overline{Z'} = (x+iy)(x'-iy') = xx'+yy'+i(yx'-xy'). \]

Ainsi :

\[ \operatorname{Re}(Z\overline{Z'})=xx'+yy'. \]

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

\[ xx'+yy' \le \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2} = |Z|\,|Z'|. \]

Il s’agit d’une inégalité ; l’égalité n’est pas automatique. Prenons par exemple :

\[ Z=1 \qquad\text{et}\qquad Z'=i. \]

Alors :

\[ Z\overline{Z'}=1\times(-i)=-i, \]

d’où :

\[ \operatorname{Re}(Z\overline{Z'})=0, \]

tandis que :

\[ |Z|\,|Z'|=1\times1=1. \]

La proposition D est fausse.

Réponse finale : les propositions A, B et C sont vraies.

Exercice 3 — Arguments de nombres complexes

Rappel complet de la question

Soient \(Z\) et \(Z'\) deux nombres complexes. Indiquer les affirmations vraies lorsque les arguments utilisés sont définis.

A. \[ \operatorname{Arg}(ZZ') = \operatorname{Arg}(Z) + \operatorname{Arg}(Z'). \]

B. \[ \operatorname{Arg}(\overline Z) = -\operatorname{Arg}(Z) = \operatorname{Arg}\left(\frac1Z\right). \]

C. \[ \operatorname{Arg}(Z+Z') = \operatorname{Arg}(Z) + \operatorname{Arg}(Z'). \]

D. \[ \operatorname{Arg}\left(\frac Z{Z'}\right) = \operatorname{Arg}(Z) - \operatorname{Arg}(Z'). \]

Correction détaillée et entièrement justifiée

Convention indispensable

Les arguments ne sont définis qu’à un multiple de \(2\pi\) près. Les égalités ci-dessous doivent donc être comprises modulo \(2\pi\). Si l’on utilise l’argument principal \(\operatorname{Arg}\), il faut éventuellement ramener le résultat dans l’intervalle choisi pour cet argument principal.

Écrivons les deux nombres complexes non nuls sous forme trigonométrique :

\[ Z=re^{i\alpha}, \qquad Z'=r'e^{i\beta}, \]

avec \(r\gt0\) et \(r'\gt0\).

Proposition A — Argument d’un produit \[ ZZ' = rr'e^{i(\alpha+\beta)}. \]

Un argument de \(ZZ'\) est donc \(\alpha+\beta\). Ainsi :

\[ \arg(ZZ') \equiv \arg(Z)+\arg(Z') \pmod{2\pi}. \]

La proposition A est vraie modulo \(2\pi\).

Proposition B — Conjugué et inverse

Le conjugué de \(Z\) est :

\[ \overline Z=re^{-i\alpha}. \]

Un argument de \(\overline Z\) est donc \(-\alpha\). D’autre part :

\[ \frac1Z = \frac1r e^{-i\alpha}, \]

donc un argument de \(1/Z\) est également \(-\alpha\). On obtient :

\[ \arg(\overline Z) \equiv -\arg(Z) \equiv \arg\left(\frac1Z\right) \pmod{2\pi}. \]

La proposition B est vraie modulo \(2\pi\).

Proposition C — Argument d’une somme

Il n’existe aucune formule générale permettant d’additionner les arguments lors d’une addition de nombres complexes. Un contre-exemple suffit.

Prenons :

\[ Z=1 \qquad\text{et}\qquad Z'=i. \]

Alors :

\[ \arg(Z)=0, \qquad \arg(Z')=\frac{\pi}{2}. \]

Mais :

\[ Z+Z'=1+i, \]

dont un argument est :

\[ \arg(1+i)=\frac{\pi}{4}. \]

Or :

\[ \frac{\pi}{4}\ne0+\frac{\pi}{2}. \]

La proposition C est fausse.

Proposition D — Argument d’un quotient \[ \frac Z{Z'} = \frac r{r'}e^{i(\alpha-\beta)}. \]

Un argument du quotient est donc \(\alpha-\beta\). Ainsi :

\[ \arg\left(\frac Z{Z'}\right) \equiv \arg(Z)-\arg(Z') \pmod{2\pi}. \]

La proposition D est vraie modulo \(2\pi\).

Réponse finale : les propositions A, B et D sont vraies, avec les égalités d’arguments comprises modulo \(2\pi\).

Exercice 4 — Suite harmonique

Rappel complet de la question

Soit la suite :

\[ u_n= 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n. \]

Indiquer les affirmations vraies.

A. La suite \((u_n)\) est croissante.

B. La suite \((u_n)\) est convergente.

C. La suite \((u_n)\) est majorée.

D. La suite \((u_n)\) est positive.

Correction détaillée et entièrement justifiée

La suite harmonique est définie, pour \(n\ge1\), par :

\[ u_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n. \] Proposition A — Sens de variation

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :

\[ u_{n+1} = 1+\frac12+\cdots+\frac1n+\frac1{n+1}. \]

Donc :

\[ u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}. \]

Comme \(n+1\gt0\), on a :

\[ \frac1{n+1}\gt0. \]

Ainsi :

\[ u_{n+1}\gt u_n, \]

pour tout \(n\ge1\). La suite est strictement croissante, donc en particulier croissante.

La proposition A est vraie.

Proposition D — Positivité

Chaque terme de la somme est strictement positif :

\[ 1\gt0,\quad \frac12\gt0,\quad\ldots,\quad\frac1n\gt0. \]

Une somme de nombres positifs est positive. Par conséquent :

\[ u_n\gt0, \qquad \forall n\ge1. \]

La proposition D est vraie.

Propositions B et C — Convergence et majoration

Nous montrons que la suite n’est pas majorée. Pour cela, considérons les termes d’indice \(2^p\), avec \(p\ge1\), et regroupons les termes par blocs :

\[ u_{2^p} = 1+ \sum_{j=1}^{p} \left( \sum_{k=2^{j-1}+1}^{2^j}\frac1k \right). \]

Dans le bloc d’indice \(j\), les indices \(k\) vérifient \(k\le2^j\). La fonction \(k\mapsto1/k\) étant décroissante, chaque terme du bloc vérifie :

\[ \frac1k\ge\frac1{2^j}. \]

Ce bloc contient :

\[ 2^j-2^{j-1}=2^{j-1} \]

termes. Sa somme est donc au moins égale à :

\[ 2^{j-1}\times\frac1{2^j} = \frac12. \]

Il y a \(p\) blocs, donc :

\[ u_{2^p} \ge 1+\frac p2. \]

Lorsque \(p\to+\infty\), le membre de droite tend vers \(+\infty\). La sous-suite \((u_{2^p})\) n’est donc pas bornée, et par conséquent la suite \((u_n)\) elle-même n’est pas majorée.

La proposition C est fausse.

Une suite croissante qui n’est pas majorée tend vers \(+\infty\). Elle ne converge donc pas vers un nombre réel.

La proposition B est fausse.

Réponse finale : les propositions A et D sont vraies.

Exercice 5 — Propriétés des racines

Rappel complet de la question

Pour tout \(x\in\mathbb R_+\) et tout \((m,n)\in(\mathbb N^\ast)^2\), indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x. \]

B. \[ \sqrt[n]{x^n}=x. \]

C. \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m+n]{x}. \]

D. \[ \sqrt[n]{x}\,\sqrt[m]{x} = \sqrt[mn]{x^{m+n}}. \]

Correction détaillée et entièrement justifiée

On suppose :

\[ x\ge0, \qquad m\ge1, \qquad n\ge1. \]

La condition \(x\ge0\) est importante, car les racines réelles d’indice pair sont alors bien définies et représentent les racines positives.

Proposition A

Par définition, \(\sqrt[n]{x}\) est l’unique réel positif \(a\) tel que :

\[ a^n=x. \]

En prenant \(a=\sqrt[n]{x}\), on obtient directement :

\[ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x. \]

La proposition A est vraie.

Proposition B

Le nombre \(x\) est positif et vérifie :

\[ x^n=x^n. \]

Il est donc la racine \(n\)-ième positive de \(x^n\). Ainsi :

\[ \sqrt[n]{x^n}=x. \]

Pour un réel quelconque et \(n\) pair, on aurait plutôt \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\). Ici, l’hypothèse \(x\ge0\) permet bien d’écrire \(x\).

La proposition B est vraie.

Proposition C

En utilisant les puissances rationnelles :

\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \left(x^{1/n}\right)^{1/m} = x^{1/(mn)} = \sqrt[mn]{x}. \]

L’indice obtenu est le produit \(mn\), et non la somme \(m+n\). Par exemple, avec \(m=2\), \(n=3\) et \(x=64\) :

\[ \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt2, \]

tandis que :

\[ \sqrt[5]{64}\ne\sqrt2. \]

La proposition C est fausse.

Proposition D

Toujours avec les puissances rationnelles :

\[ \sqrt[n]{x}\,\sqrt[m]{x} = x^{1/n}x^{1/m}. \]

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants :

\[ x^{1/n}x^{1/m} = x^{\frac1n+\frac1m} = x^{\frac{m+n}{mn}}. \]

D’autre part :

\[ \sqrt[mn]{x^{m+n}} = \left(x^{m+n}\right)^{1/(mn)} = x^{\frac{m+n}{mn}}. \]

Les deux expressions sont donc égales.

La proposition D est vraie.

Réponse finale : les propositions A, B et D sont vraies.

Exercice 6 — Cardinaux d’ensembles finis

Rappel complet de la question

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles finis tels que :

\[ \operatorname{Card}(E)=m \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Card}(F)=n. \]

Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ \operatorname{Card}(E\cup F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F). \]

B. \[ \operatorname{Card}(E\times F) = \operatorname{Card}(E)\, \operatorname{Card}(F). \]

C. \[ \operatorname{Card}(E\cap F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F) - \operatorname{Card}(E\cup F). \]

D. \[ \operatorname{Card}\bigl(\mathcal P(E)\bigr)=2^m, \] où \(\mathcal P(E)\) est l’ensemble des parties de \(E\).

Correction détaillée et entièrement justifiée

On sait que :

\[ \operatorname{Card}(E)=m \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Card}(F)=n. \] Proposition A — Cardinal d’une réunion

Lorsque l’on additionne \(\operatorname{Card}(E)\) et \(\operatorname{Card}(F)\), les éléments appartenant à \(E\cap F\) sont comptés deux fois. Il faut donc les retrancher une fois :

\[ \operatorname{Card}(E\cup F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F) - \operatorname{Card}(E\cap F). \]

La formule proposée n’est vraie que dans le cas particulier où :

\[ E\cap F=\varnothing. \]

Par exemple, si \(E=F=\{a\}\), alors :

\[ \operatorname{Card}(E\cup F)=1, \]

mais :

\[ \operatorname{Card}(E)+\operatorname{Card}(F)=2. \]

La proposition A est fausse en général.

Proposition B — Produit cartésien

Un élément de \(E\times F\) est un couple ordonné \((x,y)\) avec \(x\in E\) et \(y\in F\).

Pour choisir un tel couple, il y a :

\[ m \]

choix possibles pour la première composante \(x\), puis, pour chacun de ces choix :

\[ n \]

choix possibles pour la seconde composante \(y\). D’après le principe multiplicatif :

\[ \operatorname{Card}(E\times F)=mn. \]

La proposition B est vraie.

Proposition C — Cardinal d’une intersection

À partir de la formule d’inclusion-exclusion :

\[ \operatorname{Card}(E\cup F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F) - \operatorname{Card}(E\cap F), \]

on isole \(\operatorname{Card}(E\cap F)\) :

\[ \operatorname{Card}(E\cap F) = \operatorname{Card}(E) + \operatorname{Card}(F) - \operatorname{Card}(E\cup F). \]

La proposition C est vraie.

Proposition D — Ensemble des parties

Pour construire une partie de \(E\), chacun des \(m\) éléments de \(E\) fait l’objet de deux choix indépendants :

\[ \text{il appartient à la partie} \qquad\text{ou}\qquad \text{il n’y appartient pas}. \]

Le nombre total de choix est donc :

\[ \underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{m\text{ facteurs}} = 2^m. \]

Ainsi :

\[ \operatorname{Card}\bigl(\mathcal P(E)\bigr)=2^m. \]

La proposition D est vraie.

Réponse finale : les propositions B, C et D sont vraies.

Exercice 7 — Probabilités

Rappel complet de la question

Soient \(A\) et \(B\) deux événements d’un univers \(X\), avec \(P(A)\ne0\). Indiquer les affirmations vraies.

A. \[ P(A\cap B)=P(A)\,P(B). \]

B. \[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]

C. \[ P(A\mid B)\,P(A) = P(A\cap B)\,P(B). \]

D. \[ P(\overline A)=1-P(A). \]

Correction détaillée et entièrement justifiée

Proposition A — Produit des probabilités

La relation :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

caractérise l’indépendance des événements \(A\) et \(B\). Or aucune hypothèse d’indépendance n’est donnée.

Par exemple, prenons \(A=B\) avec :

\[ P(A)=\frac12. \]

Alors :

\[ P(A\cap B)=P(A)=\frac12, \]

alors que :

\[ P(A)P(B)=\frac14. \]

La proposition A est fausse en général.

Proposition B — Probabilité d’une réunion

En additionnant \(P(A)\) et \(P(B)\), la partie commune \(A\cap B\) est comptée deux fois. On la retranche donc une fois :

\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]

Cette formule est valable pour tous les événements \(A\) et \(B\).

La proposition B est vraie.

Proposition C — Probabilité conditionnelle

Lorsque \(P(B)\ne0\), la définition de la probabilité conditionnelle est :

\[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \]

En multipliant par \(P(B)\), on obtient la formule correcte :

\[ P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B). \]

La relation proposée multiplie encore le membre de gauche par \(P(A)\) et le membre de droite par \(P(B)\) ; elle n’est donc pas la formule correcte.

Avec le contre-exemple \(A=B\) et \(P(A)=P(B)=1/2\), on a :

\[ P(A\mid B)=1. \]

Le membre de gauche de la proposition vaut :

\[ P(A\mid B)P(A)=1\times\frac12=\frac12, \]

tandis que le membre de droite vaut :

\[ P(A\cap B)P(B) = \frac12\times\frac12 = \frac14. \]

De plus, l’énoncé donne seulement \(P(A)\ne0\), alors que \(P(A\mid B)\) nécessite \(P(B)\ne0\) pour être défini.

La proposition C est fausse.

Proposition D — Événement contraire

Les événements \(A\) et \(\overline A\) sont incompatibles et leur réunion est l’univers :

\[ A\cap\overline A=\varnothing, \qquad A\cup\overline A=X. \]

Par conséquent :

\[ P(A)+P(\overline A)=P(X)=1, \]

d’où :

\[ P(\overline A)=1-P(A). \]

La proposition D est vraie.

Réponse finale : les propositions B et D sont vraies.

Exercice 8 — Fonction signe

Rappel complet de la question

Pour tout \(x\in\mathbb R^\ast\), on considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

A. La limite en \(0\) est \(0\).

B. La limite en \(0\) est \(1\).

C. La limite en \(0\) n’existe pas.

D. La fonction \(f\) est dérivable en \(0\).

Correction détaillée et entièrement justifiée

La fonction est définie uniquement sur \(\mathbb R^\ast\), c’est-à-dire pour \(x\ne0\).

Expression de la fonction selon le signe de \(x\)

Lorsque \(x\gt0\), on a \(|x|=x\). Ainsi :

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1. \]

Lorsque \(x\lt0\), on a \(|x|=-x\). Ainsi :

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1. \]

La fonction s’écrit donc :

\[ f(x)= \begin{cases} -1,&x\lt0,\\ 1,&x\gt0. \end{cases} \] Limite à droite de \(0\)

Pour tout \(x\gt0\), \(f(x)=1\). Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \] Limite à gauche de \(0\)

Pour tout \(x\lt0\), \(f(x)=-1\). Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-1. \]

Une limite bilatérale en \(0\) existe seulement si les deux limites latérales existent et sont égales. Ici :

\[ 1\ne-1. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0}f(x) \]

n’existe pas.

Les propositions A et B sont fausses.

La proposition C est vraie.

Dérivabilité en \(0\)

Pour qu’une fonction soit dérivable en un point, elle doit d’abord être définie en ce point. Or :

\[ 0\notin D_f. \]

La fonction \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\).

La proposition D est fausse.

Réponse finale : seule la proposition C est vraie.

Exercice 9 — Fonction logarithmique

Rappel complet de la question

Soit la fonction définie sur :

\[ D=]0,+\infty[ \]

par :

\[ f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x^2}. \]

A. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x+1 \] est une asymptote oblique à la courbe de \(f\).

C. La fonction \(F\), définie sur \(D\) par : \[ F(x)= \frac{x^3-1+2\ln x}{x^3}, \] est une primitive de \(f\) sur \(D\).

D. La fonction \(f\) est décroissante pour \(x\ge1\).

Correction détaillée et entièrement justifiée

La fonction est définie sur :

\[ D=]0,+\infty[ \]

par :

\[ f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x^2}. \] Proposition A — Limite en \(+\infty\)

Nous justifions d’abord que :

\[ \frac{\ln x}{x^2}\longrightarrow0. \]

Pour \(x\ge1\), l’inégalité classique :

\[ \ln x\le x-1 \]

donne :

\[ 0\le\frac{\ln x}{x^2} \le \frac{x-1}{x^2} = \frac1x-\frac1{x^2}. \]

Le membre de droite tend vers \(0\). Par encadrement :

\[ \frac{\ln x}{x^2}\longrightarrow0. \]

Ainsi :

\[ f(x) = x+1-\frac{\ln x}{x^2}. \]

Le terme \(x+1\) tend vers \(+\infty\), tandis que le dernier terme tend vers \(0\). Donc :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

La proposition A est vraie.

Proposition B — Recherche de l’asymptote

Pour vérifier que la droite \(y=x+1\) est asymptote, on calcule la différence entre \(f(x)\) et \(x+1\) :

\[ f(x)-(x+1) = -\frac{\ln x}{x^2}. \]

D’après le résultat précédent :

\[ -\frac{\ln x}{x^2}\longrightarrow0. \]

Par définition, cela prouve que la droite :

\[ y=x+1 \]

est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

La proposition B est vraie.

Proposition C — Vérification d’une primitive

On considère :

\[ F(x)=\frac{x^3-1+2\ln x}{x^3}. \]

Avant de dériver, simplifions :

\[ F(x) = 1-\frac1{x^3} + \frac{2\ln x}{x^3}. \]

La dérivée de \(-x^{-3}\) est :

\[ 3x^{-4}=\frac3{x^4}. \]

Pour le dernier terme, on utilise la formule du produit :

\[ \frac{2\ln x}{x^3} = 2\ln x\cdot x^{-3}. \]

Donc :

\[ \left(2\ln x\cdot x^{-3}\right)' = 2\left( \frac1x x^{-3} + \ln x(-3x^{-4}) \right). \]

Ainsi :

\[ \left(\frac{2\ln x}{x^3}\right)' = \frac2{x^4} - \frac{6\ln x}{x^4}. \]

Finalement :

\[ F'(x) = \frac3{x^4} + \frac2{x^4} - \frac{6\ln x}{x^4} = \frac{5-6\ln x}{x^4}. \]

Cette expression n’est pas égale à :

\[ f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x^2}. \]

Donc \(F\) n’est pas une primitive de \(f\).

La proposition C est fausse.

Proposition D — Variations sur \([1,+\infty[\)

Dérivons \(f\). On écrit :

\[ \frac{\ln x}{x^2}=\ln x\cdot x^{-2}. \]

Sa dérivée vaut :

\[ \left(\ln x\cdot x^{-2}\right)' = \frac1x x^{-2} - 2\ln x\,x^{-3} = \frac{1-2\ln x}{x^3}. \]

Par conséquent :

\[ f'(x) = 1-\frac{1-2\ln x}{x^3} = 1+\frac{2\ln x-1}{x^3}. \]

Comme \(x^3\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de :

\[ h(x)=x^3+2\ln x-1. \]

Sur \([1,+\infty[\) :

\[ h'(x)=3x^2+\frac2x\gt0. \]

La fonction \(h\) est donc strictement croissante. Or :

\[ h(1)=1+0-1=0. \]

Ainsi, pour tout \(x\ge1\) :

\[ h(x)\ge0. \]

Donc :

\[ f'(x)\ge0 \qquad\text{sur }[1,+\infty[. \]

La fonction \(f\) est croissante sur cet intervalle, et non décroissante.

La proposition D est fausse.

Réponse finale : les propositions A et B sont vraies.

Exercice 10 — Fonctions hyperboliques

Rappel complet de la question

On considère les deux fonctions :

\[ C(x)=\frac12\left(e^x+e^{-x}\right) \]

et :

\[ S(x)=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right). \]

Correction locale de numérotation : les deux dernières propositions, toutes deux notées « d » dans l’impression originale, sont présentées ici sous les lettres C et D.

A. \[ C^2(x)-S^2(x)=1. \]

B. Les deux fonctions sont positives.

C. \[ C'=S \qquad\text{et}\qquad S'=C. \]

D. Les deux fonctions sont décroissantes.

Correction détaillée et entièrement justifiée

On considère :

\[ C(x)=\frac12(e^x+e^{-x}) \qquad\text{et}\qquad S(x)=\frac12(e^x-e^{-x}). \] Proposition A — Identité fondamentale

Calculons directement :

\[ C^2(x)-S^2(x) = \frac14 \left[ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \right]. \]

On utilise l’identité :

\[ (a+b)^2-(a-b)^2=4ab. \]

Avec \(a=e^x\) et \(b=e^{-x}\), on obtient :

\[ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 = 4e^xe^{-x} = 4. \]

Donc :

\[ C^2(x)-S^2(x)=\frac14\times4=1. \]

La proposition A est vraie.

Proposition B — Signe des fonctions

Comme \(e^x\gt0\) et \(e^{-x}\gt0\), leur somme est positive :

\[ C(x)\gt0, \qquad \forall x\in\mathbb R. \]

En revanche, pour \(x\lt0\), on a \(e^x\lt e^{-x}\). Ainsi :

\[ e^x-e^{-x}\lt0, \]

donc :

\[ S(x)\lt0. \]

Par exemple :

\[ S(-1)=\frac12(e^{-1}-e)\lt0. \]

Les deux fonctions ne sont donc pas toutes les deux positives sur \(\mathbb R\).

La proposition B est fausse.

Proposition C — Dérivées

On rappelle :

\[ (e^x)'=e^x \qquad\text{et}\qquad (e^{-x})'=-e^{-x}. \]

Ainsi :

\[ C'(x) = \frac12(e^x-e^{-x}) = S(x). \]

De même :

\[ S'(x) = \frac12(e^x+e^{-x}) = C(x). \]

La proposition C est vraie.

Proposition D — Variations

Comme :

\[ S'(x)=C(x)\gt0, \]

la fonction \(S\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Elle n’est donc pas décroissante.

Pour \(C\), on a :

\[ C'(x)=S(x). \]

Or \(S(x)\lt0\) pour \(x\lt0\), \(S(0)=0\) et \(S(x)\gt0\) pour \(x\gt0\). La fonction \(C\) est donc décroissante sur \(]-\infty,0]\), puis croissante sur \([0,+\infty[\). Elle n’est pas décroissante sur tout \(\mathbb R\).

La proposition D est fausse.

Réponse finale : les propositions A et C sont vraies.

Exercice 11 — Fonction avec racines cubiques

Rappel complet de la question

Soit la fonction \(f\) définie sur son domaine \(D_f\) par :

\[ f(x)= \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x^2-4}. \]

A. \[ D_f= ]-\infty,-2] \cup ]2,+\infty[. \]

B. La fonction \(f\) est dérivable sur : \[ ]-\infty,-2] \cup ]2,+\infty[. \]

C. \[ \lim_{x\to2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = +\infty. \]

D. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

Correction détaillée et entièrement justifiée

La fonction est :

\[ f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2-4}. \] Proposition A — Domaine de définition

Contrairement à la racine carrée, la racine cubique est définie pour tout nombre réel, positif, nul ou négatif.

Pour tout \(x\in\mathbb R\), les deux nombres :

\[ x^2 \qquad\text{et}\qquad x^2-4 \]

sont réels. Leurs racines cubiques existent donc toujours. Ainsi :

\[ D_f=\mathbb R. \]

La proposition A est fausse.

Proposition B — Dérivabilité

La fonction \(t\mapsto\sqrt[3]{t}=t^{1/3}\) est dérivable pour \(t\ne0\), avec :

\[ \left(t^{1/3}\right)'=\frac1{3t^{2/3}}. \]

Sa dérivée n’est pas finie en \(t=0\).

Pour le terme \(\sqrt[3]{x^2-4}\), le nombre intérieur s’annule lorsque :

\[ x^2-4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\pm2. \]

La fonction n’est donc pas dérivable en \(x=-2\) ni en \(x=2\). Or l’intervalle proposé contient \(-2\) :

\[ ]-\infty,-2]. \]

La fonction n’est donc pas dérivable sur tout l’ensemble annoncé.

La proposition B est fausse.

Proposition C — Dérivée à droite en \(2\)

Comme :

\[ f(2)=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{4}, \]

on a, pour \(x\gt2\) :

\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{4}}{x-2} - \frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x-2}. \]

Le premier quotient tend vers une limite finie : il s’agit de la dérivée en \(2\) de la fonction \(x\mapsto x^{2/3}\), qui est dérivable en \(2\).

Étudions le second quotient. Comme :

\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]

et que \(x\gt2\), on obtient :

\[ \frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x-2} = \frac{\sqrt[3]{(x-2)(x+2)}}{x-2}. \]

En séparant les racines cubiques :

\[ \frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x-2} = \frac{(x-2)^{1/3}(x+2)^{1/3}}{x-2} = \frac{(x+2)^{1/3}}{(x-2)^{2/3}}. \]

Lorsque \(x\to2^+\), le numérateur tend vers \(\sqrt[3]{4}\gt0\), tandis que le dénominateur tend vers \(0^+\). Donc :

\[ \frac{\sqrt[3]{x^2-4}}{x-2} \longrightarrow+\infty. \]

Ce terme est précédé d’un signe moins. Par conséquent :

\[ \lim_{x\to2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = -\infty. \]

La proposition C, qui annonce \(+\infty\), est fausse.

Proposition D — Limite en \(+\infty\)

Pour \(x\gt2\), posons :

\[ a=\sqrt[3]{x^2}, \qquad b=\sqrt[3]{x^2-4}. \]

Alors \(f(x)=a-b\). On utilise l’identité :

\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). \]

Comme :

\[ a^3-b^3=x^2-(x^2-4)=4, \]

on obtient :

\[ f(x) = a-b = \frac4{a^2+ab+b^2}. \]

Le dénominateur est positif et vérifie :

\[ a^2+ab+b^2\ge a^2=x^{4/3}. \]

Ainsi :

\[ 0\le f(x)\le\frac4{x^{4/3}}. \]

Or :

\[ \frac4{x^{4/3}}\longrightarrow0. \]

Par encadrement :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

La proposition D est vraie.

Réponse finale : seule la proposition D est vraie.

Exercice 12 — Continuité et asymptote

Rappel complet de la question

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \frac2\pi x\, \arctan\left(\frac1{|x|}\right) -2x \qquad\text{si }x\ne0, \]

et :

\[ f(0)=0. \]

On note \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).

A. \[ D_f=[0,1]. \]

B. La fonction \(f\) est continue en \(0\).

C. \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

D. La droite d’équation : \[ y=-2x+\frac2\pi \] est une asymptote à la courbe de \(f\) lorsque \(x\to+\infty\).

Correction détaillée et entièrement justifiée

La fonction est définie par une expression pour \(x\ne0\), puis par une valeur particulière en \(0\).

Proposition A — Domaine de définition

Pour \(x\ne0\), le nombre \(|x|\) est strictement positif, donc :

\[ \frac1{|x|} \]

est bien défini. La fonction \(\arctan\) est définie sur tout \(\mathbb R\). L’expression donnée existe donc pour tout \(x\ne0\).

De plus, l’énoncé fixe :

\[ f(0)=0. \]

Ainsi, la fonction est définie pour tout réel :

\[ D_f=\mathbb R. \]

La proposition A est fausse.

Proposition B — Continuité en \(0\)

Pour \(x\ne0\), on a :

\[ 0\lt \arctan\left(\frac1{|x|}\right) \lt \frac{\pi}{2}. \]

Donc :

\[ \left| \frac2\pi x\arctan\left(\frac1{|x|}\right) \right| \le \frac2\pi |x|\times\frac{\pi}{2} = |x|. \]

Par conséquent :

\[ \frac2\pi x\arctan\left(\frac1{|x|}\right) \longrightarrow0 \qquad \text{lorsque }x\to0. \]

De plus :

\[ -2x\longrightarrow0. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=0. \]

Or :

\[ f(0)=0. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=f(0). \]

La fonction est continue en \(0\), donc la proposition B est vraie.

Proposition C — Limite en \(+\infty\)

Pour \(x\gt0\), \(|x|=x\), donc :

\[ f(x) = \frac2\pi x\arctan\left(\frac1x\right)-2x. \]

Justifions la limite :

\[ x\arctan\left(\frac1x\right)\longrightarrow1. \]

Posons :

\[ t=\frac1x. \]

Alors \(t\to0^+\) et :

\[ x\arctan\left(\frac1x\right) = \frac{\arctan t}{t}. \]

Pour \(y\in]0,\pi/2[\), on a l’encadrement classique :

\[ \sin y\lt y\lt\tan y. \]

En posant \(t=\tan y\), donc \(y=\arctan t\), l’inégalité \(y\lt\tan y=t\) donne :

\[ \frac{\arctan t}{t}\lt1. \]

De plus, \(\sin y\lt y\) et \(\sin y=t\cos y\), donc :

\[ t\cos y\lt y, \]

d’où :

\[ \cos(\arctan t) \lt \frac{\arctan t}{t}. \]

Lorsque \(t\to0^+\), \(\arctan t\to0\), donc :

\[ \cos(\arctan t)\longrightarrow1. \]

Par encadrement :

\[ \frac{\arctan t}{t}\longrightarrow1. \]

Ainsi :

\[ \frac2\pi x\arctan\left(\frac1x\right)\longrightarrow\frac2\pi. \]

Le terme \(-2x\) tend vers \(-\infty\). Par conséquent :

\[ f(x)\longrightarrow-\infty. \]

La proposition C est fausse.

Proposition D — Asymptote en \(+\infty\)

Calculons la différence entre \(f(x)\) et la fonction affine proposée :

\[ f(x)-\left(-2x+\frac2\pi\right) = \frac2\pi \left[ x\arctan\left(\frac1x\right)-1 \right]. \]

D’après la limite démontrée précédemment :

\[ x\arctan\left(\frac1x\right)-1\longrightarrow0. \]

Donc :

\[ f(x)-\left(-2x+\frac2\pi\right)\longrightarrow0. \]

Par définition, la droite :

\[ y=-2x+\frac2\pi \]

est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

La proposition D est vraie.

Réponse finale : les propositions B et D sont vraies.

Exercice 13 — Calculs d’intégrales

Rappel complet de la question

Indiquer les égalités vraies.

A. \[ \int_0^1 \frac{2x+2}{(x+1)^2}\,dx = 3\ln2. \]

B. \[ \int_1^{-1}e^{-x}\,dx = e-e^{-1}. \]

C. \[ \int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx = \frac12. \]

D. \[ \int_0^2 \frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \ln\left( \frac{1+e^3}{3} \right). \]

Correction détaillée et entièrement justifiée

Proposition A

On simplifie l’intégrande :

\[ \frac{2x+2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)}{(x+1)^2} = \frac2{x+1}. \]

Ainsi :

\[ \int_0^1 \frac{2x+2}{(x+1)^2}\,dx = 2\int_0^1\frac1{x+1}\,dx. \]

Une primitive de \(1/(x+1)\) est \(\ln(x+1)\). Donc :

\[ 2\int_0^1\frac1{x+1}\,dx = 2\left[\ln(x+1)\right]_0^1. \]

On obtient :

\[ 2(\ln2-\ln1) = 2\ln2. \]

La valeur n’est pas \(3\ln2\).

La proposition A est fausse.

Proposition B

Une primitive de \(e^{-x}\) est :

\[ -e^{-x}, \]

car :

\[ (-e^{-x})'=e^{-x}. \]

Donc :

\[ \int_1^{-1}e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_1^{-1}. \]

En respectant l’ordre des bornes :

\[ \left[-e^{-x}\right]_1^{-1} = -e^{-(-1)}-(-e^{-1}) = -e+e^{-1}. \]

Ainsi :

\[ \int_1^{-1}e^{-x}\,dx=e^{-1}-e. \]

La proposition annonce l’opposé.

La proposition B est fausse.

Proposition C

Posons :

\[ u=\sin x. \]

Alors :

\[ du=\cos x\,dx. \]

Lorsque \(x=0\), \(u=0\), et lorsque \(x=\pi/2\), \(u=1\). Ainsi :

\[ \int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx = \int_0^1u\,du. \]

Donc :

\[ \int_0^1u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac12. \]

La proposition C est vraie.

Proposition D

On reconnaît une forme \(u'/u\). Posons :

\[ u=1+e^x. \]

Alors :

\[ du=e^x\,dx. \]

Une primitive de l’intégrande est donc :

\[ \ln(1+e^x). \]

Ainsi :

\[ \int_0^2\frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \left[\ln(1+e^x)\right]_0^2. \]

On obtient :

\[ \ln(1+e^2)-\ln(1+e^0) = \ln(1+e^2)-\ln2. \]

Donc :

\[ \int_0^2\frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \ln\left(\frac{1+e^2}{2}\right). \]

Cette valeur est différente de celle proposée.

La proposition D est fausse.

Réponse finale : seule la proposition C est vraie.

Exercice 14 — Plans, droite et sphère

Rappel complet de la question

Dans le repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les plans \((P)\) et \((Q)\) d’équations :

\[ (P):\quad 2x+y-13=0, \] \[ (Q):\quad x-7y+16=0, \]

la droite \((D)\) de représentation paramétrique :

\[ (D): \begin{cases} x=5,\\ y=3,\\ z=t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R, \]

et la sphère \((S)\) d’équation :

\[ (S): \quad (x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25. \]

A. L’intersection de \((P)\) et \((Q)\) est la droite \((D)\).

B. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

C. La droite \((D)\) est tangente à \((S)\).

D. La droite \((D)\) n’est pas tangente à \((S)\).

Correction détaillée et entièrement justifiée

Proposition A — Intersection des deux plans

Un point \(M(x,y,z)\) appartient à l’intersection de \((P)\) et \((Q)\) si et seulement si ses coordonnées vérifient :

\[ \begin{cases} 2x+y-13=0,\\ x-7y+16=0. \end{cases} \]

Ce système équivaut à :

\[ \begin{cases} 2x+y=13,\\ x-7y=-16. \end{cases} \]

De la première équation :

\[ y=13-2x. \]

On remplace dans la deuxième :

\[ x-7(13-2x)=-16. \]

Donc :

\[ x-91+14x=-16, \] \[ 15x=75, \] \[ x=5. \]

Puis :

\[ y=13-2\times5=3. \]

La variable \(z\) n’apparaît dans aucune des deux équations ; elle est donc libre. En posant \(z=t\), on obtient :

\[ \begin{cases} x=5,\\ y=3,\\ z=t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb R. \]

Il s’agit exactement de la droite \((D)\).

La proposition A est vraie.

Proposition B — Intersection du plan \((P)\) et de la sphère

L’équation de la sphère est déjà sous forme réduite :

\[ (x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25. \]

Son centre est :

\[ \Omega(2,-1,1), \]

et son rayon est :

\[ R=5. \]

Le plan \((P)\) a pour équation :

\[ 2x+y-13=0. \]

La distance du centre \(\Omega\) à ce plan vaut :

\[ d(\Omega,P) = \frac{|2\times2+(-1)-13|} {\sqrt{2^2+1^2+0^2}}. \]

Le numérateur vaut :

\[ |4-1-13|=|-10|=10. \]

Le dénominateur vaut :

\[ \sqrt5. \]

Ainsi :

\[ d(\Omega,P)=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5. \]

Comparons avec le rayon. Comme :

\[ (2\sqrt5)^2=20 \qquad\text{et}\qquad 5^2=25, \]

on a :

\[ 2\sqrt5\lt5. \]

La distance du centre au plan est strictement inférieure au rayon. Le plan coupe donc la sphère suivant un cercle.

La proposition B est vraie.

Propositions C et D — Tangence de la droite \((D)\)

Un point de la droite \((D)\) a pour coordonnées :

\[ M_t(5,3,t). \]

Pour déterminer les points communs à \((D)\) et à la sphère, on remplace \(x=5\), \(y=3\) et \(z=t\) dans l’équation de la sphère :

\[ (5-2)^2+(3+1)^2+(t-1)^2=25. \]

Donc :

\[ 9+16+(t-1)^2=25. \]

Ainsi :

\[ 25+(t-1)^2=25, \]

d’où :

\[ (t-1)^2=0. \]

Il existe une unique solution :

\[ t=1. \]

La droite et la sphère ont donc un seul point commun :

\[ T(5,3,1). \]

Une droite ayant un unique point commun avec une sphère est tangente à cette sphère.

La proposition C est vraie.

La proposition D est fausse.

Réponse finale : les propositions A, B et C sont vraies.

Exercice 15 — Sphère et plan tangent

Rappel complet de la question

Dans le repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère la sphère d’équation :

\[ x^2+y^2+z^2+x-\frac14=0 \]

et le plan \((P)\) d’équation :

\[ y+z-1=0. \]

A. Le centre de la sphère est : \[ \left(-\frac12,0,0\right). \]

B. Le rayon de la sphère est : \[ R=\frac12. \]

C. Le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

D. L’intersection de \((P)\) et \((S)\) est un cercle.

Correction détaillée et entièrement justifiée

Mise sous forme réduite de la sphère

L’équation donnée est :

\[ x^2+y^2+z^2+x-\frac14=0. \]

On complète le carré pour les termes en \(x\). On a :

\[ x^2+x = \left(x+\frac12\right)^2-\frac14. \]

En remplaçant dans l’équation :

\[ \left(x+\frac12\right)^2-\frac14+y^2+z^2-\frac14=0. \]

Donc :

\[ \left(x+\frac12\right)^2+y^2+z^2=\frac12. \]

Cette équation est de la forme :

\[ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. \]

On lit alors :

\[ \Omega\left(-\frac12,0,0\right) \]

et :

\[ R^2=\frac12. \]

Par conséquent :

\[ R=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}. \]

La proposition A est vraie.

La proposition B est fausse, car le rayon n’est pas \(1/2\), mais \(1/\sqrt2\).

Position du plan par rapport à la sphère

Le plan \((P)\) a pour équation :

\[ y+z-1=0. \]

La distance du centre \(\Omega(-1/2,0,0)\) au plan vaut :

\[ d(\Omega,P) = \frac{|0+0-1|} {\sqrt{0^2+1^2+1^2}}. \]

Ainsi :

\[ d(\Omega,P) = \frac1{\sqrt2}. \]

Or le rayon de la sphère est également :

\[ R=\frac1{\sqrt2}. \]

Donc :

\[ d(\Omega,P)=R. \]

Lorsqu’un plan est situé à une distance du centre égale au rayon, il est tangent à la sphère.

La proposition C est vraie.

Nature de l’intersection

Un plan tangent à une sphère possède avec elle un seul point commun. L’intersection n’est donc pas un cercle de rayon strictement positif ; elle est réduite au point de tangence.

On peut même déterminer ce point. Le vecteur normal au plan est :

\[ \vec n=(0,1,1). \]

La projection orthogonale du centre sur le plan est :

\[ T\left(-\frac12,\frac12,\frac12\right). \]

En effet :

\[ \frac12+\frac12-1=0, \]

donc \(T\in(P)\), et :

\[ \Omega T = \sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2} = \frac1{\sqrt2} = R. \]

Le point \(T\) est donc l’unique point commun au plan et à la sphère.

La proposition D est fausse.

Réponse finale : les propositions A et C sont vraies.

Tableau récapitulatif des réponses

Exercice	Propositions vraies
Ex. 1	A, B, C et D
Ex. 2	A, B et C
Ex. 3	A, B et D
Ex. 4	A et D
Ex. 5	A, B et D
Ex. 6	B, C et D
Ex. 7	B et D
Ex. 8	C
Ex. 9	A et B
Ex. 10	A et C
Ex. 11	D
Ex. 12	B et D
Ex. 13	C
Ex. 14	A, B et C
Ex. 15	A et C

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