Concours ENSA Marrakech 2005 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSA Marrakech 2005 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.

Session du 27 juillet 2005 — Durée : 1 h 15 — 15 exercices QCM.

Compétences et points clés

Marrakech ENSA 2005 couvre les logarithmes, les transformations de courbes et plusieurs calculs d’intégrales. Les anomalies déjà signalées dans l’archive donnent aussi l’occasion de distinguer la validité d’une méthode de la présence d’une réponse correcte parmi les choix.

Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; signe des fonctions et intégrale sur un segment; dérivation des fonctions usuelles et composées.

Rappels de cours utiles

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Intégrale et aire. L’aire entre deux courbes sur un segment se calcule à partir de la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure. Si leur ordre change, séparer le calcul aux points d’intersection. Une intégrale signée peut être négative ; une aire géométrique est positive ou nulle et tient compte des unités du repère.

Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Revenir à la définition de chaque expression avant de comparer les propositions. Pour une courbe transformée, décrire l’effet sur les coordonnées. Dans une intégrale avec valeur absolue, établir les changements de signe et partager l’intervalle aux points nécessaires.

Cette page reproduit l’épreuve de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech, année universitaire 2004-2005.

Le sujet original comporte quinze exercices indépendants et quatre propositions par exercice.

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Consignes de l’épreuve

• La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
• Une seule réponse est annoncée comme correcte pour chaque exercice.
• Réponse juste : \(+1\) point.
• Réponse fausse : \(-1\) point.
• Absence de réponse : \(0\) point.
• Plus d’une case cochée : \(-1\) point.

Accès rapide aux exercices

Ex. 1Ex. 2Ex. 3Ex. 4Ex. 5Ex. 6Ex. 7Ex. 8Ex. 9Ex. 10Ex. 11Ex. 12Ex. 13Ex. 14Ex. 15

Énoncé — ENSA Marrakech 2005

Exercice 1 — Calculs logarithmiques et puissances

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. Si \[ x= \left[\ln\left(e^{\sqrt2}\right)\right]^2 e^{-\ln\left(\frac12\right)}, \] alors \(x=\sqrt2\).

B. Si \[ x= \ln\left(\frac{3^2}{2^3}\right) -4\ln(\sqrt3), \] alors \(x=\ln8\).

C. Si \[ x= \frac{\left(\sqrt[4]{4}\right)^2} {\left(\sqrt[4]{3\sqrt3}\right)^2\sqrt{\sqrt3}}, \] alors \[ x=\frac23. \]

D. Si \[ \ln(2x-1)=\ln(x-1), \] alors \(x=0\).

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Exercice 2 — Nombres complexes

Énoncé

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les nombres complexes définis par :

\[ z_1=\sqrt3-i \qquad\text{et}\qquad z_2=2i-z_1. \]

Anomalie objective du QCM : aucune des quatre propositions n’est correcte avec les données imprimées.

A. Le module de \(z_1^{-1}\) est \(2\).

B. Un argument de \(z_2\) est : \[ \frac{7\pi}{6}. \]

C. Un argument de : \[ \frac{z_2}{z_1} \] est : \[ -\frac{\pi}{2}. \]

D. Le module de : \[ \frac{z_2}{z_1} \] est \(-\sqrt3\).

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Exercice 3 — Dénombrement des calendriers d’anniversaires

Énoncé

Trois cent soixante personnes ont leurs anniversaires à des dates toutes distinctes dans une année de \(365\) jours.

Combien existe-t-il de calendriers d’anniversaires possibles ?

Anomalie objective du QCM : les propositions A et C sont équivalentes et donnent toutes les deux le nombre exact de calendriers.

A. \[ A_{365}^{360} \]

B. \[ \binom{365}{360} \]

C. \[ 360!\binom{365}{5} \]

D. \[ 360!A_{365}^{5} \]

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Exercice 4 — Limites de fonctions

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \lim_{x\to0} \frac{\sin(5x)}{\sin(4x)} = \frac45. \]

B. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^{3x}+1}{e^{2x}-1} = 1. \]

C. \[ \lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{1-x} = 1. \]

D. \[ \lim_{x\to-1} \ln\left( \frac{x+1}{x^2+3x+2} \right) \] n’existe pas.

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Exercice 5 — Limites de suites

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \lim_{n\to+\infty} \left(1+\sin(n^2+1)\right) = 2. \]

B. \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sin n}{\ln(n+1)} \] n’existe pas.

C. \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2n^2+(-1)^n n}{n^2-1} = 2. \]

D. \[ \lim_{n\to+\infty} \left( \sqrt{9n^2-n+1}-3n \right) = \frac14. \]

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Exercice 6 — Propriétés des suites

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. Si \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(q\), alors \((|u_n|)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(q\).

B. Si \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite bornée, alors \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est convergente.

C. Si \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite bornée, alors : \[ \left( \frac{(-1)^n u_n}{n} \right)_{n\ge1} \] converge vers \(0\).

D. Si : \[ u_n-\frac12 \le \left(\frac12\right)^n, \qquad \forall n\in\mathbb N, \] alors \((u_n)\) converge vers \(\frac12\).

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Exercice 7 — Parité, périodicité et symétrie

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(t)=\cos^2(t)\sin^3(t). \]

A. La fonction \(f\) est paire.

B. La fonction \(f\) est \(\pi\)-périodique.

C. La courbe représentative de \(f\), dans un repère orthonormé, est symétrique par rapport à l’origine \(O\).

D. \[ \int_0^\pi \cos^2(\theta)\sin^3(\theta)\,d\theta = \int_{-\pi}^{0} \cos^2(\theta)\sin^3(\theta)\,d\theta. \]

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Exercice 8 — Transformations de courbes

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) par :

\[ f(x)=\frac{1-x}{1+x}, \]

et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Correction locale des notations : les indices des fonctions \(g_1\), \(g_2\) et \(g_3\), incohérents dans l’impression originale, ont été remis dans leur ordre naturel sans modifier les expressions proposées.

A. La courbe de la fonction \(g_1\), définie par : \[ g_1(x)= \frac{|x-1|}{|x+1|}, \] se déduit de \(C\) par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

B. La courbe de la fonction \(g_2\), définie par : \[ g_2(x)=\frac{x+3}{x+1}, \] se déduit de \(C\) par la translation de vecteur \((0,-2)\).

C. La courbe de la fonction \(g_3\), définie par : \[ g_3(x)=\frac{x-1}{x+1}, \] se déduit de \(C\) par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

D. La courbe de la fonction \(g_4\), définie sur \(\mathbb R\setminus\left\{-\frac12\right\}\) par : \[ g_4(x)=\frac{1-2x}{2x+1}, \] se déduit de \(C\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\).

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Exercice 9 — Fonction logarithmique et asymptotes

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \ln\left( \frac{1+e^x}{2} \right), \]

et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

A. \[ f'(x)=\frac1{1+e^x}, \qquad \forall x\in\mathbb R. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x-2 \] est asymptote à la courbe \(C\).

C. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}x = 1. \]

D. La droite d’équation : \[ y=\ln2 \] est asymptote à la courbe \(C\).

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Exercice 10 — Reconnaissance de dérivées

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. La fonction : \[ x\longmapsto \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^3} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto \frac{2x^3-5x^2+1}{x^2} \] sur \(\mathbb R^\ast\).

B. La fonction : \[ x\longmapsto \frac52\sin x\,(\cos x)^{3/2} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto (\cos x)^{5/2} \] sur \(\mathbb R\).

C. La fonction : \[ x\longmapsto \ln(x^2+x+1) + \frac{x(2x+1)}{x^2+x+1} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto x\ln(x^2+x+1) \] sur \(\mathbb R\).

D. La fonction : \[ x\longmapsto \frac{e^{\sqrt{2x+5}}}{2\sqrt{2x+5}} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto e^{\sqrt{2x+5}} \] sur : \[ \left]-\frac52,+\infty\right[. \]

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Exercice 11 — Géométrie analytique du plan

Énoncé

Dans un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), on considère la droite \(D\) passant par \(A(1,0)\) et de vecteur directeur :

\[ \vec u=\vec i-\vec j. \]

Anomalie objective du QCM : les propositions C et D sont toutes les deux vraies.

A. L’ensemble des points \(M(x,y)\) vérifiant : \[ x^2-2x+3+y^2+4y=0 \] est le cercle de centre \(C(1,-2)\) et de rayon \(2\).

B. Une équation cartésienne de \(D\) est : \[ y=1+x. \]

C. La distance du point \((1,1)\) à la droite \(D\) est : \[ \frac1{\sqrt2}. \]

D. La droite \(D\) coupe la parabole d’équation : \[ y=2x^2 \] au point \((-1,2)\).

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Exercice 12 — Primitives et intégrale avec valeur absolue

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \int_0^2|x^2-x|\,dx = \frac23. \]

B. La fonction : \[ x\longmapsto(x+2)e^{-x} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto(x+1)e^{-x}. \]

C. La fonction : \[ x\longmapsto2\sqrt{x^2+x+1} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}. \]

D. La fonction : \[ x\longmapsto \ln|2+3\sin x| \] est une primitive de : \[ x\longmapsto \frac{\cos x}{2+3\sin x}. \]

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Exercice 13 — Étude d’une fonction avec valeur absolue

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x+\sqrt{|4x^2-1|}. \]

A. Sur : \[ \mathbb R\setminus \left\{-\frac12,\frac12\right\}, \] on a : \[ f'(x)= \frac{\sqrt{|4x^2-1|}-4x} {\sqrt{|4x^2-1|}}. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x \] est asymptote à la courbe représentative de \(f\).

C. La tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \((0,1)\) a pour équation : \[ y=x+1. \]

D. La droite d’équation : \[ y=-3x \] est asymptote à la courbe représentative de \(f\).

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Exercice 14 — Composition de fonctions

Énoncé

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x^2+1 \qquad\text{et}\qquad g(x)=e^{x+1}. \]

A. \[ (f\circ g)(x)=e^{x^2+2}. \]

B. \[ (f\circ g)'(x)=2xe^{x^2+2}. \]

C. La fonction \(f\circ g\) est croissante sur \(\mathbb R\).

D. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{g(x)}{f(x)} = 0. \]

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Exercice 15 — Calculs d’intégrales

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

Anomalie objective du QCM : aucune des quatre égalités proposées n’est correcte.

A. \[ \int_1^e x\ln x\,dx = \frac{e^2+1}{2}. \]

B. \[ \int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx = \ln\left(\frac{27}{4}\right)+1. \]

C. \[ \int_2^3\ln x\,dx = \frac12-\ln(\sqrt2). \]

D. \[ \int_0^1x^2e^{-x}\,dx = 2+\frac5e. \]

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Anomalies objectives conservées

• Exercice 2 : aucune proposition n’est correcte.
• Exercice 3 : les propositions A et C sont équivalentes et toutes les deux correctes.
• Exercice 11 : les propositions C et D sont toutes les deux correctes.
• Exercice 15 : aucune proposition n’est correcte.

Conseil de travail

Le barème pénalise les réponses fausses. Il est donc préférable de vérifier soigneusement chaque proposition avant de cocher une réponse.

Ressources liées

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