Concours ENSA Marrakech 2005 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSA Marrakech 2005 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.

Session du 27 juillet 2005 — Durée : 1 h 15 — 15 exercices QCM.

Cette page reproduit l’épreuve de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Marrakech, année universitaire 2004-2005.

Le sujet original comporte quinze exercices indépendants et quatre propositions par exercice.

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Consignes de l’épreuve

• La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
• Une seule réponse est annoncée comme correcte pour chaque exercice.
• Réponse juste : \(+1\) point.
• Réponse fausse : \(-1\) point.
• Absence de réponse : \(0\) point.
• Plus d’une case cochée : \(-1\) point.

Accès rapide aux exercices

Ex. 1Ex. 2Ex. 3Ex. 4Ex. 5Ex. 6Ex. 7Ex. 8Ex. 9Ex. 10Ex. 11Ex. 12Ex. 13Ex. 14Ex. 15

Énoncé — ENSA Marrakech 2005

Exercice 1 — Calculs logarithmiques et puissances

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. Si \[ x= \left[\ln\left(e^{\sqrt2}\right)\right]^2 e^{-\ln\left(\frac12\right)}, \] alors \(x=\sqrt2\).

B. Si \[ x= \ln\left(\frac{3^2}{2^3}\right) -4\ln(\sqrt3), \] alors \(x=\ln8\).

C. Si \[ x= \frac{\left(\sqrt[4]{4}\right)^2} {\left(\sqrt[4]{3\sqrt3}\right)^2\sqrt{\sqrt3}}, \] alors \[ x=\frac23. \]

D. Si \[ \ln(2x-1)=\ln(x-1), \] alors \(x=0\).

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Exercice 2 — Nombres complexes

Énoncé

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les nombres complexes définis par :

\[ z_1=\sqrt3-i \qquad\text{et}\qquad z_2=2i-z_1. \]

Anomalie objective du QCM : aucune des quatre propositions n’est correcte avec les données imprimées.

A. Le module de \(z_1^{-1}\) est \(2\).

B. Un argument de \(z_2\) est : \[ \frac{7\pi}{6}. \]

C. Un argument de : \[ \frac{z_2}{z_1} \] est : \[ -\frac{\pi}{2}. \]

D. Le module de : \[ \frac{z_2}{z_1} \] est \(-\sqrt3\).

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Exercice 3 — Dénombrement des calendriers d’anniversaires

Énoncé

Trois cent soixante personnes ont leurs anniversaires à des dates toutes distinctes dans une année de \(365\) jours.

Combien existe-t-il de calendriers d’anniversaires possibles ?

Anomalie objective du QCM : les propositions A et C sont équivalentes et donnent toutes les deux le nombre exact de calendriers.

A. \[ A_{365}^{360} \]

B. \[ \binom{365}{360} \]

C. \[ 360!\binom{365}{5} \]

D. \[ 360!A_{365}^{5} \]

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Exercice 4 — Limites de fonctions

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \lim_{x\to0} \frac{\sin(5x)}{\sin(4x)} = \frac45. \]

B. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^{3x}+1}{e^{2x}-1} = 1. \]

C. \[ \lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{1-x} = 1. \]

D. \[ \lim_{x\to-1} \ln\left( \frac{x+1}{x^2+3x+2} \right) \] n’existe pas.

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Exercice 5 — Limites de suites

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \lim_{n\to+\infty} \left(1+\sin(n^2+1)\right) = 2. \]

B. \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sin n}{\ln(n+1)} \] n’existe pas.

C. \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2n^2+(-1)^n n}{n^2-1} = 2. \]

D. \[ \lim_{n\to+\infty} \left( \sqrt{9n^2-n+1}-3n \right) = \frac14. \]

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Exercice 6 — Propriétés des suites

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. Si \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(q\), alors \((|u_n|)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(q\).

B. Si \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite bornée, alors \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est convergente.

C. Si \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite bornée, alors : \[ \left( \frac{(-1)^n u_n}{n} \right)_{n\ge1} \] converge vers \(0\).

D. Si : \[ u_n-\frac12 \le \left(\frac12\right)^n, \qquad \forall n\in\mathbb N, \] alors \((u_n)\) converge vers \(\frac12\).

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Exercice 7 — Parité, périodicité et symétrie

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(t)=\cos^2(t)\sin^3(t). \]

A. La fonction \(f\) est paire.

B. La fonction \(f\) est \(\pi\)-périodique.

C. La courbe représentative de \(f\), dans un repère orthonormé, est symétrique par rapport à l’origine \(O\).

D. \[ \int_0^\pi \cos^2(\theta)\sin^3(\theta)\,d\theta = \int_{-\pi}^{0} \cos^2(\theta)\sin^3(\theta)\,d\theta. \]

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Exercice 8 — Transformations de courbes

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) par :

\[ f(x)=\frac{1-x}{1+x}, \]

et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Correction locale des notations : les indices des fonctions \(g_1\), \(g_2\) et \(g_3\), incohérents dans l’impression originale, ont été remis dans leur ordre naturel sans modifier les expressions proposées.

A. La courbe de la fonction \(g_1\), définie par : \[ g_1(x)= \frac{|x-1|}{|x+1|}, \] se déduit de \(C\) par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

B. La courbe de la fonction \(g_2\), définie par : \[ g_2(x)=\frac{x+3}{x+1}, \] se déduit de \(C\) par la translation de vecteur \((0,-2)\).

C. La courbe de la fonction \(g_3\), définie par : \[ g_3(x)=\frac{x-1}{x+1}, \] se déduit de \(C\) par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

D. La courbe de la fonction \(g_4\), définie sur \(\mathbb R\setminus\left\{-\frac12\right\}\) par : \[ g_4(x)=\frac{1-2x}{2x+1}, \] se déduit de \(C\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\).

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Exercice 9 — Fonction logarithmique et asymptotes

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \ln\left( \frac{1+e^x}{2} \right), \]

et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

A. \[ f'(x)=\frac1{1+e^x}, \qquad \forall x\in\mathbb R. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x-2 \] est asymptote à la courbe \(C\).

C. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}x = 1. \]

D. La droite d’équation : \[ y=\ln2 \] est asymptote à la courbe \(C\).

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Exercice 10 — Reconnaissance de dérivées

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. La fonction : \[ x\longmapsto \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^3} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto \frac{2x^3-5x^2+1}{x^2} \] sur \(\mathbb R^\ast\).

B. La fonction : \[ x\longmapsto \frac52\sin x\,(\cos x)^{3/2} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto (\cos x)^{5/2} \] sur \(\mathbb R\).

C. La fonction : \[ x\longmapsto \ln(x^2+x+1) + \frac{x(2x+1)}{x^2+x+1} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto x\ln(x^2+x+1) \] sur \(\mathbb R\).

D. La fonction : \[ x\longmapsto \frac{e^{\sqrt{2x+5}}}{2\sqrt{2x+5}} \] est la dérivée de : \[ x\longmapsto e^{\sqrt{2x+5}} \] sur : \[ \left]-\frac52,+\infty\right[. \]

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Exercice 11 — Géométrie analytique du plan

Énoncé

Dans un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), on considère la droite \(D\) passant par \(A(1,0)\) et de vecteur directeur :

\[ \vec u=\vec i-\vec j. \]

Anomalie objective du QCM : les propositions C et D sont toutes les deux vraies.

A. L’ensemble des points \(M(x,y)\) vérifiant : \[ x^2-2x+3+y^2+4y=0 \] est le cercle de centre \(C(1,-2)\) et de rayon \(2\).

B. Une équation cartésienne de \(D\) est : \[ y=1+x. \]

C. La distance du point \((1,1)\) à la droite \(D\) est : \[ \frac1{\sqrt2}. \]

D. La droite \(D\) coupe la parabole d’équation : \[ y=2x^2 \] au point \((-1,2)\).

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Exercice 12 — Primitives et intégrale avec valeur absolue

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

A. \[ \int_0^2|x^2-x|\,dx = \frac23. \]

B. La fonction : \[ x\longmapsto(x+2)e^{-x} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto(x+1)e^{-x}. \]

C. La fonction : \[ x\longmapsto2\sqrt{x^2+x+1} \] est une primitive de : \[ x\longmapsto \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}. \]

D. La fonction : \[ x\longmapsto \ln|2+3\sin x| \] est une primitive de : \[ x\longmapsto \frac{\cos x}{2+3\sin x}. \]

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Exercice 13 — Étude d’une fonction avec valeur absolue

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x+\sqrt{|4x^2-1|}. \]

A. Sur : \[ \mathbb R\setminus \left\{-\frac12,\frac12\right\}, \] on a : \[ f'(x)= \frac{\sqrt{|4x^2-1|}-4x} {\sqrt{|4x^2-1|}}. \]

B. La droite d’équation : \[ y=x \] est asymptote à la courbe représentative de \(f\).

C. La tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \((0,1)\) a pour équation : \[ y=x+1. \]

D. La droite d’équation : \[ y=-3x \] est asymptote à la courbe représentative de \(f\).

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Exercice 14 — Composition de fonctions

Énoncé

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x^2+1 \qquad\text{et}\qquad g(x)=e^{x+1}. \]

A. \[ (f\circ g)(x)=e^{x^2+2}. \]

B. \[ (f\circ g)'(x)=2xe^{x^2+2}. \]

C. La fonction \(f\circ g\) est croissante sur \(\mathbb R\).

D. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{g(x)}{f(x)} = 0. \]

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Exercice 15 — Calculs d’intégrales

Énoncé

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

Anomalie objective du QCM : aucune des quatre égalités proposées n’est correcte.

A. \[ \int_1^e x\ln x\,dx = \frac{e^2+1}{2}. \]

B. \[ \int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx = \ln\left(\frac{27}{4}\right)+1. \]

C. \[ \int_2^3\ln x\,dx = \frac12-\ln(\sqrt2). \]

D. \[ \int_0^1x^2e^{-x}\,dx = 2+\frac5e. \]

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Anomalies objectives conservées

• Exercice 2 : aucune proposition n’est correcte.
• Exercice 3 : les propositions A et C sont équivalentes et toutes les deux correctes.
• Exercice 11 : les propositions C et D sont toutes les deux correctes.
• Exercice 15 : aucune proposition n’est correcte.

Conseil de travail

Le barème pénalise les réponses fausses. Il est donc préférable de vérifier soigneusement chaque proposition avant de cocher une réponse.

Ressources liées

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