Correction Concours ENSA Marrakech 2005 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.
Session du 27 juillet 2005 — Correction détaillée des 15 exercices.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Marrakech 2005. Chaque proposition est vérifiée par un calcul ou un raisonnement précis.
Correction détaillée
Exercice 1 — Calculs logarithmiques et puissances
La valeur obtenue n’est pas \(\sqrt2\). La proposition A est fausse.
Proposition B \[ \ln\left(\frac{3^2}{2^3}\right) -4\ln(\sqrt3) = \ln\left(\frac98\right)-2\ln3. \]Donc :
\[ x= \ln\left(\frac98\right)-\ln9 = \ln\left(\frac18\right) = -\ln8. \]La proposition B est fausse.
Proposition COn a :
\[ \left(\sqrt[4]{4}\right)^2=2. \]D’autre part :
\[ 3\sqrt3=3^{3/2}, \]donc :
\[ \left(\sqrt[4]{3\sqrt3}\right)^2 = \left(3^{3/8}\right)^2 = 3^{3/4}. \]Et :
\[ \sqrt{\sqrt3}=3^{1/4}. \]Le dénominateur vaut alors :
\[ 3^{3/4}\times3^{1/4}=3. \]Ainsi :
\[ x=\frac23. \]La proposition C est vraie.
Proposition DLes logarithmes imposent \(x\gt1\). L’égalité donnerait :
\[ 2x-1=x-1, \]d’où \(x=0\), qui ne vérifie pas la condition de définition. La proposition D est fausse.
Exercice 2 — Nombres complexes
On a :
\[ z_1=\sqrt3-i = 2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right). \]Donc :
\[ |z_1^{-1}|=\frac1{|z_1|}=\frac12. \]La proposition A est fausse.
Ensuite :
\[ z_2=2i-z_1=-\sqrt3+3i. \]Son module est :
\[ |z_2|=\sqrt{3+9}=2\sqrt3. \]Le point associé appartient au deuxième quadrant et :
\[ \tan\theta=\frac3{-\sqrt3}=-\sqrt3. \]Un argument de \(z_2\) est donc :
\[ \frac{2\pi}{3}, \]et non \(\frac{7\pi}{6}\). La proposition B est fausse.
Pour le quotient :
\[ \arg\left(\frac{z_2}{z_1}\right) = \frac{2\pi}{3} -\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}. \]La proposition C est fausse.
Enfin :
\[ \left|\frac{z_2}{z_1}\right| = \frac{2\sqrt3}{2} = \sqrt3. \]Un module ne peut pas être négatif. La proposition D est donc fausse.
Exercice 3 — Dénombrement des calendriers d’anniversaires
Les \(360\) personnes sont distinctes et leurs dates d’anniversaire doivent être toutes différentes.
On attribue donc à chaque personne une date parmi \(365\), sans répétition. Le nombre de calendriers est :
\[ A_{365}^{360} = \frac{365!}{(365-360)!} = \frac{365!}{5!}. \]C’est la proposition A.
On peut aussi choisir les \(5\) jours non utilisés, puis attribuer les \(360\) autres jours aux \(360\) personnes :
\[ \binom{365}{5}\times360!. \]Or :
\[ 360!\binom{365}{5} = 360!\frac{365!}{5!\,360!} = \frac{365!}{5!} = A_{365}^{360}. \]La proposition C est donc également vraie.
Exercice 4 — Limites de fonctions
La proposition A est fausse.
Proposition B \[ \frac{e^{3x}+1}{e^{2x}-1} = e^x \frac{1+e^{-3x}}{1-e^{-2x}} \longrightarrow+\infty. \]La proposition B est fausse.
Proposition CLorsque \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\). Ainsi :
\[ \frac{\sqrt{x^2+1}}{1-x} = \frac{-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{1-x}. \]En divisant par \(-x\) :
\[ \frac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{1-\frac1x} \longrightarrow1. \]La proposition C est vraie.
Proposition DPour \(x\ne-1\) :
\[ \frac{x+1}{x^2+3x+2} = \frac{x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac1{x+2}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to-1} \ln\left( \frac{x+1}{x^2+3x+2} \right) = \ln1 = 0. \]La limite existe. La proposition D est fausse.
Exercice 5 — Limites de suites
La suite :
\[ 1+\sin(n^2+1) \]n’est pas constante et ne tend pas vers \(2\). La proposition A est fausse.
Proposition BComme :
\[ |\sin n|\le1, \]on a :
\[ \left| \frac{\sin n}{\ln(n+1)} \right| \le \frac1{\ln(n+1)} \longrightarrow0. \]La limite existe et vaut \(0\). La proposition B est fausse.
Proposition C \[ \frac{2n^2+(-1)^n n}{n^2-1} = \frac{2+\frac{(-1)^n}{n}} {1-\frac1{n^2}} \longrightarrow2. \]La proposition C est vraie.
Proposition DOn rationalise :
\[ \sqrt{9n^2-n+1}-3n = \frac{-n+1} {\sqrt{9n^2-n+1}+3n}. \]En divisant par \(n\) :
\[ \frac{-1+\frac1n} {\sqrt{9-\frac1n+\frac1{n^2}}+3} \longrightarrow -\frac16. \]La proposition D est fausse.
Exercice 6 — Propriétés des suites
Si :
\[ u_{n+1}=qu_n, \]alors :
\[ |u_{n+1}|=|q|\,|u_n|. \]La raison de la suite \((|u_n|)\) est \(|q|\), et non nécessairement \(q\). La proposition A est fausse.
Proposition BUne suite bornée n’est pas nécessairement convergente. Par exemple :
\[ u_n=(-1)^n. \]La proposition B est fausse.
Proposition CComme \((u_n)\) est bornée, il existe \(M\gt0\) tel que :
\[ |u_n|\le M. \]Alors :
\[ \left| \frac{(-1)^n u_n}{n} \right| \le \frac{M}{n} \longrightarrow0. \]Par encadrement :
\[ \frac{(-1)^n u_n}{n}\longrightarrow0. \]La proposition C est vraie.
Proposition DL’inégalité donnée fournit seulement une majoration. Par exemple, la suite :
\[ u_n=-n \]vérifie :
\[ u_n-\frac12 \le \left(\frac12\right)^n, \]mais ne converge pas vers \(\frac12\). La proposition D est fausse.
Exercice 7 — Parité, périodicité et symétrie
La fonction :
\[ f(t)=\cos^2(t)\sin^3(t) \]est le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Elle est donc impaire :
\[ f(-t)=-f(t). \]La proposition A est fausse.
De plus :
\[ f(t+\pi) = \cos^2(t+\pi)\sin^3(t+\pi) = -\cos^2t\sin^3t = -f(t). \]La fonction n’est donc pas \(\pi\)-périodique. La proposition B est fausse.
Une fonction impaire a une courbe représentative symétrique par rapport à l’origine. La proposition C est vraie.
Enfin, par imparité :
\[ \int_{-\pi}^{0}f(\theta)\,d\theta = -\int_0^\pi f(\theta)\,d\theta. \]Les deux intégrales ne sont pas égales. La proposition D est fausse.
Exercice 8 — Transformations de courbes
On considère :
\[ f(x)=\frac{1-x}{1+x}. \] Proposition A \[ g_1(x)= \frac{|x-1|}{|x+1|} = |f(x)|. \]La courbe de \(|f|\) s’obtient en relevant par symétrie par rapport à l’axe des abscisses les parties de \(C\) situées sous cet axe, et non par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. La proposition A est fausse.
Proposition B \[ f(x)+2 = \frac{1-x+2x+2}{1+x} = \frac{x+3}{x+1} = g_2(x). \]La courbe de \(g_2\) s’obtient par une translation verticale de vecteur \((0,2)\), et non \((0,-2)\). La proposition B est fausse.
Proposition C \[ g_3(x)=\frac{x-1}{x+1}=-f(x). \]La courbe de \(g_3\) s’obtient donc par symétrie par rapport à l’axe des abscisses. La proposition C est vraie.
Proposition D \[ g_4(x)=\frac{1-2x}{1+2x}=f(2x). \]Il s’agit d’une contraction horizontale, et non d’une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\). La proposition D est fausse.
Exercice 9 — Fonction logarithmique et asymptotes
La fonction est :
\[ f(x)= \ln\left( \frac{1+e^x}{2} \right). \]Sa dérivée est :
\[ f'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}. \]La proposition A est fausse.
Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ f(x) = \ln\left( \frac{e^x(1+e^{-x})}{2} \right) = x-\ln2+\ln(1+e^{-x}). \]Ainsi :
\[ f(x)-(x-\ln2) = \ln(1+e^{-x}) \longrightarrow0. \]L’asymptote oblique est donc :
\[ y=x-\ln2, \]et non \(y=x-2\). La proposition B est fausse.
On en déduit :
\[ \frac{f(x)}x = 1-\frac{\ln2}{x} + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x} \longrightarrow1. \]La proposition C est vraie.
Lorsque \(x\to-\infty\) :
\[ f(x)\longrightarrow\ln\left(\frac12\right)=-\ln2. \]L’asymptote horizontale est \(y=-\ln2\), et non \(y=\ln2\). La proposition D est fausse.
Exercice 10 — Reconnaissance de dérivées
On simplifie :
\[ \frac{2x^3-5x^2+1}{x^2} = 2x-5+\frac1{x^2}. \]Sa dérivée est :
\[ 2-\frac2{x^3} = \frac{2(x^3-1)}{x^3} = \frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^3}. \]Le facteur \(2\) manque dans la proposition A. Elle est fausse.
Proposition B \[ \left((\cos x)^{5/2}\right)' = -\frac52\sin x\,(\cos x)^{3/2}. \]Le signe proposé est incorrect. La proposition B est fausse.
Proposition CPar la formule du produit :
\[ \left[ x\ln(x^2+x+1) \right]' = \ln(x^2+x+1) + x\frac{2x+1}{x^2+x+1}. \]La proposition C est vraie.
Proposition D \[ \left( e^{\sqrt{2x+5}} \right)' = \frac{e^{\sqrt{2x+5}}}{\sqrt{2x+5}}. \]Le facteur \(\frac12\) proposé est incorrect. La proposition D est fausse.
Exercice 11 — Géométrie analytique du plan
En complétant les carrés :
\[ (x-1)^2+(y+2)^2=2. \]Le centre est bien \((1,-2)\), mais le rayon vaut \(\sqrt2\), et non \(2\). La proposition A est fausse.
Proposition BLa droite \(D\) passe par \(A(1,0)\) et a pour vecteur directeur \((1,-1)\). Une représentation paramétrique est :
\[ x=1+t, \qquad y=-t. \]Donc :
\[ x+y=1 \]ou :
\[ y=1-x. \]La proposition B est fausse.
Proposition CLa distance du point \((1,1)\) à la droite \(x+y-1=0\) vaut :
\[ d= \frac{|1+1-1|} {\sqrt{1^2+1^2}} = \frac1{\sqrt2}. \]La proposition C est vraie.
Proposition DLe point \((-1,2)\) appartient à la droite, car :
\[ 2=1-(-1). \]Il appartient aussi à la parabole, car :
\[ 2(-1)^2=2. \]La proposition D est donc vraie.
Exercice 12 — Primitives et intégrale avec valeur absolue
Sur \([0,1]\) :
\[ |x^2-x|=x-x^2. \]Sur \([1,2]\) :
\[ |x^2-x|=x^2-x. \]Donc :
\[ \int_0^2|x^2-x|\,dx = \int_0^1(x-x^2)\,dx + \int_1^2(x^2-x)\,dx. \]On obtient :
\[ \frac16+\frac56=1. \]La proposition A est fausse.
Proposition B \[ \left((x+2)e^{-x}\right)' = e^{-x}-(x+2)e^{-x} = -(x+1)e^{-x}. \]La proposition B est fausse.
Proposition C \[ \left( 2\sqrt{x^2+x+1} \right)' = 2\, \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}} = \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}. \]La proposition C est vraie.
Proposition D \[ \left( \ln|2+3\sin x| \right)' = \frac{3\cos x}{2+3\sin x}. \]Le facteur \(3\) manque dans la proposition D. Elle est fausse.
Exercice 13 — Étude d’une fonction avec valeur absolue
La fonction est :
\[ f(x)=x+\sqrt{|4x^2-1|}. \] Proposition APour \(|x|\lt\frac12\) :
\[ f(x)=x+\sqrt{1-4x^2}, \]donc :
\[ f'(x) = 1-\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}. \]Pour \(|x|\gt\frac12\) :
\[ f(x)=x+\sqrt{4x^2-1}, \]donc :
\[ f'(x) = 1+\frac{4x}{\sqrt{4x^2-1}}. \]La formule proposée n’est donc pas valable sur tout le domaine indiqué. La proposition A est fausse.
Proposition BLorsque \(x\to+\infty\) :
\[ f(x)\sim3x. \]Lorsque \(x\to-\infty\) :
\[ f(x)\sim-x. \]La droite \(y=x\) n’est pas asymptote. La proposition B est fausse.
Proposition COn a :
\[ f(0)=1. \]Au voisinage de \(0\) :
\[ f'(x) = 1-\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}, \]d’où :
\[ f'(0)=1. \]La tangente au point \((0,1)\) est donc :
\[ y=x+1. \]La proposition C est vraie.
Proposition DLes comportements précédents montrent que \(y=-3x\) n’est asymptote ni en \(+\infty\), ni en \(-\infty\). La proposition D est fausse.
Exercice 14 — Composition de fonctions
On a :
\[ (f\circ g)(x) = f(e^{x+1}) = e^{2x+2}+1. \]La proposition A est fausse.
Sa dérivée est :
\[ (f\circ g)'(x) = 2e^{2x+2}. \]La proposition B est fausse.
Comme :
\[ 2e^{2x+2}\gt0 \qquad \forall x\in\mathbb R, \]la fonction \(f\circ g\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). La proposition C est vraie.
Enfin :
\[ \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{e^{x+1}}{x^2+1}. \]L’exponentielle domine toute puissance de \(x\), donc :
\[ \frac{e^{x+1}}{x^2+1} \longrightarrow+\infty. \]La proposition D est fausse.
Exercice 15 — Calculs d’intégrales
Par intégration par parties :
\[ \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}. \]Donc :
\[ \int_1^e x\ln x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4} \right]_1^e = \frac{e^2+1}{4}. \]La proposition A est fausse.
Proposition BUne primitive de \(\frac{\ln x}{x^2}\) est :
\[ -\frac{\ln x}{x}-\frac1x. \]Ainsi :
\[ \int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx = \frac{1-\ln2}{2}. \]La proposition B est fausse.
Proposition C \[ \int_2^3\ln x\,dx = [x\ln x-x]_2^3. \]Donc :
\[ \int_2^3\ln x\,dx = 3\ln3-2\ln2-1 = \ln\left(\frac{27}{4}\right)-1. \]La proposition C est fausse.
Proposition DUne primitive de \(x^2e^{-x}\) est :
\[ -(x^2+2x+2)e^{-x}. \]Par conséquent :
\[ \int_0^1x^2e^{-x}\,dx = 2-\frac5e. \]La proposition D est fausse.
Tableau récapitulatif des réponses
| Exercice | Réponse finale |
|---|---|
| Ex. 1 | C |
| Ex. 2 | Aucune proposition exacte |
| Ex. 3 | A et C |
| Ex. 4 | C |
| Ex. 5 | C |
| Ex. 6 | C |
| Ex. 7 | C |
| Ex. 8 | C |
| Ex. 9 | C |
| Ex. 10 | C |
| Ex. 11 | C et D |
| Ex. 12 | C |
| Ex. 13 | C |
| Ex. 14 | C |
| Ex. 15 | Aucune proposition exacte |
Anomalies objectives du sujet
- Exercice 2 : aucune des quatre propositions n’est correcte.
- Exercice 3 : les propositions A et C sont équivalentes et toutes les deux correctes.
- Exercice 11 : les propositions C et D sont toutes les deux correctes.
- Exercice 15 : aucune des quatre propositions n’est correcte.
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