Concours ENSA Marrakech 2011 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Marrakech 2011 — Énoncé de mathématiques

Concours d’entrée en 1^ère année du cycle préparatoire — Session du 8 août 2011.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 15 min — 15 exercices QCM.

Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Marrakech 2011.

Le sujet porte sur les intégrales, les fonctions, les suites, la logique, les systèmes exponentiels, les probabilités et le dénombrement.

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Consignes

• La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
• Chaque exercice propose quatre réponses et une seule est correcte.
• Réponse juste : \(+1\) point.
• Réponse fausse ou plusieurs cases cochées : \(-1\) point.
• Absence de réponse : \(0\) point.

Accès rapide aux exercices

E1E2E3E4E5 E6E7E8E9E10 E11E12E13E14E15

Énoncé — Mathématiques

Exercice 1

Énoncé

Parmi les quatre égalités suivantes, déterminer celle qui est correcte.

A) \(\displaystyle \int_k^2\ln\left(\frac{x-1}{x}\right)\,dx = -2\ln2+\ln(k-1), \qquad k\in]1,2[. \)

B) \(\displaystyle \int_0^{\pi/3}\cos^3x\,dx = \frac{3\sqrt3}{11}. \)

C) \(\displaystyle \int_{-2}^{0} \left( |x+1|+\frac4{x-1} \right)dx = 1-4\ln3. \)

D) \(\displaystyle \int_0^2(x-2)e^{2x+1}\,dx = \frac54e-\frac{13}{7}e^5. \)

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Exercice 2

Énoncé

Pour tout réel \(x\), on pose :

\[ G(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}. \]

Déterminer l’affirmation correcte.

A) \(G\) est une fonction paire.

B) \(G\) est croissante sur \(\left[0,\dfrac1{\sqrt2}\right]\).

C) \(G\) est croissante sur \(\left[\dfrac1{\sqrt2},+\infty\right[\).

D) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}G(x)=1\).

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Exercice 3

Énoncé

Une grandeur \(y\) décroît au cours du temps \(t\) selon la loi :

\[ y(t)=y_0\,2^{-t}, \]

où \(y_0\) désigne la valeur initiale à \(t=0\).

La valeur moyenne de \(y\) entre les instants \(0\) et \(T\) est :

A) \(\displaystyle 1-2^{-T}\).

B) \(\displaystyle T\ln2\).

C) \(\displaystyle \frac{y_0}{\ln2}\left(1-2^{-T}\right)\).

D) \(\displaystyle \frac{y_0}{T\ln2}\left(1-2^{-T}\right)\).

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Exercice 4

Énoncé

Soit la fonction :

\[ f(x)=\ln\left|e^x-e^{2x}\right|. \]

Déterminer l’affirmation correcte.

A) \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty,0[\).

B) \(f\) est strictement croissante sur \(\left]0,\dfrac12\right[\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\).

D) La droite d’équation \(y=3x\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\) lorsque \(x\to+\infty\).

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Exercice 5

Énoncé

En quel point la courbe :

\[ y=\sqrt{2x}+\sqrt{\frac2x} \]

admet-elle une tangente parallèle à l’axe des abscisses ?

A) Aucun point.

B) \((2,3)\).

C) \((1,2\sqrt2)\).

D) \((8,6)\).

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Exercice 6

Énoncé

Soit la fonction :

\[ f(x) = \frac{x^2}{x-1}\,e^{1/x}. \]

Déterminer l’affirmation correcte.

A) La droite d’équation \(y=x+2\) est asymptote oblique à la courbe représentative de \(f\) lorsque \(x\to+\infty\).

B) \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty,0[\).

C) \(f\) est impaire.

D) \(f\) est strictement croissante sur \(]1,+\infty[\).

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Exercice 7

Énoncé

Déterminer la contraposée de la proposition :

\[ \forall x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R, \qquad x\gt y\Longrightarrow f(x)=f(y). \]

A) \(\displaystyle \exists x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R, \qquad f(x)=f(y)\ \text{ou}\ x\le y. \)

B) \(\displaystyle \forall x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R, \qquad f(x)\ne f(y)\Longrightarrow x\le y. \)

C) \(\displaystyle \exists x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R, \qquad f(x)=f(y)\ \text{et}\ x\le y. \)

D) \(\displaystyle \forall x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R, \qquad x\gt y\Longrightarrow f(x)\ne f(y). \)

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Exercice 8

Énoncé

Déterminer la négation de la proposition :

\[ \forall a\in\mathbb R,\ \forall b\in\mathbb R, \qquad a\le b\Longrightarrow f(a)\ge f(b). \]

A) \(\displaystyle \forall a\in\mathbb R,\ \forall b\in\mathbb R, \qquad a\le b\Longrightarrow f(a)\ge f(b). \)

B) \(\displaystyle \exists a\in\mathbb R,\ \exists b\in\mathbb R, \qquad a\le b\ \text{ou}\ f(a)\lt f(b). \)

C) \(\displaystyle \exists a\in\mathbb R,\ \exists b\in\mathbb R, \qquad a\le b\ \text{et}\ f(a)\lt f(b). \)

D) \(\displaystyle \exists a\in\mathbb R,\ \exists b\in\mathbb R, \qquad a\gt b\ \text{et}\ f(a)\lt f(b). \)

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Exercice 9

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=1, \qquad u_{n+1}=\ln(1+u_n) \quad(n\in\mathbb N). \]

Déterminer l’affirmation correcte.

A) \(\forall n\in\mathbb N,\ u_n\le0\).

B) La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

C) La suite \((u_n)\) est décroissante.

D) \(\forall n\in\mathbb N,\ u_n\gt1\).

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Exercice 10

Énoncé

Déterminer l’ensemble \(S\) des solutions réelles du système :

\[ \begin{cases} 2^{1/x}\,2^{1/y}=32,\\[1mm] 2^x\,2^y=\sqrt[6]{32}. \end{cases} \]

A) \(\displaystyle S= \left\{ \left(\frac13,\frac12\right), \left(\frac12,\frac13\right) \right\}. \)

B) \(\displaystyle S= \left\{ \left(\frac15,\frac13\right) \right\}. \)

C) \(\displaystyle S= \left\{ \left(\frac15,\frac23\right), \left(\frac34,\frac12\right) \right\}. \)

D) \(\displaystyle S= \left\{ \left(\frac23,\frac13\right), \left(\frac14,\frac35\right) \right\}. \)

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Exercice 11

Énoncé

Déterminer les paramètres \(a\) et \(b\) pour que le polynôme :

\[ A(x)=x^3+ax+b \]

soit divisible par :

\[ B(x)=x^2-3x+2. \]

A) \(a=4\) et \(b=2\).

B) \(a=7\) et \(b=2\).

C) \(a=6\) et \(b=-3\).

D) \(a=-7\) et \(b=6\).

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Exercice 12

Énoncé

Deux tireurs \(A\) et \(B\) font feu simultanément sur une cible. La probabilité que \(A\) touche la cible est :

\[ \frac45, \]

et celle que \(B\) touche la cible est :

\[ \frac34. \]

La probabilité que la cible soit atteinte est :

A) \(\dfrac7{20}\).

B) \(\dfrac{19}{20}\).

C) \(\dfrac{12}{20}\).

D) \(\dfrac1{20}\).

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Exercice 13

Énoncé

Une urne contient \(y\) boules, dont trois sont blanches, les autres étant rouges.

Lors du tirage sans remise de deux boules, la probabilité d’obtenir d’abord une boule blanche puis une boule rouge est égale à :

\[ \frac14. \]

Déterminer \(y\).

A) \(y=8\).

B) \(y=12\).

C) \(y=4\) et \(y=9\).

D) \(y=12\) et \(y=8\).

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Exercice 14

Énoncé

De combien de manières différentes un professeur peut-il choisir un ou plusieurs élèves parmi six élèves ?

A) \(55\).

B) \(6\).

C) \(63\).

D) \(48\).

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Exercice 15

Énoncé

Le prix d’un article subit trois baisses successives de \(20\%\).

De quel pourcentage ce prix a-t-il diminué au total ?

A) \(60\%\).

B) \(48{,}8\%\).

C) \(44{,}6\%\).

D) \(52{,}5\%\).

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Conseil de travail

Chaque exercice contient une seule proposition correcte. Il est conseillé de vérifier d’abord les domaines de définition, puis d’éliminer les propositions incompatibles avec les limites, les variations ou les règles logiques.

Ressources liées

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