Correction Concours ENSA Marrakech 2011 — Mathématiques
Concours d’entrée en 1ère année du cycle préparatoire — Session du 8 août 2011.
Correction détaillée et vérifiée des 15 exercices QCM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Marrakech 2011.
La grille officielle a été comparée avec le recalcul détaillé de chaque exercice.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée exercice par exercice
Exercice 1 — Vérification d’égalités intégrales
Parmi les quatre égalités suivantes, déterminer celle qui est correcte.
Pour identifier l’unique égalité correcte, on vérifie séparément les quatre propositions.
Lorsqu’une valeur absolue change d’expression sur l’intervalle d’intégration, on partage l’intégrale au point où son contenu s’annule.
Proposition A. Une primitive de \(\ln\left(\frac{x-1}{x}\right)\) sur \(]1,+\infty[\) est :
\[ F(x)=(x-1)\ln(x-1)-x\ln x. \]Ainsi :
\[ \int_k^2\ln\left(\frac{x-1}{x}\right)\,dx = -2\ln2-(k-1)\ln(k-1)+k\ln k. \]Cette expression n’est pas égale, en général, à \(-2\ln2+\ln(k-1)\). La proposition A est fausse.
Proposition B. On utilise \(\cos^3x=\cos x(1-\sin^2x)\) :
\[ \int_0^{\pi/3}\cos^3x\,dx = \left[\sin x-\frac{\sin^3x}{3}\right]_0^{\pi/3} = \frac{3\sqrt3}{8}. \]La proposition B est fausse.
Proposition C. Comme \(x+1\le0\) sur \([-2,-1]\) et \(x+1\ge0\) sur \([-1,0]\) :
\[ \int_{-2}^{0}|x+1|\,dx = \int_{-2}^{-1}(-x-1)\,dx + \int_{-1}^{0}(x+1)\,dx = 1. \]D’autre part :
\[ \int_{-2}^{0}\frac4{x-1}\,dx = 4\left[\ln|x-1|\right]_{-2}^{0} = -4\ln3. \]Donc :
\[ \int_{-2}^{0}\left(|x+1|+\frac4{x-1}\right)dx = 1-4\ln3. \]La proposition C est correcte.
Proposition D. Une primitive de \((x-2)e^{2x+1}\) est :
\[ e^{2x+1}\left(\frac{x}{2}-\frac54\right). \]Par conséquent :
\[ \int_0^2(x-2)e^{2x+1}\,dx = \frac54e-\frac14e^5. \]La proposition D est fausse.
Exercice 2 — Variation d’une intégrale à bornes variables
Pour tout réel \(x\), on pose :
\[ G(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}. \]Déterminer l’affirmation correcte.
Si \(f\) est continue et si :
\[ H(x)=\int_a^{u(x)}f(t)\,dt, \]alors :
\[ H'(x)=u'(x)f(u(x)). \]Pour deux bornes variables :
\[ G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt, \]on obtient :
\[ G'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x)). \]Posons :
\[ f(t)=\frac1{\sqrt{t^4+t^2+1}}. \]Alors :
\[ G'(x)=2f(2x)-f(x). \]Pour \(x\ge0\), on étudie le signe de :
\[ \frac2{\sqrt{16x^4+4x^2+1}} - \frac1{\sqrt{x^4+x^2+1}}. \]Les deux termes sont positifs. L’inégalité \(G'(x)\ge0\) équivaut à :
\[ \frac4{16x^4+4x^2+1} \ge \frac1{x^4+x^2+1}. \]Donc :
\[ 4x^4+4x^2+4 \ge 16x^4+4x^2+1, \] \[ 3\ge12x^4, \] \[ x^4\le\frac14. \]Pour \(x\ge0\), cela donne :
\[ 0\le x\le\frac1{\sqrt2}. \]Ainsi, \(G\) est croissante sur \(\left[0,\frac1{\sqrt2}\right]\).
Exercice 3 — Valeur moyenne d’une fonction
La grandeur :
\[ y(t)=y_0\,2^{-t} \]est étudiée entre les instants \(0\) et \(T\). Déterminer sa valeur moyenne.
La valeur moyenne de \(y\) sur \([0,T]\) est : \[ \frac1T\int_0^T y(t)\,dt. \]
On a :
\[ 2^{-t}=e^{-t\ln2}. \]Donc :
\[ \int_0^T y_0\,2^{-t}\,dt = y_0 \left[ -\frac{2^{-t}}{\ln2} \right]_0^T. \]Ainsi :
\[ \int_0^T y_0\,2^{-t}\,dt = \frac{y_0}{\ln2}(1-2^{-T}). \]La valeur moyenne est donc :
\[ \frac1T \int_0^T y(t)\,dt = \frac{y_0}{T\ln2}(1-2^{-T}). \]Exercice 4 — Étude d’une fonction logarithmique
On considère :
\[ f(x)=\ln|e^x-e^{2x}|. \]Déterminer l’affirmation correcte.
On écrit : \[ f(x)=x+\ln|1-e^x|. \]
Pour \(x\gt0\), on a \(e^x-1\gt0\), donc :
\[ f(x)=x+\ln(e^x-1). \]Alors :
\[ f'(x) = 1+\frac{e^x}{e^x-1}. \]Comme \(e^x-1\gt0\), on obtient :
\[ f'(x)\gt0 \qquad\text{pour tout }x\gt0. \]En particulier, \(f\) est strictement croissante sur :
\[ \left]0,\frac12\right[. \]La proposition B est donc correcte.
Exercice 5 — Tangente horizontale
On considère :
\[ y=\sqrt{2x}+\sqrt{\frac2x}, \qquad x\gt0. \]Déterminer le point où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Une tangente est horizontale lorsque la dérivée s’annule.
On écrit :
\[ y(x) = \sqrt2\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right). \]Donc :
\[ y'(x) = \frac{\sqrt2}{2} \left( x^{-1/2}-x^{-3/2} \right). \]Ainsi :
\[ y'(x) = \frac{\sqrt2}{2x^{3/2}}(x-1). \]La dérivée s’annule seulement pour :
\[ x=1. \]Alors :
\[ y(1)=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2. \]Le point recherché est :
\[ (1,2\sqrt2). \]Exercice 6 — Asymptote oblique
On considère :
\[ f(x)=\frac{x^2}{x-1}e^{1/x}. \]Déterminer l’affirmation correcte.
Pour vérifier l’asymptote \(y=x+2\), on étudie : \[ f(x)-(x+2). \]
On effectue la division :
\[ \frac{x^2}{x-1} = x+1+\frac1{x-1}. \]Donc :
\[ f(x)-(x+2) = x\left(e^{1/x}-1\right) + \left(e^{1/x}-1\right) + \frac{e^{1/x}}{x-1} -1. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ x\left(e^{1/x}-1\right) = \frac{e^{1/x}-1}{1/x} \longrightarrow1, \] \[ e^{1/x}-1\longrightarrow0, \qquad \frac{e^{1/x}}{x-1}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f(x)-(x+2)\longrightarrow1+0+0-1=0. \]La droite \(y=x+2\) est donc une asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).
Exercice 7 — Contraposée d’une implication
Déterminer la contraposée de :
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad x\gt y\Longrightarrow f(x)=f(y). \]Le symbole \(\forall\) signifie « pour tout » et le symbole \(\exists\) signifie « il existe ».
La contraposée de l’implication :
\[ P\Longrightarrow Q \]est :
\[ \text{non }Q\Longrightarrow\text{non }P. \]Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité.
Ici :
\[ P:\ x\gt y, \qquad Q:\ f(x)=f(y). \]Donc :
\[ \neg Q:\ f(x)\ne f(y), \]et :
\[ \neg P:\ x\le y. \]La contraposée est donc :
\[ \forall x,y\in\mathbb R, \qquad f(x)\ne f(y)\Longrightarrow x\le y. \]Exercice 8 — Négation d’une proposition universelle
Déterminer la négation de :
\[ \forall a,b\in\mathbb R, \qquad a\le b\Longrightarrow f(a)\ge f(b). \]La négation de « pour tout » est « il existe » :
\[ \text{non}\bigl(\forall x,\ P(x)\bigr) \Longleftrightarrow \exists x,\ \text{non }P(x). \]De plus, la négation d’une implication est :
\[ \text{non}(P\Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow P\ \text{et non }Q. \]La proposition affirme que, pour tous \(a\) et \(b\), si \(a\le b\), alors \(f(a)\ge f(b)\).
Sa négation est donc :
\[ \exists a,b\in\mathbb R \quad\text{tels que}\quad a\le b \quad\text{et}\quad f(a)\lt f(b). \]Exercice 9 — Suite définie par un logarithme
On considère :
\[ u_0=1, \qquad u_{n+1}=\ln(1+u_n). \]Déterminer l’affirmation correcte.
Pour tout \(t\gt0\) : \[ 0\lt\ln(1+t)\lt t. \]
Montrons d’abord par récurrence que :
\[ u_n\gt0 \qquad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]Initialisation :
\[ u_0=1\gt0. \]Hérédité : supposons que \(u_n\gt0\). Alors \(1+u_n\gt1\), donc :
\[ u_{n+1}=\ln(1+u_n)\gt0. \]La propriété est ainsi vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
Comme \(u_n\gt0\), l’inégalité \(\ln(1+t)\lt t\), appliquée à \(t=u_n\), donne :
\[ u_{n+1}=\ln(1+u_n)\lt u_n. \]La suite \((u_n)\) est donc strictement décroissante, et en particulier décroissante.
Exercice 10 — Système exponentiel
Résoudre :
\[ \begin{cases} 2^{1/x}2^{1/y}=32,\\ 2^x2^y=\sqrt[6]{32}. \end{cases} \]La fonction \(t\mapsto2^t\) est strictement croissante. Ainsi :
\[ 2^a=2^b\Longrightarrow a=b. \]Cette propriété est appelée l’injectivité de la fonction exponentielle de base \(2\).
Comme \(x\) et \(y\) figurent au dénominateur, on doit avoir :
\[ x\ne0 \qquad\text{et}\qquad y\ne0. \]La première équation donne :
\[ \frac1x+\frac1y=5. \]La seconde donne :
\[ x+y=\frac56. \]Or :
\[ \frac1x+\frac1y = \frac{x+y}{xy}. \]Donc :
\[ \frac{5/6}{xy}=5, \qquad xy=\frac16. \]Les nombres \(x\) et \(y\) sont donc les racines de :
\[ t^2-\frac56t+\frac16=0. \]En multipliant par \(6\) :
\[ 6t^2-5t+1=0. \]Les racines sont :
\[ \frac12 \qquad\text{et}\qquad \frac13. \]Ainsi :
\[ S= \left\{ \left(\frac13,\frac12\right), \left(\frac12,\frac13\right) \right\}. \]Exercice 11 — Divisibilité de polynômes
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que :
\[ A(x)=x^3+ax+b \]soit divisible par :
\[ B(x)=x^2-3x+2. \]On factorise : \[ B(x)=(x-1)(x-2). \] La divisibilité impose \(A(1)=A(2)=0\).
En soustrayant les deux égalités :
\[ 7+a=0, \qquad a=-7. \]Puis :
\[ 1-7+b=0, \qquad b=6. \]Exercice 12 — Probabilité qu’une cible soit atteinte
Deux tireurs indépendants touchent une cible avec les probabilités :
\[ P(A)=\frac45, \qquad P(B)=\frac34. \]Calculer la probabilité que la cible soit atteinte.
Le calcul attendu suppose que les résultats des deux tirs sont indépendants : le résultat du tir de l’un ne modifie pas la probabilité du résultat du tir de l’autre.
On calcule l’événement complémentaire : « aucun tireur ne touche la cible ».
La probabilité que \(A\) manque est :
\[ 1-\frac45=\frac15. \]La probabilité que \(B\) manque est :
\[ 1-\frac34=\frac14. \]Par indépendance :
\[ P(\text{les deux manquent}) = \frac15\times\frac14 = \frac1{20}. \]Donc :
\[ P(\text{la cible est atteinte}) = 1-\frac1{20} = \frac{19}{20}. \]Remarque : sans l’hypothèse d’indépendance, les probabilités individuelles \(\frac45\) et \(\frac34\) ne suffisent pas pour déterminer la probabilité que la cible soit atteinte.
Exercice 13 — Tirage sans remise
Une urne contient \(y\) boules, dont trois blanches. La probabilité de tirer d’abord une blanche puis une rouge, sans remise, vaut :
\[ \frac14. \]Déterminer \(y\).
Après une boule blanche tirée, il reste \(y-1\) boules, dont \(y-3\) rouges.
Donc :
\[ 12(y-3)=y(y-1). \]Ainsi :
\[ y^2-13y+36=0. \]On factorise :
\[ y^2-13y+36 = (y-4)(y-9). \]Donc :
\[ y=4 \qquad\text{ou}\qquad y=9. \]Exercice 14 — Choix d’un sous-ensemble non vide
De combien de manières peut-on choisir un ou plusieurs élèves parmi six élèves ?
Pour chacun des six élèves, il existe deux possibilités : l’élève est choisi ou il ne l’est pas.
Le nombre total de choix est donc :
\[ 2\times2\times2\times2\times2\times2=2^6. \]Ce total comprend aussi le choix où aucun élève n’est retenu.
Le nombre total de sous-ensembles est :
\[ 2^6=64. \]On exclut l’ensemble vide, car il faut choisir au moins un élève :
\[ 64-1=63. \]Exercice 15 — Baisses successives
Le prix d’un article subit trois baisses successives de \(20\%\). Déterminer le pourcentage total de diminution.
Après une baisse de \(20\%\), le prix est multiplié par \(0{,}8\).
Après trois baisses successives, le prix est multiplié par :
\[ 0{,}8^3=0{,}512. \]Le prix final représente donc \(51{,}2\%\) du prix initial.
La diminution totale est :
\[ 100\%-51{,}2\% = 48{,}8\%. \]Conseil de travail
Cette épreuve exige surtout une lecture rigoureuse des propositions. Dans les exercices de logique, distinguer contraposée et négation. Dans les probabilités et les pourcentages successifs, traduire précisément chaque étape avant de calculer.
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