Concours ENSA Safi 2006 — Mathématiques
Concours d’accès en première année de l’ENSA de Safi.
Session du 25 juillet 2006 — Durée : 1 heure — 7 questions QCM de mathématiques.
Compétences et points clés
La partie mathématique de Safi ENSA 2006 est courte mais hétérogène : limites, formes trigonométriques, suite arithmétique et matrice triangulaire. Certaines questions de l’archive sortent du calcul d’intégrales sur un segment habituellement travaillé au lycée.
Prérequis à revoir : limites usuelles et définition du nombre dérivé; conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; sommes finies et puissances.
Rappels de cours utiles
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.
Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour la limite initiale, comparer les limites à gauche et à droite avant de chercher une valeur bilatérale. Pour les quotients complexes, vérifier les modules et le quadrant de l’argument. La question à bornes infinies doit être identifiée comme telle et distinguée des intégrales ordinaires sur un segment.
Cette page reproduit uniquement la partie mathématique du concours d’accès à l’ENSA Safi 2006.
Le sujet complet comporte également des questions de physique, de chimie et de langues.
Consignes de l’épreuve
- Une seule proposition est annoncée comme correcte pour chaque question.
- Réponse juste : \(+1\) point.
- Réponse fausse : \(-1\) point.
- Plus d’une réponse cochée : \(-1\) point.
- Absence de réponse : \(0\) point.
- Les réponses devaient être recopiées sur la feuille-réponse finale.
Énoncé — ENSA Safi 2006 — Mathématiques
Question 1 — Limite exponentielle
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} x\exp\left(\frac1{\tan x}\right). \]Question 2 — Limite avec cotangente
Calculer :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{x-\frac{\pi}{2}}. \]Question 3 — Écriture trigonométrique d’un nombre complexe
On considère :
\[ z_1=4\sqrt2(1-i). \]L’écriture trigonométrique de \(z_1\) est :
Question 4 — Quotient de deux nombres complexes
On considère :
\[ z_1=4\sqrt2(1-i) \]et :
\[ z_2=\frac12(1+i\sqrt3). \]L’écriture trigonométrique de :
\[ \frac{z_1}{z_2} \]est :
Question 5 — Suite arithmétique
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que :
\[ u_0=4 \qquad\text{et}\qquad u_{24}=100. \]Sa raison \(r\) est :
Question 6 — Intégrale de Gauss
Calculer :
\[ J= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac1{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\,dx. \]Question 7 — Déterminant d’une matrice triangulaire
On considère la matrice :
\[ M= \begin{pmatrix} 1&6&9\\ 0&2&8\\ 0&0&3 \end{pmatrix}. \]La valeur de son déterminant est :
Anomalie objective conservée
Question 1 : la limite bilatérale n’existe pas, mais aucune proposition ne donne ce résultat.
Conseil de travail
Le barème pénalise les réponses fausses. Il est donc préférable de vérifier soigneusement chaque calcul avant de cocher une proposition.
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