Correction Concours ENSA Safi 2006 — Mathématiques
Concours d’accès en première année de l’ENSA de Safi.
Session du 25 juillet 2006 — Correction détaillée des 7 questions de mathématiques.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématique du concours ENSA Safi 2006. Chaque réponse est justifiée par un calcul précis.
Correction détaillée
Question 1 — Limite exponentielle
Pour \(x\to0^+\), on a :
\[ \tan x\gt0 \qquad\text{et}\qquad \frac1{\tan x}\longrightarrow+\infty. \]Pour établir précisément la limite, posons :
\[ t=\frac1{\tan x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(t\to+\infty\) et :
\[ x=\arctan\left(\frac1t\right). \]Ainsi :
\[ x\exp\left(\frac1{\tan x}\right) = e^t\arctan\left(\frac1t\right). \]Or :
\[ t\arctan\left(\frac1t\right)\longrightarrow1. \]Donc :
\[ e^t\arctan\left(\frac1t\right) = \frac{e^t}{t} \left[ t\arctan\left(\frac1t\right) \right] \longrightarrow+\infty. \] Limite à gauchePour \(x\to0^-\), posons :
\[ t=-\frac1{\tan x}. \]Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ x=-\arctan\left(\frac1t\right). \]Par conséquent :
\[ x\exp\left(\frac1{\tan x}\right) = -e^{-t}\arctan\left(\frac1t\right). \]Comme :
\[ 0\le e^{-t}\arctan\left(\frac1t\right) \le \frac{e^{-t}}t, \]on obtient :
\[ \lim_{x\to0^-} x\exp\left(\frac1{\tan x}\right) = 0. \]Les deux limites latérales sont différentes.
Question 2 — Limite avec cotangente
Posons :
\[ h=x-\frac{\pi}{2}. \]Alors \(h\to0\) et :
\[ x=\frac{\pi}{2}+h. \]On a :
\[ \cot x = \cot\left(\frac{\pi}{2}+h\right) = -\tan h. \]Ainsi :
\[ \frac{\cot x}{x-\frac{\pi}{2}} = -\frac{\tan h}{h}. \]Or :
\[ \lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1. \]Question 3 — Écriture trigonométrique d’un nombre complexe
On considère :
\[ z_1=4\sqrt2(1-i). \]Son module est :
\[ |z_1| = 4\sqrt2\,|1-i| = 4\sqrt2\times\sqrt2 = 8. \]Un argument de \(1-i\) est :
\[ -\frac{\pi}{4}. \]Ainsi :
\[ z_1 = 8\left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right). \]Comme :
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]et :
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right), \]on obtient :
\[ z_1 = 8\left( \cos\frac{\pi}{4} -i\sin\frac{\pi}{4} \right). \]Question 4 — Quotient de deux nombres complexes
D’après la question précédente :
\[ z_1 = 8\left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right). \]D’autre part :
\[ z_2 = \frac12(1+i\sqrt3). \]Son module est :
\[ |z_2| = \frac12\sqrt{1+3} = 1. \]Un argument de \(z_2\) est :
\[ \frac{\pi}{3}. \]Ainsi :
\[ z_2 = \cos\frac{\pi}{3} +i\sin\frac{\pi}{3}. \]Le quotient a donc pour module :
\[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=8 \]et pour argument :
\[ -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} = -\frac{7\pi}{12}. \]Par conséquent :
\[ \frac{z_1}{z_2} = 8\left( \cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) +i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right) \right). \]Donc :
\[ \frac{z_1}{z_2} = 8\left( \cos\frac{7\pi}{12} -i\sin\frac{7\pi}{12} \right). \]Question 5 — Suite arithmétique
Pour \(n=24\) :
\[ u_{24}=u_0+24r. \]En utilisant \(u_0=4\) et \(u_{24}=100\) :
\[ 100=4+24r. \]Donc :
\[ 24r=96 \]et :
\[ r=4. \]Question 6 — Intégrale de Gauss
La fonction :
\[ x\longmapsto \frac1{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) \]est la densité de la loi normale centrée réduite. Son intégrale sur \(\mathbb R\) vaut \(1\).
Ainsi :
\[ J= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac1{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\,dx = 1. \]Question 7 — Déterminant d’une matrice triangulaire
Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux.
La matrice :
\[ M= \begin{pmatrix} 1&6&9\\ 0&2&8\\ 0&0&3 \end{pmatrix} \]est triangulaire supérieure.
Donc :
\[ \det(M) = 1\times2\times3 = 6. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | Aucune proposition exacte |
| Q2 | A |
| Q3 | A |
| Q4 | C |
| Q5 | A |
| Q6 | B |
| Q7 | B |
Anomalie objective du sujet
À la question 1, la limite à droite vaut \(+\infty\), tandis que la limite à gauche vaut \(0\). La limite bilatérale n’existe donc pas, mais aucune proposition ne donne ce résultat.
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