Concours ENSA Safi 2010 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Safi 2010 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année de l’ENSA de Safi — Session du 23 juillet 2010.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min — 20 questions QCM.

Compétences et points clés

Safi ENSA 2010 passe des comparaisons de croissance à des fonctions rationnelles et trigonométriques. Certaines questions sont regroupées en sous-questions : les définitions du bloc doivent être conservées pour éviter de lire une expression hors de son contexte.

Prérequis à revoir : limites, division et différence de fonctions; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; sinus, cosinus, angles et identités usuelles.

Rappels de cours utiles

Branches infinies. Pour une asymptote oblique, contrôler la limite de la différence entre la fonction et la droite candidate. La limite du quotient par x indique une direction, mais ne suffit pas à établir l’équation complète de l’asymptote. Les comportements aux deux infinis se traitent séparément lorsque le domaine le demande.

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Trigonométrie et signes. Les identités trigonométriques s’utilisent en conservant leur domaine de validité. Dans une expression contenant une tangente ou un quotient, exclure les zéros du dénominateur. Un angle s’interprète avec son quadrant ; une racine carrée donne une valeur positive ou nulle, ce qui peut imposer une valeur absolue.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour les limites à l’infini, identifier les facteurs dominants et le domaine avant de simplifier. Pour la période de la fonction trigonométrique, vérifier l’égalité des valeurs et les exclusions du dénominateur. Dans chaque bloc de sous-questions, garder la définition commune et séparer les propriétés demandées.

Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Safi 2010.

Le sujet porte sur les limites, les fonctions trigonométriques et exponentielles, les intégrales, les probabilités, les déterminants et les équations différentielles.

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Signalement concernant la question 14 : les propositions A et D satisfont toutes les deux l’équation différentielle donnée. Les choix originaux sont reproduits sans modification ; l’anomalie sera analysée dans la correction.

Consignes

• Une seule proposition est annoncée comme correcte pour chaque question.
• Réponse juste : \(+1\) point.
• Réponse fausse ou plusieurs réponses cochées : \(-1\) point.
• Absence de réponse : \(0\) point.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3.1Q3.2Q3.3 Q4Q5Q6.1Q6.2Q6.3 Q7Q8Q9Q10Q11 Q12Q13Q14Q15Q16

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2^x}{\ln(x^2+1)}. \]

A) \(+\infty\).

B) \(-\infty\).

C) \(1\).

D) \(-1\).

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Question 2

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur :

\[ \left]\frac12,+\infty\right[ \]

par :

\[ f(x)=\frac{-2x^3+3x}{(2x-1)^3}. \]

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]

A) \(+\infty\).

B) \(-\infty\).

C) \(-1\).

D) \(-\dfrac14\).

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Question 3.1

Énoncé

Soit :

\[ f(x)=\frac{\cos(3x)-\sin(3x)}{\cos(3x)+\sin(3x)}. \]

La période de \(f\) est :

A) \(\dfrac{2\pi}{3}\).

B) \(\dfrac{\pi}{3}\).

C) \(\dfrac{4\pi}{3}\).

D) \(\pi\).

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Question 3.2

Énoncé

Avec la même fonction \(f\), déterminer :

\[ f\left(x+\frac{\pi}{12}\right). \]

A) \(\tan(3x)\).

B) \(\operatorname{cotan}(6x)\).

C) \(-\tan(3x)\).

D) \(\tan(6x)\).

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Question 3.3

Énoncé

La dérivée de :

\[ f(x)=\frac{\cos(3x)-\sin(3x)}{\cos(3x)+\sin(3x)} \]

est :

A) \(\displaystyle-\frac{6}{\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr)^2}\).

B) \(\displaystyle-\frac{6}{\cos^2(3x)}\).

C) \(\displaystyle-\frac{\tan(3x)}{\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr)^2}\).

D) \(\displaystyle\frac{3}{\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr)^2}\).

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Question 4

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

\[ e^{2x}-2e^x-3=0. \]

A) \(S=\{\ln3,\ln2\}\).

B) \(S=\{\ln1,0\}\).

C) \(S=\{\ln3,2\}\).

D) \(S=\{\ln3\}\).

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Question 5

Énoncé

Déterminer l’ensemble des solutions réelles de :

\[ (e^x-1)(1-x)\ge0. \]

A) \(]0,+\infty[\).

B) \([1,2]\).

C) \(]-\infty,1]\).

D) \([0,1]\).

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Question 6.1

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par :

\[ u_n= \int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\,dx. \]

Calculer :

\[ u_0+u_1. \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(-1\).

D) \(2\).

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Question 6.2

Énoncé

Pour tout entier naturel non nul \(n\), calculer :

\[ u_n+u_{n+1}. \]

A) \(\displaystyle\frac{1-e^{-n}}{n}\).

B) \(\displaystyle\frac{1-e^{-2n}}{2n}\).

C) \(\displaystyle\frac{2+e^{-n}}{n}\).

D) \(\displaystyle\frac{1-e^{-n}}{2n}\).

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Question 6.3

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]

A) \(+\infty\).

B) \(1\).

C) \(2\).

D) \(0\).

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Question 7

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^2(x+2)e^{-x}\,dx. \]

A) \(5e^{-2}-3\).

B) \(-5e^{-2}+1\).

C) \(-5e^{-2}\).

D) \(-5e^{-2}+3\).

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Question 8

Énoncé

Soit la fonction définie et dérivable sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=3\ln x-2x+5. \]

Déterminer l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(1\).

A) \(y=x+2\).

B) \(y=-x+4\).

C) \(y=3x+1\).

D) \(y=x+3\).

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Question 9

Énoncé

Calculer le déterminant :

\[ \begin{vmatrix} a-b-c & 2a & 2a\\ 2b & b-c-a & 2b\\ a+b+c & a+b+c & a+b+c \end{vmatrix}. \]

A) \((a+b+c)(2a-b)\).

B) \((a+b+c)^2\).

C) \((a+b+c)(2a-c)\).

D) \((a+b+c)^3\).

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Question 10

Énoncé

Le nombre \(-3\) est solution de l’équation :

A) \(\ln x=-\ln3\).

B) \(\ln(e^x)=-3\).

C) \(e^{\ln x}=-3\).

D) \(e^x=-3\).

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Question 11

Énoncé

Les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants et vérifient :

\[ P(A)=0{,}5, \qquad P(B)=0{,}2. \]

Calculer :

\[ P(A\cup B). \]

A) \(0{,}1\).

B) \(0{,}7\).

C) \(0{,}6\).

D) On ne peut pas savoir.

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Question 12

Énoncé

Dans un magasin, \(50\%\) des cahiers ont une reliure spirale et \(75\%\) sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, \(40\%\) ont une reliure spirale.

Saïd choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu’il soit à grands carreaux est :

A) \(0{,}3\).

B) \(0{,}6\).

C) \(0{,}5\).

D) \(0{,}75\).

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Question 13

Énoncé

On note \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\gt0\).

Calculer :

\[ P(1\le X\le3). \]

A) \(e^{-\lambda}-e^{-3\lambda}\).

B) \(e^{-3\lambda}-e^{-\lambda}\).

C) \(\displaystyle\frac{e^{-\lambda}}{e^{-3\lambda}}\).

D) \(\displaystyle\frac{e^{-3\lambda}}{e^{-\lambda}}\).

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Question 14

Énoncé

L’équation différentielle :

\[ y'+y=e^{-x} \]

admet pour solution la fonction définie par :

A) \(u(x)=(x-1)e^{-x}\).

B) \(v(x)=xe^{-x}+1\).

C) \(u(x)=e^{-x}\).

D) \(u(x)=xe^{-x}\).

Remarque : les propositions A et D vérifient toutes les deux l’équation différentielle telle qu’elle est imprimée. Cette anomalie sera expliquée dans la correction.

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Question 15

Énoncé

On considère l’équation différentielle :

\[ y''+25y=0. \]

Déterminer la solution \(f\) vérifiant :

\[ f(\pi)=-\sqrt3, \qquad f'(\pi)=5. \]

A) \(\sqrt3\cos(5x)-\sin(5x)\).

B) \(\cos(15x)-\sin(5x)\).

C) \(\cos(5x)+\sqrt3\sin(5x)\).

D) \(\sqrt3\cos(10x)-\sin(10x)\).

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Question 16

Énoncé

Pour un réel fixé \(k\), on considère :

\[ f_k(x)=(x+k)e^{-x}. \]

La fonction \(f_k\) admet un maximum pour :

A) \(x=1-k\).

B) \(x=1+k\).

C) \(x=1-2k\).

D) \(x=-2k\).

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Conseil de travail

Traiter d’abord les questions directes, puis revenir aux suites d’intégrales et aux équations différentielles. Pour les QCM anciens, vérifier chaque proposition indépendamment lorsque l’énoncé présente une anomalie possible.

Ressources liées

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