Correction Concours ENSA Safi 2010 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année de l’ENSA de Safi — Session du 23 juillet 2010.
Correction détaillée et vérifiée des 20 questions QCM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Safi 2010.
Chaque question est reprise avec les propositions originales, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Croissance comparée
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{2^x}{\ln(x^2+1)}. \]Pour \(x\gt0\), on peut majorer le logarithme par une expression linéaire, puis utiliser la croissance de l’exponentielle.
Pour \(x\gt0\) :
\[ x^2+1\le(x+1)^2. \]Donc :
\[ \ln(x^2+1)\le2\ln(x+1). \]Or \(\ln(1+x)\le x\), donc :
\[ 0\lt\ln(x^2+1)\le2x. \]Ainsi :
\[ \frac{2^x}{\ln(x^2+1)} \ge \frac{2^x}{2x}. \]Comme :
\[ \frac{2^x}{x}\longrightarrow+\infty, \]on obtient :
\[ \frac{2^x}{\ln(x^2+1)} \longrightarrow+\infty. \]Question 2 — Limite d’une fraction rationnelle
On considère :
\[ f(x)=\frac{-2x^3+3x}{(2x-1)^3}. \]Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Pour calculer la limite d’une fraction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur ont le même degré, on peut diviser les deux par la plus grande puissance de \(x\).
On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^3\) :
\[ f(x) = \frac{-2+\frac{3}{x^2}} {\left(2-\frac1x\right)^3}. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ -2+\frac{3}{x^2}\longrightarrow-2 \]et :
\[ \left(2-\frac1x\right)^3\longrightarrow2^3=8. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) = \frac{-2}{8} = -\frac14. \]Question 3.1 — Période d’une fonction trigonométrique
Soit :
\[ f(x)=\frac{\cos(3x)-\sin(3x)}{\cos(3x)+\sin(3x)}. \]Déterminer sa période.
Un réel \(T\gt0\) est une période de \(f\) lorsque :
\[ f(x+T)=f(x) \]pour tout \(x\) où les deux expressions sont définies.
Prenons :
\[ T=\frac{\pi}{3}. \]Alors :
\[ 3(x+T)=3x+\pi. \]Or :
\[ \cos(3x+\pi)=-\cos(3x) \]et :
\[ \sin(3x+\pi)=-\sin(3x). \]Donc :
\[ f\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{-\cos(3x)+\sin(3x)} {-\cos(3x)-\sin(3x)}. \]En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(-1\) :
\[ f\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos(3x)-\sin(3x)} {\cos(3x)+\sin(3x)} = f(x). \]Ainsi, \(\frac{\pi}{3}\) est une période de \(f\). C’est la plus petite période positive proposée.
Question 3.2 — Translation de l’argument
Avec la même fonction, calculer :
\[ f\left(x+\frac{\pi}{12}\right). \]La cotangente est définie par :
\[ \operatorname{cotan}(u)=\frac{\cos u}{\sin u} = \frac1{\tan u} \]lorsque les expressions sont définies.
On remplace \(x\) par \(x+\frac{\pi}{12}\) :
\[ 3\left(x+\frac{\pi}{12}\right) = 3x+\frac{\pi}{4}. \]Ainsi :
\[ f\left(x+\frac{\pi}{12}\right) = \frac{ \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) }{ \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) }. \]En utilisant les formules d’addition :
\[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos(3x)-\sin(3x)}{\sqrt2}, \] \[ \sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin(3x)+\cos(3x)}{\sqrt2}. \]Le numérateur devient :
\[ -\sqrt2\,\sin(3x), \]et le dénominateur :
\[ \sqrt2\,\cos(3x). \]Par conséquent :
\[ f\left(x+\frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} = -\tan(3x). \]Question 3.3 — Dérivée d’un quotient trigonométrique
Calculer la dérivée de :
\[ f(x)=\frac{\cos(3x)-\sin(3x)}{\cos(3x)+\sin(3x)}. \]On applique la formule de dérivation d’un quotient.
Posons :
\[ N(x)=\cos(3x)-\sin(3x), \qquad D(x)=\cos(3x)+\sin(3x). \]Alors :
\[ N'(x)=-3\sin(3x)-3\cos(3x)=-3D(x), \] \[ D'(x)=-3\sin(3x)+3\cos(3x)=3N(x). \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{N'D-ND'}{D^2} = \frac{-3D^2-3N^2}{D^2}. \]Or :
\[ D^2+N^2 = (\cos3x+\sin3x)^2+(\cos3x-\sin3x)^2 = 2. \]Ainsi :
\[ f'(x) = -\frac6{(\cos(3x)+\sin(3x))^2}. \]Question 4 — Équation exponentielle
Résoudre :
\[ e^{2x}-2e^x-3=0. \]On pose \(t=e^x\), avec \(t\gt0\).
L’équation devient :
\[ t^2-2t-3=0. \]On factorise :
\[ (t-3)(t+1)=0. \]Comme \(t\gt0\), seule la solution \(t=3\) est admise. Donc :
\[ e^x=3, \qquad x=\ln3. \]Ainsi :
\[ S=\{\ln3\}. \]Question 5 — Inéquation exponentielle
Résoudre :
\[ (e^x-1)(1-x)\ge0. \]Le facteur \(e^x-1\) a le même signe que \(x\).
On distingue les intervalles déterminés par \(0\) et \(1\).
- Si \(x\lt0\), alors \(e^x-1\lt0\) et \(1-x\gt0\) : le produit est négatif.
- Si \(0\le x\le1\), les deux facteurs sont positifs ou nuls : le produit est positif ou nul.
- Si \(x\gt1\), le premier facteur est positif et le second négatif : le produit est négatif.
Donc :
\[ S=[0,1]. \]Question 6.1 — Somme de deux intégrales
On considère :
\[ u_n= \int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\,dx. \]Calculer \(u_0+u_1\).
On additionne les intégrandes avant d’intégrer.
Donc :
\[ u_0+u_1 = \int_0^1 1\,dx = 1. \]Question 6.2 — Relation entre deux termes consécutifs
Pour \(n\ge1\), calculer :
\[ u_n+u_{n+1}. \]On additionne les deux intégrandes.
On factorise :
\[ e^{-nx}+e^{-(n+1)x} = e^{-nx}(1+e^{-x}). \]Donc :
\[ u_n+u_{n+1} = \int_0^1 e^{-nx}\,dx. \]Ainsi :
\[ u_n+u_{n+1} = \left[-\frac1n e^{-nx}\right]_0^1 = \frac{1-e^{-n}}{n}. \]Question 6.3 — Limite de la suite d’intégrales
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]Pour \(x\in[0,1]\), le dénominateur est supérieur ou égal à \(1\).
On a :
\[ 0\le \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}} \le e^{-nx}. \]Donc :
\[ 0\le u_n\le\int_0^1e^{-nx}\,dx = \frac{1-e^{-n}}{n}. \]Or :
\[ \frac{1-e^{-n}}{n}\longrightarrow0. \]Le théorème d’encadrement donne :
\[ u_n\longrightarrow0. \]Question 7 — Intégration par parties
Calculer :
\[ \int_0^2(x+2)e^{-x}\,dx. \]Une primitive de \((x+2)e^{-x}\) est \(-(x+3)e^{-x}\).
Donc :
\[ I = -5e^{-2}-(-3) = 3-5e^{-2}. \]Ainsi :
\[ I=-5e^{-2}+3. \]Question 8 — Équation d’une tangente
On considère :
\[ f(x)=3\ln x-2x+5. \]Déterminer la tangente au point d’abscisse \(1\).
La tangente en \(x_0\) a pour équation : \[ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). \]
On a :
\[ f'(x)=\frac3x-2. \]Donc :
\[ f'(1)=1. \]De plus :
\[ f(1)=3\ln1-2+5=3. \]L’équation de la tangente est :
\[ y=1(x-1)+3=x+2. \]Question 9 — Calcul d’un déterminant
Calculer :
\[ \begin{vmatrix} a-b-c & 2a & 2a\\ 2b & b-c-a & 2b\\ a+b+c & a+b+c & a+b+c \end{vmatrix}. \]Les notations \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\) désignent respectivement la première, la deuxième et la troisième colonne.
Remplacer une colonne par cette colonne moins une autre ne change pas la valeur du déterminant.
Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des nombres situés sur sa diagonale principale.
Posons :
\[ s=a+b+c. \]Effectuons les opérations suivantes sur les colonnes :
\[ C_1\leftarrow C_1-C_3, \qquad C_2\leftarrow C_2-C_3. \]Le déterminant devient :
\[ \begin{vmatrix} -s & 0 & 2a\\ 0 & -s & 2b\\ 0 & 0 & s \end{vmatrix}. \]La matrice obtenue est triangulaire. Son déterminant vaut donc :
\[ (-s)(-s)s=s^3. \]Comme \(s=a+b+c\), on obtient :
\[ \det=(a+b+c)^3. \]Question 10 — Domaine du logarithme et exponentielle
Le nombre \(-3\) est solution de laquelle des équations suivantes ?
Pour tout réel \(x\), on a \(\ln(e^x)=x\). En revanche, \(\ln x\) exige \(x\gt0\).
Pour \(x=-3\) :
\[ \ln(e^{-3})=-3. \]La proposition B est donc vérifiée.
La proposition A n’est pas définie pour \(x=-3\). La proposition C n’est également définie que pour \(x\gt0\), et \(e^x\gt0\) rend la proposition D impossible.
Question 11 — Union de deux événements indépendants
On sait :
\[ P(A)=0{,}5, \qquad P(B)=0{,}2, \]et \(A\) et \(B\) sont indépendants. Calculer \(P(A\cup B)\).
Pour deux événements indépendants : \[ P(A\cap B)=P(A)P(B). \] Puis : \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]
Donc :
\[ P(A\cup B) = 0{,}5+0{,}2-0{,}1 = 0{,}6. \]Question 12 — Probabilité conditionnelle
On note \(S\) l’événement « reliure spirale » et \(G\) l’événement « grands carreaux ».
\[ P(S)=0{,}50,\qquad P(G)=0{,}75,\qquad P(S\mid G)=0{,}40. \]Calculer \(P(G\mid S)\).
La notation \(P(S\mid G)\) signifie : probabilité que le cahier ait une reliure spirale sachant qu’il est à grands carreaux.
On utilise :
\[ P(S\mid G) = \frac{P(S\cap G)}{P(G)} \]et :
\[ P(G\mid S) = \frac{P(S\cap G)}{P(S)}. \]La relation :
\[ P(S\mid G) = \frac{P(S\cap G)}{P(G)} \]donne :
\[ P(S\cap G) = P(S\mid G)P(G). \]Ainsi :
\[ P(S\cap G) = 0{,}40\times0{,}75 = 0{,}30. \]Par conséquent :
\[ P(G\mid S) = \frac{P(S\cap G)}{P(S)} = \frac{0{,}30}{0{,}50} = 0{,}60. \]Question 13 — Loi exponentielle
La variable aléatoire \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\gt0\). Calculer :
\[ P(1\le X\le3). \]Pour une variable aléatoire \(X\) suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\gt0\), on a, pour tout \(t\ge0\) :
\[ P(X\ge t)=e^{-\lambda t}. \]Comme cette loi est continue, la probabilité que \(X\) prenne exactement une valeur donnée est nulle.
L’événement \(\{1\le X\le3\}\) correspond aux valeurs supérieures ou égales à \(1\), dont on retire celles strictement supérieures à \(3\).
\[ P(1\le X\le3) = P(X\ge1)-P(X\gt3). \]La loi étant continue :
\[ P(X\gt3)=P(X\ge3). \]Ainsi :
\[ P(1\le X\le3) = e^{-\lambda} - e^{-3\lambda}. \]Question 14 — Équation différentielle du premier ordre
Déterminer les fonctions proposées qui vérifient :
\[ y'+y=e^{-x}. \]Pour vérifier qu’une fonction proposée est solution d’une équation différentielle, on calcule sa dérivée puis on remplace \(y\) et \(y'\) dans l’équation.
La lettre \(C\) utilisée dans une solution générale désigne une constante réelle quelconque.
Proposition A. Pour :
\[ u(x)=(x-1)e^{-x}, \]on a :
\[ u'(x)=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=(2-x)e^{-x}. \]Donc :
\[ u'(x)+u(x) = (2-x)e^{-x}+(x-1)e^{-x} = e^{-x}. \]La proposition A est correcte.
Proposition B. Pour :
\[ v(x)=xe^{-x}+1, \]on a :
\[ v'(x)=(1-x)e^{-x}. \]Ainsi :
\[ v'(x)+v(x) = e^{-x}+1. \]La proposition B est fausse.
Proposition C. Pour :
\[ u(x)=e^{-x}, \]on a :
\[ u'(x)+u(x) = -e^{-x}+e^{-x} = 0. \]La proposition C est fausse.
Proposition D. Pour :
\[ u(x)=xe^{-x}, \]on a :
\[ u'(x)=(1-x)e^{-x}. \]Donc :
\[ u'(x)+u(x) = (1-x)e^{-x}+xe^{-x} = e^{-x}. \]La proposition D est également correcte.
Plus généralement, les solutions de l’équation sont :
\[ y(x)=(x+C)e^{-x}, \qquad C\in\mathbb R. \]Question 15 — Équation différentielle du second ordre
Résoudre :
\[ y''+25y=0 \]avec :
\[ f(\pi)=-\sqrt3, \qquad f'(\pi)=5. \]La solution générale de l’équation :
\[ y''+25y=0 \]est :
\[ y(x)=A\cos(5x)+B\sin(5x), \]où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles.
On écrit :
\[ f(x)=A\cos(5x)+B\sin(5x). \]Comme :
\[ \cos(5\pi)=-1 \qquad\text{et}\qquad \sin(5\pi)=0, \]la condition \(f(\pi)=-\sqrt3\) donne :
\[ -A=-\sqrt3, \qquad A=\sqrt3. \]La dérivée est :
\[ f'(x) = -5A\sin(5x)+5B\cos(5x). \]Pour \(x=\pi\) :
\[ f'(\pi) = -5B. \]La condition \(f'(\pi)=5\) donne :
\[ -5B=5, \qquad B=-1. \]Par conséquent :
\[ f(x) = \sqrt3\cos(5x)-\sin(5x). \]Question 16 — Maximum d’une fonction
Pour un réel \(k\), on considère :
\[ f_k(x)=(x+k)e^{-x}. \]Déterminer l’abscisse de son maximum.
On étudie le signe de la dérivée.
On dérive :
\[ f_k'(x) = e^{-x}-(x+k)e^{-x}. \]Donc :
\[ f_k'(x) = e^{-x}(1-k-x). \]Comme \(e^{-x}\gt0\), le signe de \(f_k'(x)\) est celui de \(1-k-x\).
- \(f_k'(x)\gt0\) si \(x\lt1-k\) ;
- \(f_k'(x)=0\) si \(x=1-k\) ;
- \(f_k'(x)\lt0\) si \(x\gt1-k\).
La fonction atteint donc son maximum pour :
\[ x=1-k. \]Conseil de travail
Cette épreuve demande surtout une bonne maîtrise des transformations algébriques et des résultats usuels. Pour les anciennes épreuves QCM, il faut vérifier chaque proposition indépendamment : une erreur d’impression peut conduire à plusieurs réponses mathématiquement valides.
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