Concours ENSA Tanger 2009 — Énoncé de mathématiques
Concours d’entrée en 1ère année du cycle préparatoire — Session du 24 juillet 2009.
Épreuve de mathématiques — 25 questions QCM — Calculatrice non autorisée.
Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2009.
Le sujet porte sur les suites, les limites, les intégrales, la géométrie, les espaces vectoriels et les matrices.
Consignes
- L’épreuve comporte quatre pages et une fiche-réponse à remettre au surveillant.
- La calculatrice est interdite.
- Chaque question propose trois réponses : A, B et C.
- Une seule proposition est normalement attendue pour chaque question.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Soit \(L\) une liste d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est \(-22\) et le dernier terme est noté \(x\) :
\[ L=\{-22,\ldots,x\}. \]Si la somme de tous les éléments de \(L\) est égale à \(72\), alors :
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^n e^{\,n/\pi}}{\pi^{n+1}}. \]Question 3
On pose :
\[ X_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{e^{k+1}}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}X_n. \]Question 4
On considère un carré \(C_0\) dont les côtés mesurent \(a\) cm. Soit \(C_1\) le carré inscrit dans \(C_0\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_0\).
On poursuit de la même manière et l’on forme une famille infinie de carrés \((C_i)\), telle que \(C_{i+1}\) est le carré inscrit dans \(C_i\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_i\).
La somme totale des périmètres des carrés \(C_i\) est égale à :
Question 5
On pose :
\[ w_n= \sum_{p=2}^{n} \frac1{p^2-1}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}w_n. \]Question 6
Soit \((u_n)_{n\ge0}\) une suite numérique à termes strictement positifs vérifiant :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\le k \qquad\text{pour tout }n\in\mathbb N, \]où \(k\) est une constante strictement inférieure à \(1\).
On définit :
\[ V_n=\sum_{j=0}^{n}u_j. \]On considère les assertions suivantes :
\[ \text{(I)}\quad (u_n)\ \text{est bornée}, \] \[ \text{(II)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=0, \] \[ \text{(III)}\quad (V_n)\ \text{est convergente}. \]Laquelle ou lesquelles sont vraies ?
Question 7
Calculer :
\[ \int_0^{\pi/3} \frac{dx}{\bigl(9+\tan^2x\bigr)\cos^2x}. \]Question 8
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\arctan(\pi x)}{x}. \]Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin^2(3x)}{3x^2}. \]Question 10
Calculer :
\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_{\pi/4}^{\pi/4+h} \frac{dx}{\tan x}. \]Question 11
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\sin(\sqrt\pi\,x)} {1-\cos(\pi x)}. \]Question 12
Calculer :
\[ \int_{-2}^{0} \frac{dx}{x^2+6x+12}. \]Question 13
Calculer la surface comprise entre la courbe de :
\[ f(x)=\frac1{x(1+\ln x)} \]et les droites :
\[ x=1 \qquad\text{et}\qquad x=e^2. \]Question 14
Soit \((U_n)_{n\ge3}\) la suite définie par :
\[ U_n= \int_e^n \frac{dx}{x(\ln x)^3}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}U_n. \]Question 15
On considère :
\[ g(x)= \int_{\sqrt x}^{x^2} e^{u^2}\,du. \]Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x=1\).
Question 16
Une primitive de :
\[ \frac{\tan(\sqrt x)}{\sqrt x} \]est :
Question 17
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{3n-1} \right)^{2n-1}. \]Question 18
Soit \(B=\{i,j,k\}\) une base de \(\mathbb R^3\). On considère les familles :
\[ E=\{i+j,\ i+k,\ j+k\}, \] \[ N=\{i,\ j+k,\ i+j+k\}, \] \[ S=\{i,\ 2j,\ 3k\}, \] \[ A=\{i,\ 2j-k,\ j\}. \]Laquelle ou lesquelles de ces familles forment une base de \(\mathbb R^3\) ?
Question 19
Soit :
\[ S= \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y-z=0\}. \]Lequel des systèmes suivants forme une base de \(S\) ?
Question 20
On considère les ensembles :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid y=0\}, \] \[ N=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=1\}, \] \[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=2\}, \] \[ A=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=0\}. \]Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?
Question 21
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2=A+3I_n, \]où \(I_n\) est la matrice identité.
On considère :
\[ \text{(I)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=3I_n-A, \] \[ \text{(III)}\quad \det A\ne0, \] \[ \text{(IV)}\quad A^{-1}=\frac13(A-I_n). \]Alors :
Question 22
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2-A-I_n=0_n, \]où \(I_n\) est la matrice identité et \(0_n\) la matrice nulle.
Alors :
\[ \det(A-I_n)= \]Question 23
Soit \(A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}\) une matrice carrée d’ordre \(n\).
Sa trace est définie par :
\[ \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}. \]Calculer :
\[ \operatorname{Tr}(A+I_n). \]Question 24
On sait que :
\[ \int_0^x h(t)\,dt = x\ln(1+x^2). \]Calculer :
\[ h(1). \]Question 25
Une primitive de :
\[ \sin(\ln x) \]est :
Conseil de travail
Cette épreuve contient plusieurs notions d’algèbre linéaire. Pour les bases, les sous-espaces, les déterminants et la trace, revenir aux définitions avant d’examiner les propositions.
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