Concours ENSA Tanger 2009 — Énoncé de mathématiques
Concours d’entrée en 1ère année du cycle préparatoire — Session du 24 juillet 2009.
Épreuve de mathématiques — 25 questions QCM — Calculatrice non autorisée.
Compétences et points clés
Tanger ENSA 2009 fait une large place aux sommes et suites avant les intégrales et l’algèbre. Les anomalies déjà signalées dans deux QCM doivent être conservées dans la lecture : l’absence d’un choix correct ne dispense pas de justifier le calcul.
Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; inégalités, limites de suites et comptage des termes; dérivation des fonctions usuelles et composées.
Rappels de cours utiles
Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.
Encadrement et comparaison. Pour étudier une somme dépendant d’un entier, encadrer chaque terme, puis multiplier les bornes obtenues par le nombre exact de termes. Le théorème des gendarmes s’applique lorsque les deux bornes convergent vers la même limite. Le sens d’une inégalité doit être contrôlé lors d’une division.
Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Dans les sommes, identifier la raison géométrique ou la décomposition télescopique. Pour une suite positive contrôlée par un rapport, garder la borne de ce rapport. Dans l’aire sous la fonction logarithmique, vérifier le signe sur l’intervalle et reconnaître la structure d’une primitive composée.
Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2009.
Le sujet porte sur les suites, les limites, les intégrales, la géométrie, les espaces vectoriels et les matrices.
Consignes
- L’épreuve comporte quatre pages et une fiche-réponse à remettre au surveillant.
- La calculatrice est interdite.
- Chaque question propose trois réponses : A, B et C.
- Une seule proposition est normalement attendue pour chaque question.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Soit \(L\) une liste d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est \(-22\) et le dernier terme est noté \(x\) :
\[ L=\{-22,\ldots,x\}. \]Si la somme de tous les éléments de \(L\) est égale à \(72\), alors :
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^n e^{\,n/\pi}}{\pi^{n+1}}. \]Question 3
On pose :
\[ X_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{e^{k+1}}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}X_n. \]Question 4
On considère un carré \(C_0\) dont les côtés mesurent \(a\) cm. Soit \(C_1\) le carré inscrit dans \(C_0\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_0\).
On poursuit de la même manière et l’on forme une famille infinie de carrés \((C_i)\), telle que \(C_{i+1}\) est le carré inscrit dans \(C_i\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_i\).
La somme totale des périmètres des carrés \(C_i\) est égale à :
Question 5
On pose :
\[ w_n= \sum_{p=2}^{n} \frac1{p^2-1}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}w_n. \]Question 6
Soit \((u_n)_{n\ge0}\) une suite numérique à termes strictement positifs vérifiant :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\le k \qquad\text{pour tout }n\in\mathbb N, \]où \(k\) est une constante strictement inférieure à \(1\).
On définit :
\[ V_n=\sum_{j=0}^{n}u_j. \]On considère les assertions suivantes :
\[ \text{(I)}\quad (u_n)\ \text{est bornée}, \] \[ \text{(II)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=0, \] \[ \text{(III)}\quad (V_n)\ \text{est convergente}. \]Laquelle ou lesquelles sont vraies ?
Question 7
Calculer :
\[ \int_0^{\pi/3} \frac{dx}{\bigl(9+\tan^2x\bigr)\cos^2x}. \]Question 8
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\arctan(\pi x)}{x}. \]Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin^2(3x)}{3x^2}. \]Question 10
Calculer :
\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_{\pi/4}^{\pi/4+h} \frac{dx}{\tan x}. \]Question 11
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\sin(\sqrt\pi\,x)} {1-\cos(\pi x)}. \]Question 12
Calculer :
\[ \int_{-2}^{0} \frac{dx}{x^2+6x+12}. \]Question 13
Calculer la surface comprise entre la courbe de :
\[ f(x)=\frac1{x(1+\ln x)} \]et les droites :
\[ x=1 \qquad\text{et}\qquad x=e^2. \]Question 14
Soit \((U_n)_{n\ge3}\) la suite définie par :
\[ U_n= \int_e^n \frac{dx}{x(\ln x)^3}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}U_n. \]Question 15
On considère :
\[ g(x)= \int_{\sqrt x}^{x^2} e^{u^2}\,du. \]Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x=1\).
Question 16
Une primitive de :
\[ \frac{\tan(\sqrt x)}{\sqrt x} \]est :
Question 17
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{3n-1} \right)^{2n-1}. \]Question 18
Soit \(B=\{i,j,k\}\) une base de \(\mathbb R^3\). On considère les familles :
\[ E=\{i+j,\ i+k,\ j+k\}, \] \[ N=\{i,\ j+k,\ i+j+k\}, \] \[ S=\{i,\ 2j,\ 3k\}, \] \[ A=\{i,\ 2j-k,\ j\}. \]Laquelle ou lesquelles de ces familles forment une base de \(\mathbb R^3\) ?
Question 19
Soit :
\[ S= \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y-z=0\}. \]Lequel des systèmes suivants forme une base de \(S\) ?
Question 20
On considère les ensembles :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid y=0\}, \] \[ N=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=1\}, \] \[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=2\}, \] \[ A=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=0\}. \]Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?
Question 21
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2=A+3I_n, \]où \(I_n\) est la matrice identité.
On considère :
\[ \text{(I)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=3I_n-A, \] \[ \text{(III)}\quad \det A\ne0, \] \[ \text{(IV)}\quad A^{-1}=\frac13(A-I_n). \]Alors :
Question 22
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2-A-I_n=0_n, \]où \(I_n\) est la matrice identité et \(0_n\) la matrice nulle.
Alors :
\[ \det(A-I_n)= \]Question 23
Soit \(A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}\) une matrice carrée d’ordre \(n\).
Sa trace est définie par :
\[ \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}. \]Calculer :
\[ \operatorname{Tr}(A+I_n). \]Question 24
On sait que :
\[ \int_0^x h(t)\,dt = x\ln(1+x^2). \]Calculer :
\[ h(1). \]Question 25
Une primitive de :
\[ \sin(\ln x) \]est :
Conseil de travail
Cette épreuve contient plusieurs notions d’algèbre linéaire. Pour les bases, les sous-espaces, les déterminants et la trace, revenir aux définitions avant d’examiner les propositions.
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