Correction Concours ENSA Tanger 2009 — Mathématiques
Concours d’entrée en 1ère année du cycle préparatoire — Session du 24 juillet 2009.
Correction détaillée et vérifiée des 25 questions QCM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2009.
Chaque question est reprise avec les propositions originales, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.
- Q10 : la limite vaut \(1\), valeur absente des choix proposés.
- Q11 : la limite bilatérale n’existe pas ; aucune proposition ne convient.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Somme d’entiers consécutifs
La liste commence par \(-22\), se termine par \(x\) et la somme de ses termes vaut \(72\).
Le nombre de termes est \(x+23\), et la somme vaut : \[ \frac{(x+23)(x-22)}2. \]
Donc :
\[ (x+23)(x-22)=144, \] \[ x^2+x-506=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=1+4\times506=2025=45^2. \]Les solutions sont \(22\) et \(-23\). Comme le dernier terme doit être au moins égal à \(-22\), on retient :
\[ x=22. \]Question 2 — Suite géométrique alternée
On écrit le terme sous la forme d’une suite géométrique.
Or :
\[ 0\lt\frac{e^{1/\pi}}{\pi}\lt1. \]Donc la puissance tend vers \(0\), et ainsi :
\[ \frac{(-1)^n e^{n/\pi}}{\pi^{n+1}} \longrightarrow0. \]Question 3 — Somme géométrique
On pose :
\[ X_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k}{e^{k+1}}. \]Calculer sa limite.
La somme est géométrique de raison \(\dfrac2e\).
Comme \(0\lt\dfrac2e\lt1\), on obtient :
\[ \lim_{n\to+\infty}X_n = \frac1e \cdot \frac{\frac2e}{1-\frac2e}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}X_n = \frac2{e(e-2)}. \]Question 4 — Somme des périmètres de carrés emboîtés
Le carré \(C_0\) a pour côté \(a\). Chaque carré suivant a ses sommets aux milieux des côtés du précédent.
Le côté est multiplié par \(\dfrac1{\sqrt2}\) à chaque étape.
Le périmètre de \(C_0\) vaut \(4a\). Les périmètres forment une suite géométrique de raison :
\[ q=\frac1{\sqrt2}. \]La somme totale vaut :
\[ S = \frac{4a}{1-\frac1{\sqrt2}}. \]En rationalisant :
\[ S = 4a(2+\sqrt2). \]Question 5 — Somme télescopique
On utilise : \[ \frac1{p^2-1} = \frac12\left(\frac1{p-1}-\frac1{p+1}\right). \]
Après simplification :
\[ w_n = \frac12 \left( 1+\frac12-\frac1n-\frac1{n+1} \right). \]Donc :
\[ w_n\longrightarrow\frac12\left(1+\frac12\right)=\frac34. \]Question 6 — Suite dominée par une suite géométrique
La suite positive \((u_n)\) vérifie :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\le k\lt1. \]On pose \(V_n=\sum_{j=0}^{n}u_j\). Déterminer les assertions vraies.
La relation donne \(u_n\le u_0k^n\).
Comme les termes sont positifs :
\[ u_n\le u_0k^n. \]Donc \((u_n)\) est bornée et :
\[ u_n\longrightarrow0. \]De plus :
\[ 0\le V_n \le u_0\sum_{j=0}^{n}k^j \le \frac{u_0}{1-k}. \]La suite \((V_n)\) est croissante et majorée, donc convergente.
Les trois assertions sont vraies.
Question 7 — Intégrale avec la tangente
On pose \(t=\tan x\), donc :
\[ dt=\frac{dx}{\cos^2x}. \]La notation \(\arctan u\) désigne l’unique angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente est égale à \(u\).
Les bornes deviennent :
\[ t=0 \qquad\text{et}\qquad t=\sqrt3. \]Donc :
\[ I = \int_0^{\sqrt3}\frac{dt}{9+t^2}. \]Ainsi :
\[ I = \frac13 \left[ \arctan\left(\frac t3\right) \right]_0^{\sqrt3}. \]Or :
\[ \arctan\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{\pi}{6}. \]Donc :
\[ I=\frac{\pi}{18}. \]Question 8 — Limite avec \(\arctan\)
La notation \(\arctan u\) désigne l’unique angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente vaut \(u\).
On utilise :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\arctan u}{u}=1. \]Lorsque \(x\to0^+\), on obtient :
\[ \frac{\arctan(\pi x)}x\longrightarrow\pi. \]Question 9 — Limite trigonométrique
On fait apparaître \(\dfrac{\sin(3x)}{3x}\).
Comme :
\[ \frac{\sin(3x)}{3x}\longrightarrow1, \]la limite vaut :
\[ 3. \]Question 10 — Valeur moyenne locale d’une intégrale
Posons :
\[ F(t)=\int_{\pi/4}^{t}\frac{dx}{\tan x}. \]La fonction intégrée étant continue au voisinage de \(\frac{\pi}{4}\), le théorème fondamental de l’analyse donne :
\[ F'(t)=\frac1{\tan t}. \]On a :
\[ \int_{\pi/4}^{\pi/4+h}\frac{dx}{\tan x} = F\left(\frac{\pi}{4}+h\right)-F\left(\frac{\pi}{4}\right). \]Le quotient demandé devient :
\[ \frac{ F\left(\frac{\pi}{4}+h\right)-F\left(\frac{\pi}{4}\right) }{h}. \]Par définition de la dérivée, lorsque \(h\to0\), ce quotient tend vers :
\[ F'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac1{\tan(\pi/4)} = 1. \]Aucune proposition imprimée ne donne cette valeur.
Question 11 — Limite divergente
On utilise :
\[ 1-\cos u=2\sin^2\left(\frac u2\right) \]et :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. \]Pour \(x\ne0\) :
\[ 1-\cos(\pi x) = 2\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right). \]Ainsi :
\[ \frac{\sin(\sqrt\pi\,x)}{1-\cos(\pi x)} = \frac{2}{\pi^{3/2}x} \cdot \frac{\sin(\sqrt\pi\,x)}{\sqrt\pi\,x} \cdot \left( \frac{\frac{\pi x}{2}} {\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} \right)^2. \]Les deux derniers facteurs tendent vers \(1\). On en déduit :
\[ \frac{\sin(\sqrt\pi\,x)}{1-\cos(\pi x)} \longrightarrow+\infty \quad\text{lorsque }x\to0^+, \]et :
\[ \frac{\sin(\sqrt\pi\,x)}{1-\cos(\pi x)} \longrightarrow-\infty \quad\text{lorsque }x\to0^-. \]Les limites à droite et à gauche étant différentes, la limite en \(0\) n’existe pas.
Question 12 — Intégrale rationnelle
On complète le carré :
\[ x^2+6x+12=(x+3)^2+3. \]La notation \(\arctan u\) désigne l’unique angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente vaut \(u\).
Une primitive est :
\[ \frac1{\sqrt3} \arctan\left(\frac{x+3}{\sqrt3}\right). \]Donc :
\[ I = \frac1{\sqrt3} \left[ \arctan\left(\frac{x+3}{\sqrt3}\right) \right]_{-2}^{0}. \]Ainsi :
\[ I = \frac1{\sqrt3} \left( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{6\sqrt3} = \frac{\pi\sqrt3}{18}. \]Question 13 — Intégrale logarithmique
On pose \(u=1+\ln x\), donc \(du=\dfrac{dx}{x}\).
Les bornes deviennent :
\[ u=1 \qquad\text{et}\qquad u=3. \]Donc :
\[ I = \int_1^3\frac{du}{u} = [\ln u]_1^3 = \ln3. \]Question 14 — Intégrale impropre
On pose :
\[ U_n= \int_e^n \frac{dx}{x(\ln x)^3}. \]Calculer sa limite.
On pose \(u=\ln x\).
On obtient :
\[ U_n = \int_1^{\ln n}u^{-3}\,du. \]Donc :
\[ U_n = \left[ -\frac1{2u^2} \right]_1^{\ln n} = \frac12-\frac1{2(\ln n)^2}. \]Ainsi :
\[ U_n\longrightarrow\frac12. \]Question 15 — Tangente à une fonction définie par une intégrale
On considère :
\[ g(x)= \int_{\sqrt x}^{x^2}e^{u^2}\,du. \]Déterminer la tangente au point d’abscisse \(1\).
Si :
\[ G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(u)\,du, \]alors :
\[ G'(x)=b'(x)f(b(x))-a'(x)f(a(x)). \]Le signe moins provient de la borne inférieure.
On a :
\[ g(1)=\int_1^1e^{u^2}\,du=0. \]De plus :
\[ g'(x) = 2x\,e^{x^4} - \frac1{2\sqrt x}e^x. \]Donc :
\[ g'(1) = 2e-\frac e2 = \frac{3e}{2}. \]L’équation de la tangente est :
\[ y=g'(1)(x-1)+g(1), \]d’où :
\[ y=\frac{3e}{2}(x-1). \]Question 16 — Primitive avec changement de variable
Déterminer une primitive de :
\[ \frac{\tan(\sqrt x)}{\sqrt x}. \]On pose \(u=\sqrt x\), donc \(dx=2u\,du\).
Alors :
\[ \int \frac{\tan(\sqrt x)}{\sqrt x}\,dx = 2\int\tan u\,du. \]Or :
\[ \int\tan u\,du=-\ln|\cos u|. \]Donc :
\[ 2\int\tan u\,du = -2\ln|\cos u|+K. \]Ainsi :
\[ F(x) = \ln\left(\frac1{\cos^2\sqrt x}\right)+K. \]Question 17 — Puissance d’une suite
La base tend vers \(\dfrac13\), strictement inférieure à \(1\), tandis que l’exposant tend vers \(+\infty\).
Pour \(n\) assez grand :
\[ 0\lt \frac{n}{3n-1} \lt \frac12. \]Donc :
\[ 0 \le \left( \frac{n}{3n-1} \right)^{2n-1} \le \left(\frac12\right)^{2n-1}. \]Le membre de droite tend vers \(0\). Par encadrement :
\[ \left( \frac{n}{3n-1} \right)^{2n-1} \longrightarrow0. \]Question 18 — Familles formant une base
Dans la base \(B=\{i,j,k\}\), déterminer les familles qui forment une base de \(\mathbb R^3\).
On place en colonnes les coordonnées des trois vecteurs dans la base \(B=\{i,j,k\}\).
Trois vecteurs de \(\mathbb R^3\) forment une base si et seulement si le déterminant de leur matrice de coordonnées est non nul.
Une famille est dite liée lorsqu’un vecteur peut s’écrire comme combinaison des autres.
Pour \(E\), la matrice des coordonnées est :
\[ \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \]de déterminant \(-2\ne0\). Donc \(E\) est une base.
Pour \(N\), le troisième vecteur est la somme des deux premiers :
\[ i+j+k=i+(j+k). \]Donc \(N\) est liée.
La famille \(S=\{i,2j,3k\}\) est clairement une base.
Pour \(A=\{i,2j-k,j\}\), la matrice est :
\[ \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&-1&0 \end{pmatrix}, \]de déterminant \(1\ne0\). Donc \(A\) est une base.
Les familles \(E\), \(S\) et \(A\) conviennent.
Question 19 — Base d’un plan vectoriel
On considère :
\[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y-z=0\}. \]Déterminer une base de \(S\).
Une base de \(S\) doit permettre d’écrire tous les vecteurs de \(S\), et ses vecteurs doivent être linéairement indépendants.
La relation donnée équivaut à :
\[ z=x+2y. \]Tout vecteur de \(S\) s’écrit :
\[ (x,y,z) = (x,y,x+2y) = x(1,0,1)+y(0,1,2). \]Les deux vecteurs proposés permettent donc d’écrire tous les vecteurs de \(S\).
Si :
\[ \alpha(1,0,1)+\beta(0,1,2)=(0,0,0), \]les deux premières coordonnées donnent :
\[ \alpha=0 \qquad\text{et}\qquad \beta=0. \]Les vecteurs sont donc linéairement indépendants et forment une base de \(S\).
Question 20 — Sous-espaces vectoriels
Parmi les ensembles \(E\), \(N\), \(S\) et \(A\) donnés, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
Un ensemble \(F\subset\mathbb R^3\) est un sous-espace vectoriel lorsqu’il contient le vecteur nul et qu’il est stable par addition et par multiplication par un réel.
Pour \(E\) : la condition \(y=0\) est vérifiée par le vecteur nul et reste vraie après addition ou multiplication par un réel. Donc \(E\) est un sous-espace vectoriel.
Pour \(A\) : la relation \(x+y+z=0\) est homogène. Le vecteur nul la vérifie, ainsi que la somme de deux solutions et tout multiple d’une solution. Donc \(A\) est un sous-espace vectoriel.
Pour \(N\) : le vecteur nul ne vérifie pas \(x+y+z=1\). Donc \(N\) n’est pas un sous-espace vectoriel.
Pour \(S\) : le vecteur nul ne vérifie pas \(z=2\). Donc \(S\) n’est pas un sous-espace vectoriel.
Seuls \(E\) et \(A\) conviennent.
Question 21 — Identité matricielle
La matrice \(A\) vérifie :
\[ A^2=A+3I_n. \]Déterminer les affirmations vraies.
\(I_n\) désigne la matrice identité. La matrice \(A^{-1}\) est l’inverse de \(A\) et vérifie :
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n. \]Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
La relation donnée équivaut à :
\[ A^2-A=3I_n. \]Donc :
\[ A(A-I_n)=3I_n \]et également :
\[ (A-I_n)A=3I_n. \]En divisant par \(3\) :
\[ A\left[\frac13(A-I_n)\right]=I_n \]et :
\[ \left[\frac13(A-I_n)\right]A=I_n. \]Ainsi :
\[ A^{-1}=\frac13(A-I_n). \]La matrice \(A\) est inversible, donc :
\[ \det A\ne0. \]Les affirmations (III) et (IV) sont vraies.
Question 22 — Déterminant d’une matrice inverse
La matrice \(A\) vérifie :
\[ A^2-A-I_n=0_n. \]Calculer \(\det(A-I_n)\).
\(0_n\) désigne la matrice nulle et \(I_n\) la matrice identité.
Pour toute matrice inversible :
\[ \det(A^{-1})=\frac1{\det A}. \]On en déduit :
\[ A-I_n=A^{-1}. \]En prenant les déterminants :
\[ \det(A-I_n)=\det(A^{-1}). \]Or :
\[ \det(A^{-1}) = \frac1{\det A}. \]Donc :
\[ \det(A-I_n)=\frac1{\det A}. \]Question 23 — Trace d’une matrice
Calculer :
\[ \operatorname{Tr}(A+I_n). \]La trace d’une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux.
Elle vérifie :
\[ \operatorname{Tr}(A+B)=\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B). \]La trace de \(I_n\) vaut \(n\).
Ajouter \(I_n\) augmente chacun des \(n\) coefficients diagonaux de \(1\).
Donc :
\[ \operatorname{Tr}(A+I_n) = \operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(I_n). \]Or :
\[ \operatorname{Tr}(I_n)=n. \]Ainsi :
\[ \operatorname{Tr}(A+I_n)=\operatorname{Tr}(A)+n. \]Question 24 — Théorème fondamental de l’analyse
On sait :
\[ \int_0^x h(t)\,dt=x\ln(1+x^2). \]Calculer \(h(1)\).
Lorsque \(h\) est continue, le théorème fondamental de l’analyse donne :
\[ \left(\int_0^x h(t)\,dt\right)'=h(x). \]Il suffit donc de dériver le membre de droite.
Le théorème fondamental donne :
\[ h(x) = \frac{d}{dx} \left[x\ln(1+x^2)\right]. \]Donc :
\[ h(x) = \ln(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2}. \]Pour \(x=1\) :
\[ h(1) = \ln2+1. \]Question 25 — Primitive de \(\sin(\ln x)\)
Déterminer une primitive de :
\[ \sin(\ln x). \]On pose \(t=\ln x\), donc :
\[ x=e^t \qquad\text{et}\qquad dx=e^t\,dt. \]La lettre \(K\) désigne une constante réelle quelconque.
Avec \(t=\ln x\), l’intégrale devient :
\[ I=\int e^t\sin t\,dt. \]Une première intégration par parties donne :
\[ I=e^t\sin t-\int e^t\cos t\,dt. \]Posons :
\[ J=\int e^t\cos t\,dt. \]Une deuxième intégration par parties donne :
\[ J=e^t\cos t+I. \]Par conséquent :
\[ I=e^t\sin t-e^t\cos t-I. \]Donc :
\[ 2I=e^t(\sin t-\cos t), \]puis :
\[ I=\frac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+K. \]En revenant à \(t=\ln x\) :
\[ F(x) = \frac{x}{2} \left( \sin(\ln x)-\cos(\ln x) \right)+K. \]Conseil de travail
Cette épreuve associe des questions classiques et des notions d’algèbre linéaire. Lorsqu’aucune proposition n’est correcte, il faut conserver le résultat mathématique exact et signaler clairement l’anomalie au lieu de choisir une lettre arbitraire.
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