Concours ENSA Tanger 2012 — Énoncé Mathématiques

Concours ENSA Tanger 2012 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des classes préparatoires de l’ENSA Tanger — Édition 2012.

Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 15 min — 25 questions QCM.

Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2012.

Le sujet couvre les suites, les limites, les intégrales, l’optimisation, les espaces vectoriels, les matrices et le calcul algébrique.

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Consignes

• Calculatrice non autorisée.
• L’épreuve comporte trois pages et 25 questions.
• Chaque question propose trois réponses : A, B et C.
• Une seule proposition est normalement correcte.
• Barème indiqué : réponse juste \(=+1\), réponse fausse \(=-1\), absence de réponse \(=0\).

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5 Q6Q7Q8Q9Q10 Q11Q12Q13Q14Q15 Q16Q17Q18Q19Q20 Q21Q22Q23Q24Q25

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Soit \(L\) une liste finie d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est \(-15\) :

\[ L=\{-15,-14,\ldots\}. \]

Si la somme de tous les éléments de \(L\) est égale à \(51\), le nombre total de termes de la liste \(L\) est :

A) \(34\).

B) \(50\).

C) \(18\).

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Question 2

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^n3^{n+1}}{\pi^n}. \]

A) \(3\).

B) \(0\).

C) \(\dfrac3\pi\).

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Question 3

Énoncé

On pose :

\[ Z_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^{k-1}}{\pi^{k+1}}. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}Z_n= \]

A) \(+\infty\).

B) \(\displaystyle\frac1{\pi(\pi-e)}\).

C) \(\displaystyle\frac1{\pi-e}\).

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Question 4

Énoncé

Une entreprise de fabrication de mixeurs adopte pour l’année 2012 la stratégie suivante : la production connaît une diminution mensuelle de \(10\%\), mais grâce à une commande destinée à l’export, l’entreprise produit chaque mois \(150\) mixeurs supplémentaires.

On note \(t_n\) la production de l’usine au cours du mois numéro \(n\). La relation reliant \(t_{n+1}\) et \(t_n\) est :

A) \(\displaystyle t_{n+1}=0{,}1t_n-150\).

B) \(\displaystyle t_{n+1}=0{,}9t_n+150\).

C) \(\displaystyle t_{n+1}=0{,}1t_n\).

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Question 5

Énoncé

Suite de la question 4.

À long terme, la production mensuelle des mixeurs est estimée à :

A) \(P=10\) mixeurs.

B) \(P=90\) mixeurs.

C) \(P=1500\) mixeurs.

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Question 6

Énoncé

Soit \((u_n)_{n\ge0}\) une suite numérique à termes strictement positifs vérifiant :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac12. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=L \]

avec :

A) \(\displaystyle L=\frac12\).

B) \(L=0\).

C) \(\displaystyle0\lt L\lt\frac12\).

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Question 7

Énoncé

On pose :

\[ T_n= \sum_{p=1}^{n} \left( 2^{\frac1{2p-1}} - 2^{\frac1{2p+1}} \right). \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}T_n= \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(+\infty\).

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Question 8

Énoncé

On considère la courbe représentative de la fonction :

\[ f(x)=e^{-x^2}. \]

Pour \(x\gt0\), on désigne par \(R(x)\) le rectangle symétrique inscrit sous la courbe et dont l’un des côtés est le segment d’extrémités \((-x,0)\) et \((x,0)\).

La surface maximale de ce rectangle est égale à :

A) \(\sqrt{2e}\).

B) \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\).

C) \(\displaystyle\sqrt{\frac2e}\).

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Question 9

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin(\pi x)} {1-\cos\bigl(\sqrt{\pi x}\bigr)}. \]

A) \(0\).

B) \(2\).

C) \(\sqrt\pi\).

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Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_e^{e+h}\frac{dx}{(\ln x)^2}. \]

A) \(1\).

B) \(e\).

C) \(0\).

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Question 11

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)dx. \]

A) \(\displaystyle\frac{\sqrt\pi}{\pi}\).

B) \(0\).

C) \(\ln\pi\).

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Question 12

Énoncé

Calculer :

\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dx}{4x^2+4x+5}. \]

A) \(\displaystyle\frac{\pi}{16}\).

B) \(\displaystyle\frac{\pi\sqrt3}{18}\).

C) \(\displaystyle\frac{\sqrt\pi}{6}\).

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Question 13

Énoncé

La surface comprise entre la courbe de :

\[ f(x)=(\ln x)^2 \]

et les droites \(x=1\) et \(x=e\) est égale à :

A) \(e\).

B) \(3e-2\).

C) \(e-2\).

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Question 14

Énoncé

Soit \((V_n)_{n\ge3}\) la suite définie par :

\[ V_n= \int_{e^e}^{n} \frac{dx}{x\sqrt{(\ln x)^3}}. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}V_n= \]

A) \(\displaystyle\frac12\).

B) \(+\infty\).

C) \(\displaystyle\frac2{\sqrt e}\).

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Question 15

Énoncé

On considère :

\[ g(x)= \int_1^{\tan x}\frac{du}{\arctan u}. \]

La tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x=\dfrac{\pi}{4}\) admet pour équation :

A) \(\displaystyle y=\frac8\pi x-2\).

B) \(\displaystyle y=\frac{\pi}{4}(x-1)\).

C) \(\displaystyle y=\frac{\pi}{2}x-1\).

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Question 16

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2x+4\sin^2x}. \]

A) \(\displaystyle\frac{\ln2}{2}\).

B) \(\displaystyle\frac12\arctan(2)\).

C) \(\displaystyle\frac12\).

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Question 17

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \]

A) \(0\).

B) \(\dfrac12\).

C) \(+\infty\).

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Question 18

Énoncé

Soit \(B=\{u,v,w\}\) une base de \(\mathbb R^3\). On considère les familles :

\[ E=\{u+v,\ v+w,\ u+w\}, \] \[ N=\{u,\ v,\ u+w\}, \] \[ S=\{-u,\ v+w,\ v-u+w\}, \] \[ A=\{u-v-w,\ u+v+w,\ u\}. \]

Laquelle, ou lesquelles, de ces familles forme une base ?

A) Toutes les quatre.

B) Seulement \(E\).

C) Seulement \(E\) et \(N\).

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Question 19

Énoncé

Soit :

\[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y=0\}. \]

Lequel des systèmes suivants forme une base de \(S\) ?

A) \(\{(-2,1,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\).

B) \(\{(-2,1,0),(0,0,1)\}\).

C) \(\{(-2,1,0)\}\).

La copie originale écrit « une base pour E », alors que l’ensemble défini dans la question est \(S\). La lettre \(S\) est utilisée ici pour corriger cette coquille évidente.

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Question 20

Énoncé

On considère les ensembles :

\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+yz=0\}, \] \[ N=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid xyz=0\}, \] \[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=2\}, \] \[ A=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y=z\}. \]

Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?

A) Seulement \(A\).

B) Seulement \(A\) et \(N\).

C) Tous : \(E\), \(N\), \(S\) et \(A\).

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Question 21

Énoncé

Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :

\[ A^2=2I_n-A, \]

où \(I_n\) est la matrice identité. On considère les affirmations :

\[ \text{(I)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=\frac12(A+I_n), \] \[ \text{(III)}\quad \det A\ne0, \] \[ \text{(IV)}\quad A^{-1}=2I_n+A, \] \[ \text{(V)}\quad \det(A+I_n)=\frac2{\det A}. \]

Alors :

A) Seulement (I) et (IV) sont vraies.

B) Seulement (II), (III) et (V) sont vraies.

C) Seulement (III), (IV) et (V) sont vraies.

La relation (V) est reproduite telle qu’elle est imprimée, avec le numérateur \(2\). La correction analysera la dépendance éventuelle à l’ordre \(n\) de la matrice.

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Question 22

Énoncé

Calculer :

\[ \sqrt{12345^2-12343\times12347}. \]

A) \(4\).

B) \(2\).

C) \(42\).

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Question 23

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} (\sqrt2)(\sqrt[4]{2})(\sqrt[8]{2})\cdots(\sqrt[2^n]{2}). \]

A) \(1\).

B) \(2\).

C) \(\sqrt2\).

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Question 24

Énoncé

Si :

\[ \int_0^x h(t)\,dt=x\arctan x, \]

alors :

\[ h(1)= \]

A) \(\displaystyle\frac12\).

B) \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

C) \(\displaystyle\frac{\pi+2}{4}\).

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Question 25

Énoncé

Une primitive de :

\[ \frac1{\tan^3x} \]

est :

A) \(\displaystyle-\left[\frac1{2\sin^2x}+\ln|\sin x|\right]+K\).

B) \(\displaystyle\frac1{2\tan^2x}+K\).

C) \(\displaystyle\frac1{2(\arctan x)^2}+K\).

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Conseil de travail

Cette épreuve contient plusieurs notions qui dépassent le programme ordinaire du baccalauréat, notamment les bases de \(\mathbb R^3\), les sous-espaces vectoriels et les identités matricielles. Commencer par les questions usuelles, puis traiter ces notions à partir de leurs définitions.

Ressources liées

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