Concours ENSA Tanger 2012 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des classes préparatoires de l’ENSA Tanger — Édition 2012.
Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 15 min — 25 questions QCM.
Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2012.
Le sujet couvre les suites, les limites, les intégrales, l’optimisation, les espaces vectoriels, les matrices et le calcul algébrique.
Consignes
- Calculatrice non autorisée.
- L’épreuve comporte trois pages et 25 questions.
- Chaque question propose trois réponses : A, B et C.
- Une seule proposition est normalement correcte.
- Barème indiqué : réponse juste \(=+1\), réponse fausse \(=-1\), absence de réponse \(=0\).
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Soit \(L\) une liste finie d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est \(-15\) :
\[ L=\{-15,-14,\ldots\}. \]Si la somme de tous les éléments de \(L\) est égale à \(51\), le nombre total de termes de la liste \(L\) est :
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^n3^{n+1}}{\pi^n}. \]Question 3
On pose :
\[ Z_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^{k-1}}{\pi^{k+1}}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}Z_n= \]Question 4
Une entreprise de fabrication de mixeurs adopte pour l’année 2012 la stratégie suivante : la production connaît une diminution mensuelle de \(10\%\), mais grâce à une commande destinée à l’export, l’entreprise produit chaque mois \(150\) mixeurs supplémentaires.
On note \(t_n\) la production de l’usine au cours du mois numéro \(n\). La relation reliant \(t_{n+1}\) et \(t_n\) est :
Question 5
Suite de la question 4.
À long terme, la production mensuelle des mixeurs est estimée à :
Question 6
Soit \((u_n)_{n\ge0}\) une suite numérique à termes strictement positifs vérifiant :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac12. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=L \]avec :
Question 7
On pose :
\[ T_n= \sum_{p=1}^{n} \left( 2^{\frac1{2p-1}} - 2^{\frac1{2p+1}} \right). \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}T_n= \]Question 8
On considère la courbe représentative de la fonction :
\[ f(x)=e^{-x^2}. \]Pour \(x\gt0\), on désigne par \(R(x)\) le rectangle symétrique inscrit sous la courbe et dont l’un des côtés est le segment d’extrémités \((-x,0)\) et \((x,0)\).
La surface maximale de ce rectangle est égale à :
Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin(\pi x)} {1-\cos\bigl(\sqrt{\pi x}\bigr)}. \]Question 10
Calculer :
\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_e^{e+h}\frac{dx}{(\ln x)^2}. \]Question 11
Calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)dx. \]Question 12
Calculer :
\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dx}{4x^2+4x+5}. \]Question 13
La surface comprise entre la courbe de :
\[ f(x)=(\ln x)^2 \]et les droites \(x=1\) et \(x=e\) est égale à :
Question 14
Soit \((V_n)_{n\ge3}\) la suite définie par :
\[ V_n= \int_{e^e}^{n} \frac{dx}{x\sqrt{(\ln x)^3}}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}V_n= \]Question 15
On considère :
\[ g(x)= \int_1^{\tan x}\frac{du}{\arctan u}. \]La tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x=\dfrac{\pi}{4}\) admet pour équation :
Question 16
Calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2x+4\sin^2x}. \]Question 17
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \]Question 18
Soit \(B=\{u,v,w\}\) une base de \(\mathbb R^3\). On considère les familles :
\[ E=\{u+v,\ v+w,\ u+w\}, \] \[ N=\{u,\ v,\ u+w\}, \] \[ S=\{-u,\ v+w,\ v-u+w\}, \] \[ A=\{u-v-w,\ u+v+w,\ u\}. \]Laquelle, ou lesquelles, de ces familles forme une base ?
Question 19
Soit :
\[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y=0\}. \]Lequel des systèmes suivants forme une base de \(S\) ?
Question 20
On considère les ensembles :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+yz=0\}, \] \[ N=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid xyz=0\}, \] \[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=2\}, \] \[ A=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y=z\}. \]Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?
Question 21
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2=2I_n-A, \]où \(I_n\) est la matrice identité. On considère les affirmations :
\[ \text{(I)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=\frac12(A+I_n), \] \[ \text{(III)}\quad \det A\ne0, \] \[ \text{(IV)}\quad A^{-1}=2I_n+A, \] \[ \text{(V)}\quad \det(A+I_n)=\frac2{\det A}. \]Alors :
Question 22
Calculer :
\[ \sqrt{12345^2-12343\times12347}. \]Question 23
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} (\sqrt2)(\sqrt[4]{2})(\sqrt[8]{2})\cdots(\sqrt[2^n]{2}). \]Question 24
Si :
\[ \int_0^x h(t)\,dt=x\arctan x, \]alors :
\[ h(1)= \]Question 25
Une primitive de :
\[ \frac1{\tan^3x} \]est :
Conseil de travail
Cette épreuve contient plusieurs notions qui dépassent le programme ordinaire du baccalauréat, notamment les bases de \(\mathbb R^3\), les sous-espaces vectoriels et les identités matricielles. Commencer par les questions usuelles, puis traiter ces notions à partir de leurs définitions.
Commentaires
Enregistrer un commentaire