Concours ENSA Tanger 2012 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des classes préparatoires de l’ENSA Tanger — Édition 2012.
Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 15 min — 25 questions QCM.
Compétences et points clés
Tanger ENSA 2012 parcourt sommes, suites alternées, intégrales, optimisation et trigonométrie. Plusieurs méthodes reposent sur une simplification structurée : une somme géométrique, une identité trigonométrique ou une primitive adaptée.
Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; signe des fonctions et intégrale sur un segment; sinus, cosinus, angles et identités usuelles.
Rappels de cours utiles
Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.
Intégrale et aire. L’aire entre deux courbes sur un segment se calcule à partir de la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure. Si leur ordre change, séparer le calcul aux points d’intersection. Une intégrale signée peut être négative ; une aire géométrique est positive ou nulle et tient compte des unités du repère.
Trigonométrie et signes. Les identités trigonométriques s’utilisent en conservant leur domaine de validité. Dans une expression contenant une tangente ou un quotient, exclure les zéros du dénominateur. Un angle s’interprète avec son quadrant ; une racine carrée donne une valeur positive ou nulle, ce qui peut imposer une valeur absolue.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Dans la liste d’entiers, compter les termes et relier le premier au dernier. Pour la suite alternée, contrôler le module de la raison plutôt que le signe seul. Dans l’aire liée au logarithme au carré, vérifier la positivité avant l’intégration. Pour les primitives trigonométriques, conserver les intervalles où les dénominateurs existent.
Cette page propose l’énoncé complet de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2012.
Le sujet couvre les suites, les limites, les intégrales, l’optimisation, les espaces vectoriels, les matrices et le calcul algébrique.
Consignes
- Calculatrice non autorisée.
- L’épreuve comporte trois pages et 25 questions.
- Chaque question propose trois réponses : A, B et C.
- Une seule proposition est normalement correcte.
- Barème indiqué : réponse juste \(=+1\), réponse fausse \(=-1\), absence de réponse \(=0\).
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Soit \(L\) une liste finie d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est \(-15\) :
\[ L=\{-15,-14,\ldots\}. \]Si la somme de tous les éléments de \(L\) est égale à \(51\), le nombre total de termes de la liste \(L\) est :
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^n3^{n+1}}{\pi^n}. \]Question 3
On pose :
\[ Z_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^{k-1}}{\pi^{k+1}}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}Z_n= \]Question 4
Une entreprise de fabrication de mixeurs adopte pour l’année 2012 la stratégie suivante : la production connaît une diminution mensuelle de \(10\%\), mais grâce à une commande destinée à l’export, l’entreprise produit chaque mois \(150\) mixeurs supplémentaires.
On note \(t_n\) la production de l’usine au cours du mois numéro \(n\). La relation reliant \(t_{n+1}\) et \(t_n\) est :
Question 5
Suite de la question 4.
À long terme, la production mensuelle des mixeurs est estimée à :
Question 6
Soit \((u_n)_{n\ge0}\) une suite numérique à termes strictement positifs vérifiant :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac12. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=L \]avec :
Question 7
On pose :
\[ T_n= \sum_{p=1}^{n} \left( 2^{\frac1{2p-1}} - 2^{\frac1{2p+1}} \right). \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}T_n= \]Question 8
On considère la courbe représentative de la fonction :
\[ f(x)=e^{-x^2}. \]Pour \(x\gt0\), on désigne par \(R(x)\) le rectangle symétrique inscrit sous la courbe et dont l’un des côtés est le segment d’extrémités \((-x,0)\) et \((x,0)\).
La surface maximale de ce rectangle est égale à :
Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin(\pi x)} {1-\cos\bigl(\sqrt{\pi x}\bigr)}. \]Question 10
Calculer :
\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_e^{e+h}\frac{dx}{(\ln x)^2}. \]Question 11
Calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)dx. \]Question 12
Calculer :
\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dx}{4x^2+4x+5}. \]Question 13
La surface comprise entre la courbe de :
\[ f(x)=(\ln x)^2 \]et les droites \(x=1\) et \(x=e\) est égale à :
Question 14
Soit \((V_n)_{n\ge3}\) la suite définie par :
\[ V_n= \int_{e^e}^{n} \frac{dx}{x\sqrt{(\ln x)^3}}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}V_n= \]Question 15
On considère :
\[ g(x)= \int_1^{\tan x}\frac{du}{\arctan u}. \]La tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x=\dfrac{\pi}{4}\) admet pour équation :
Question 16
Calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2x+4\sin^2x}. \]Question 17
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \]Question 18
Soit \(B=\{u,v,w\}\) une base de \(\mathbb R^3\). On considère les familles :
\[ E=\{u+v,\ v+w,\ u+w\}, \] \[ N=\{u,\ v,\ u+w\}, \] \[ S=\{-u,\ v+w,\ v-u+w\}, \] \[ A=\{u-v-w,\ u+v+w,\ u\}. \]Laquelle, ou lesquelles, de ces familles forme une base ?
Question 19
Soit :
\[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y=0\}. \]Lequel des systèmes suivants forme une base de \(S\) ?
Question 20
On considère les ensembles :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+yz=0\}, \] \[ N=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid xyz=0\}, \] \[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=2\}, \] \[ A=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y=z\}. \]Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?
Question 21
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2=2I_n-A, \]où \(I_n\) est la matrice identité. On considère les affirmations :
\[ \text{(I)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=\frac12(A+I_n), \] \[ \text{(III)}\quad \det A\ne0, \] \[ \text{(IV)}\quad A^{-1}=2I_n+A, \] \[ \text{(V)}\quad \det(A+I_n)=\frac2{\det A}. \]Alors :
Question 22
Calculer :
\[ \sqrt{12345^2-12343\times12347}. \]Question 23
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} (\sqrt2)(\sqrt[4]{2})(\sqrt[8]{2})\cdots(\sqrt[2^n]{2}). \]Question 24
Si :
\[ \int_0^x h(t)\,dt=x\arctan x, \]alors :
\[ h(1)= \]Question 25
Une primitive de :
\[ \frac1{\tan^3x} \]est :
Conseil de travail
Cette épreuve contient plusieurs notions qui dépassent le programme ordinaire du baccalauréat, notamment les bases de \(\mathbb R^3\), les sous-espaces vectoriels et les identités matricielles. Commencer par les questions usuelles, puis traiter ces notions à partir de leurs définitions.
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