Correction Concours ENSA Tanger 2012 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des classes préparatoires de l’ENSA Tanger — Édition 2012.
Correction détaillée et vérifiée des questions 1 à 25.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Tanger 2012.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une résolution détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
* Q21 : réponse prévue probablement B si l’affirmation (V) est corrigée avec \(2^n\).
Correction détaillée question par question
Question 1 — Somme d’entiers consécutifs
La liste commence par \(-15\), contient des entiers consécutifs et sa somme vaut \(51\). Déterminer son nombre de termes.
Une liste de \(m\) entiers consécutifs commençant par \(-15\) se termine par \(m-16\).
Si la liste contient \(m\) termes, son dernier terme est :
\[ -15+(m-1)=m-16. \]Sa somme vaut :
\[ \frac{m\bigl(-15+m-16\bigr)}2 = \frac{m(m-31)}2. \]On résout :
\[ \frac{m(m-31)}2=51, \] \[ m^2-31m-102=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=31^2+4\times102=1369=37^2. \]La seule solution positive est :
\[ m=\frac{31+37}{2}=34. \]Question 2 — Suite géométrique alternée
On écrit : \[ \frac{(-1)^n3^{n+1}}{\pi^n} = 3\left(-\frac3\pi\right)^n. \]
Comme :
\[ 0\lt\frac3\pi\lt1, \]on a :
\[ \left(-\frac3\pi\right)^n\longrightarrow0. \]Donc :
\[ 3\left(-\frac3\pi\right)^n\longrightarrow0. \]Question 3 — Somme géométrique
On pose :
\[ Z_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^{k-1}}{\pi^{k+1}}. \]Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}Z_n\).
La somme est géométrique de premier terme \(\dfrac1{\pi^2}\) et de raison \(\dfrac e\pi\).
Comme \(0\lt\dfrac e\pi\lt1\), la somme converge vers :
\[ \frac1{\pi^2} \cdot \frac1{1-\frac e\pi}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}Z_n = \frac1{\pi(\pi-e)}. \]Question 4 — Modélisation d’une production
La production diminue de \(10\%\) chaque mois, puis \(150\) mixeurs sont ajoutés. Déterminer la relation entre \(t_{n+1}\) et \(t_n\).
Une diminution de \(10\%\) laisse \(90\%\) de la production précédente.
Après la diminution mensuelle, la production vaut :
\[ 0{,}9t_n. \]On ajoute ensuite \(150\) mixeurs :
\[ t_{n+1}=0{,}9t_n+150. \]Question 5 — Production à long terme
Suite de la question précédente. Déterminer la production mensuelle limite.
Il ne suffit pas de trouver une valeur possible de la limite : il faut aussi vérifier que la suite converge effectivement vers cette valeur.
D’après la question précédente :
\[ t_{n+1}=0{,}9t_n+150. \]La valeur d’équilibre \(P\) vérifie :
\[ P=0{,}9P+150, \]d’où :
\[ P=1500. \]Pour démontrer que la suite converge réellement vers \(1500\), on calcule :
\[ t_{n+1}-1500 = 0{,}9t_n+150-1500 = 0{,}9(t_n-1500). \]Par récurrence :
\[ t_n-1500 = 0{,}9^n(t_0-1500). \]Or :
\[ 0{,}9^n\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ t_n-1500\longrightarrow0, \]et donc :
\[ t_n\longrightarrow1500. \]Question 6 — Critère du quotient
La suite \((u_n)\) est strictement positive et vérifie :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac12. \]Déterminer sa limite.
Lorsque le quotient tend vers un réel strictement inférieur à \(1\), les termes décroissent au moins géométriquement à partir d’un certain rang.
Choisissons un réel \(q\) tel que :
\[ \frac12\lt q\lt1. \]À partir d’un certain rang \(N\) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\le q. \]Donc, pour \(n\ge N\) :
\[ u_n\le u_Nq^{n-N}. \]Comme \(q^{n-N}\to0\), on obtient :
\[ u_n\longrightarrow0. \]Question 7 — Somme télescopique
On pose :
\[ T_n= \sum_{p=1}^{n} \left( 2^{\frac1{2p-1}} - 2^{\frac1{2p+1}} \right). \]Calculer sa limite.
Les termes se simplifient deux à deux.
Donc :
\[ T_n=2-2^{1/(2n+1)}. \]Or :
\[ 2^{1/(2n+1)}\longrightarrow1. \]Ainsi :
\[ T_n\longrightarrow1. \]Question 8 — Aire maximale d’un rectangle
Sous la courbe \(y=e^{-x^2}\), on inscrit un rectangle symétrique de largeur \(2x\) et de hauteur \(e^{-x^2}\), avec \(x\gt0\). Déterminer son aire maximale.
L’aire du rectangle est le produit de sa largeur par sa hauteur :
\[ A(x)=2xe^{-x^2}. \]Pour déterminer un maximum, on étudie le signe de la dérivée.
Pour \(x\gt0\) :
\[ A'(x) = 2e^{-x^2}(1-2x^2). \]Comme \(2e^{-x^2}\gt0\), le signe de \(A'(x)\) est celui de \(1-2x^2\).
\[ 1-2x^2\gt0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\lt x\lt\frac1{\sqrt2}, \] \[ 1-2x^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac1{\sqrt2}, \] \[ 1-2x^2\lt0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\gt\frac1{\sqrt2}. \]Ainsi, \(A\) est croissante sur \(]0,\frac1{\sqrt2}]\), puis décroissante sur \([\frac1{\sqrt2},+\infty[\). Elle atteint donc son maximum pour :
\[ x=\frac1{\sqrt2}. \]La valeur maximale est :
\[ A\left(\frac1{\sqrt2}\right) = 2\cdot\frac1{\sqrt2}\, e^{-\frac12} = \sqrt2\,e^{-\frac12} = \sqrt{\frac2e}. \]Question 9 — Limite trigonométrique
On utilise : \[ \frac{\sin u}{u}\to1, \qquad \frac{1-\cos v}{v^2}\to\frac12. \]
On écrit :
\[ \frac{\sin(\pi x)} {1-\cos(\sqrt{\pi x})} = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \cdot \frac{\pi x}{1-\cos(\sqrt{\pi x})}. \]Posons \(v=\sqrt{\pi x}\). Alors \(v^2=\pi x\), donc :
\[ \frac{\pi x}{1-\cos(\sqrt{\pi x})} = \frac{v^2}{1-\cos v} \longrightarrow2. \]Le premier facteur tend vers \(1\). Ainsi, la limite vaut :
\[ 2. \]Question 10 — Limite d’une intégrale à borne variable
On introduit la fonction :
\[ F(x)=\int_e^x f(t)\,dt. \]Lorsque \(f\) est continue, le théorème fondamental de l’analyse donne :
\[ F'(x)=f(x). \]Posons :
\[ f(x)=\frac1{(\ln x)^2} \qquad\text{et}\qquad F(x)=\int_e^x f(t)\,dt. \]La fonction \(f\) est continue au voisinage de \(e\). On a :
\[ F(e)=0 \]et :
\[ \int_e^{e+h}f(x)\,dx = F(e+h)-F(e). \]Le quotient demandé devient donc :
\[ \frac{F(e+h)-F(e)}h. \]Par définition de la dérivée, lorsque \(h\to0\), ce quotient tend vers \(F'(e)\). Or :
\[ F'(e)=f(e). \]Ainsi :
\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_e^{e+h}\frac{dx}{(\ln x)^2} = \frac1{(\ln e)^2} = 1. \]Question 11 — Intégrale par symétrie
Le changement de variable \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\) échange le sinus et le cosinus.
En posant \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\), on obtient :
\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left( \frac{1+\cos t}{1+\sin t} \right)dt. \]Or :
\[ \ln\left( \frac{1+\cos t}{1+\sin t} \right) = - \ln\left( \frac{1+\sin t}{1+\cos t} \right). \]Donc :
\[ I=-I, \]d’où :
\[ I=0. \]Question 12 — Intégrale rationnelle
On complète le carré :
\[ 4x^2+4x+5 = 4\left[\left(x+\frac12\right)^2+1\right]. \]La notation \(\arctan u\) désigne l’unique angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente est égale à \(u\). On utilise :
\[ \int\frac{du}{1+u^2}=\arctan u+K. \]Posons :
\[ u=x+\frac12. \]Lorsque \(x=-\frac12\), on a \(u=0\), et lorsque \(x=\frac12\), on a \(u=1\). Ainsi :
\[ I = \frac14\int_0^1\frac{du}{1+u^2}. \]Donc :
\[ I = \frac14[\arctan u]_0^1 = \frac14\left(\frac{\pi}{4}-0\right) = \frac{\pi}{16}. \]Question 13 — Aire sous \((\ln x)^2\)
Une primitive est : \[ x\left[(\ln x)^2-2\ln x+2\right]. \]
À \(x=e\) :
\[ e(1-2+2)=e. \]À \(x=1\) :
\[ 1(0-0+2)=2. \]Donc :
\[ I=e-2. \]Question 14 — Intégrale impropre logarithmique
On pose :
\[ V_n= \int_{e^e}^{n} \frac{dx}{x(\ln x)^{3/2}}. \]Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}V_n\).
On pose \(u=\ln x\), donc \(du=\dfrac{dx}{x}\).
Les bornes deviennent :
\[ u=e \qquad\text{et}\qquad u=\ln n. \]Donc :
\[ V_n = \int_e^{\ln n}u^{-3/2}\,du. \]Ainsi :
\[ V_n = \left[-\frac2{\sqrt u}\right]_e^{\ln n} = \frac2{\sqrt e} - \frac2{\sqrt{\ln n}}. \]Lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ V_n\longrightarrow\frac2{\sqrt e}. \]Question 15 — Tangente à une fonction définie par une intégrale
On considère :
\[ g(x)= \int_1^{\tan x}\frac{du}{\arctan u}. \]Déterminer la tangente au point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{4}\).
La notation \(\arctan u\) désigne l’unique angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente est égale à \(u\).
Si :
\[ G(x)=\int_a^{\varphi(x)}f(u)\,du, \]alors :
\[ G'(x)=f(\varphi(x))\,\varphi'(x). \]On utilise également :
\[ (\tan x)'=\frac1{\cos^2x}. \]Au point :
\[ x_0=\frac{\pi}{4}, \]on a :
\[ \tan x_0=1 \]et :
\[ g(x_0) = \int_1^1\frac{du}{\arctan u} = 0. \]La dérivée de \(g\) est :
\[ g'(x) = \frac1{\arctan(\tan x)} \cdot \frac1{\cos^2x}. \]Comme :
\[ \arctan\left(\tan\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4} \]et :
\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac12, \]on obtient :
\[ g'(x_0) = \frac1{\pi/4}\cdot2 = \frac8\pi. \]L’équation de la tangente au point d’abscisse \(x_0\) est :
\[ y=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0). \]Donc :
\[ y = \frac8\pi \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac8\pi x-2. \]Question 16 — Intégrale avec changement de variable
On pose \(t=\tan x\). Alors :
\[ dt=\frac{dx}{\cos^2x} \qquad\text{et}\qquad dx=\cos^2x\,dt. \]La notation \(\arctan(2)\) désigne l’angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente vaut \(2\).
En divisant le dénominateur par \(\cos^2x\), on obtient :
\[ \cos^2x+4\sin^2x = \cos^2x\bigl(1+4\tan^2x\bigr). \]Avec \(t=\tan x\), les bornes deviennent :
\[ t=0 \qquad\text{et}\qquad t=1. \]Ainsi :
\[ I = \int_0^1\frac{dt}{1+4t^2}. \]Comme :
\[ \int\frac{dt}{1+4t^2} = \frac12\arctan(2t)+K, \]on obtient :
\[ I = \frac12[\arctan(2t)]_0^1 = \frac12\arctan(2). \]Question 17 — Rapport de factorielles
La notation \(n!\), appelée « factorielle de \(n\) », signifie :
\[ n!=1\times2\times3\times\cdots\times n. \]On transforme ensuite le quotient en un produit afin de l’encadrer.
Pour tout \(k\in\{1,\ldots,n\}\), on a \(k\le n\), donc :
\[ n+k\ge2k. \]Par conséquent :
\[ 0\lt\frac{k}{n+k}\le\frac12. \]En multipliant ces inégalités :
\[ 0\le \frac{(n!)^2}{(2n)!} \le \left(\frac12\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac12\right)^n\longrightarrow0. \]Le théorème d’encadrement donne alors :
\[ \frac{(n!)^2}{(2n)!}\longrightarrow0. \]Question 18 — Familles formant une base
Dans la base \(B=\{u,v,w\}\), on considère les familles \(E\), \(N\), \(S\) et \(A\) données dans l’énoncé. Déterminer celles qui sont des bases de \(\mathbb R^3\).
On place en colonnes les coordonnées des trois vecteurs dans la base connue \(B=\{u,v,w\}\).
La notation \(\det M\) désigne le déterminant de la matrice \(M\). Trois vecteurs de \(\mathbb R^3\) forment une base si et seulement si le déterminant de leur matrice de coordonnées est non nul.
Une famille est dite liée lorsqu’un de ses vecteurs peut s’écrire comme combinaison des autres ; une telle famille ne peut pas être une base.
Pour la famille \(E=\{u+v,v+w,u+w\}\), la matrice des coordonnées est :
\[ M_E= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}. \]Son déterminant vaut :
\[ \det(M_E)=2\ne0. \]Donc \(E\) est une base.
Pour la famille \(N=\{u,v,u+w\}\), la matrice est :
\[ M_N= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]Son déterminant vaut :
\[ \det(M_N)=1\ne0. \]Donc \(N\) est une base.
Dans la famille \(S\), le troisième vecteur est la somme des deux premiers :
\[ v-u+w=(-u)+(v+w). \]La famille \(S\) est donc liée et ne forme pas une base.
Pour la famille \(A=\{u-v-w,u+v+w,u\}\), la matrice des coordonnées est :
\[ M_A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ -1&1&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}. \]Les deux dernières lignes sont identiques, donc :
\[ \det(M_A)=0. \]La famille \(A\) ne forme pas une base.
Ainsi, seules les familles \(E\) et \(N\) sont des bases.
Question 19 — Base d’un plan vectoriel
On considère :
\[ S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+2y=0\}. \]Déterminer une base de \(S\).
Une base de \(S\) est une famille de vecteurs qui vérifie deux propriétés :
- elle permet d’écrire tous les vecteurs de \(S\) ;
- aucun de ses vecteurs n’est inutile, c’est-à-dire que la famille est linéairement indépendante.
La relation \(x+2y=0\) donne \(x=-2y\). Les nombres \(y\) et \(z\) sont alors libres : ils peuvent prendre n’importe quelles valeurs réelles.
Tout vecteur de \(S\) vérifie :
\[ x=-2y. \]Il s’écrit donc :
\[ (x,y,z) = (-2y,y,z) = y(-2,1,0)+z(0,0,1). \]Les vecteurs \((-2,1,0)\) et \((0,0,1)\) permettent ainsi d’écrire tous les vecteurs de \(S\).
Vérifions qu’ils sont linéairement indépendants. Si :
\[ a(-2,1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0), \]alors l’égalité des coordonnées donne :
\[ a=0 \qquad\text{et}\qquad b=0. \]Ils forment donc une base de \(S\) :
\[ \{(-2,1,0),(0,0,1)\}. \]Question 20 — Sous-espaces vectoriels
Parmi les ensembles \(E\), \(N\), \(S\) et \(A\) définis dans l’énoncé, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\).
Pour qu’un ensemble \(F\subset\mathbb R^3\) soit un sous-espace vectoriel, il faut vérifier :
- le vecteur nul appartient à \(F\) ;
- la somme de deux vecteurs de \(F\) appartient encore à \(F\) ;
- le produit d’un vecteur de \(F\) par un réel appartient encore à \(F\).
Étude de \(S\). L’ensemble \(S\) est défini par \(z=2\). Le vecteur nul \((0,0,0)\) n’appartient pas à \(S\). Donc \(S\) n’est pas un sous-espace vectoriel.
Étude de \(N\). L’ensemble \(N\) est défini par \(xyz=0\). On a :
\[ (1,0,1)\in N \qquad\text{et}\qquad (0,1,1)\in N. \]Mais leur somme vaut :
\[ (1,0,1)+(0,1,1)=(1,1,2), \]et :
\[ 1\times1\times2\ne0. \]Ainsi, \((1,1,2)\notin N\). L’ensemble \(N\) n’est pas stable par addition et n’est donc pas un sous-espace vectoriel.
Étude de \(E\). L’ensemble \(E\) est défini par \(x+yz=0\). On a :
\[ (0,1,0)\in E \qquad\text{et}\qquad (-1,1,1)\in E. \]Leur somme est :
\[ (-1,2,1). \]Or :
\[ -1+2\times1=1\ne0. \]Donc \((-1,2,1)\notin E\). L’ensemble \(E\) n’est pas stable par addition et n’est pas un sous-espace vectoriel.
Étude de \(A\). L’ensemble \(A\) est défini par :
\[ x+y=z. \]Le vecteur nul appartient à \(A\), car \(0+0=0\).
Soient \(u=(x_1,y_1,z_1)\in A\) et \(v=(x_2,y_2,z_2)\in A\). On a :
\[ x_1+y_1=z_1 \qquad\text{et}\qquad x_2+y_2=z_2. \]Alors :
\[ (x_1+x_2)+(y_1+y_2)=z_1+z_2, \]donc \(u+v\in A\).
Enfin, pour tout réel \(\lambda\) :
\[ \lambda x_1+\lambda y_1=\lambda z_1, \]donc \(\lambda u\in A\).
Ainsi, \(A\) est un sous-espace vectoriel. C’est le seul parmi les quatre ensembles proposés.
Question 21 — Identité matricielle et anomalie du QCM
La matrice carrée \(A\) vérifie :
\[ A^2=2I_n-A. \]Analyser les affirmations (I) à (V) de l’énoncé.
\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\), c’est-à-dire la matrice qui joue pour le produit matriciel le même rôle que le nombre \(1\).
\(A^{-1}\) désigne la matrice inverse de \(A\) : elle vérifie \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\).
\(\det A\) désigne le déterminant de \(A\). Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
La relation donnée s’écrit :
\[ A^2+A=2I_n. \]On peut factoriser à gauche et à droite :
\[ A(A+I_n)=2I_n \]et :
\[ (A+I_n)A=2I_n. \]En divisant par \(2\), on obtient :
\[ A\left[\frac12(A+I_n)\right]=I_n \]et :
\[ \left[\frac12(A+I_n)\right]A=I_n. \]Ainsi, \(A\) est inversible et :
\[ A^{-1}=\frac12(A+I_n). \]L’affirmation (II) est donc vraie. Puisque \(A\) est inversible :
\[ \det A\ne0. \]L’affirmation (III) est vraie, tandis que les affirmations (I) et (IV) sont fausses.
Prenons maintenant les déterminants dans l’égalité :
\[ A(A+I_n)=2I_n. \]On obtient :
\[ \det A\cdot\det(A+I_n) = \det(2I_n). \]La matrice \(2I_n\) possède \(n\) nombres \(2\) sur sa diagonale. Son déterminant vaut donc :
\[ \det(2I_n)=2^n. \]Par conséquent :
\[ \det(A+I_n)=\frac{2^n}{\det A}. \]L’affirmation (V), imprimée avec le numérateur \(2\), est donc fausse pour un ordre \(n\) quelconque. Elle ne correspond à la formule obtenue que dans le cas particulier \(n=1\).
Question 22 — Identité remarquable
On pose \(a=12345\), puis : \[ 12343=a-2,\qquad12347=a+2. \]
Donc :
\[ 12345^2-12343\times12347 = a^2-(a^2-4) = 4. \]Ainsi :
\[ \sqrt4=2. \]Question 23 — Produit de racines successives
On additionne les exposants de \(2\).
Le produit vaut :
\[ 2^{\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac1{2^n}}. \]La somme géométrique est :
\[ \frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n} = 1-\frac1{2^n}. \]Donc :
\[ P_n=2^{1-\frac1{2^n}}. \]Par continuité :
\[ P_n\longrightarrow2. \]Question 24 — Dérivation d’une intégrale
On sait :
\[ \int_0^x h(t)\,dt=x\arctan x. \]Calculer \(h(1)\).
La notation \(\arctan x\) désigne l’unique angle de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) dont la tangente est égale à \(x\).
Le théorème fondamental de l’analyse donne :
\[ \left(\int_0^x h(t)\,dt\right)'=h(x). \]On utilise également :
\[ (\arctan x)'=\frac1{1+x^2}. \]En dérivant les deux membres de l’égalité :
\[ \int_0^x h(t)\,dt=x\arctan x, \]on obtient :
\[ h(x) = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}. \]Pour \(x=1\) :
\[ h(1) = \arctan(1) + \frac1{1+1^2}. \]Or :
\[ \arctan(1)=\frac{\pi}{4}. \]Donc :
\[ h(1) = \frac{\pi}{4} + \frac12 = \frac{\pi+2}{4}. \]Question 25 — Primitive de \(\dfrac1{\tan^3x}\)
Déterminer une primitive de :
\[ \frac1{\tan^3x}. \]On évite les notations trigonométriques supplémentaires et on utilise seulement :
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \qquad\text{et}\qquad \cos^2x=1-\sin^2x. \]La lettre \(K\) désigne une constante réelle quelconque.
On a :
\[ \frac1{\tan^3x} = \frac{\cos^3x}{\sin^3x}. \]Comme \(\cos^2x=1-\sin^2x\) :
\[ \frac{\cos^3x}{\sin^3x} = \frac{\cos x(1-\sin^2x)}{\sin^3x} = \frac{\cos x}{\sin^3x} - \frac{\cos x}{\sin x}. \]Posons :
\[ u=\sin x, \qquad du=\cos x\,dx. \]Alors :
\[ \int\frac1{\tan^3x}\,dx = \int\left(\frac1{u^3}-\frac1u\right)du. \]Donc :
\[ \int\frac1{\tan^3x}\,dx = -\frac1{2u^2}-\ln|u|+K. \]En revenant à \(u=\sin x\) :
\[ \int\frac1{\tan^3x}\,dx = -\frac1{2\sin^2x} - \ln|\sin x| + K. \]Cette expression est exactement :
\[ -\left[ \frac1{2\sin^2x} + \ln|\sin x| \right] + K. \]Conseil de travail
Cette épreuve mélange des questions de niveau baccalauréat et des notions d’algèbre linéaire. Pour les bases, les sous-espaces et les matrices, il faut revenir aux définitions : indépendance linéaire, stabilité et identité matricielle. Une anomalie d’impression ne doit jamais être masquée par une réponse forcée.
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