Concours ENSAM 2013 — Mathématiques
Concours commun d’accès en première année — ENSAM Meknès-Casablanca.
Lundi 29 juillet 2013 — Sciences Mathématiques A et B — Durée : 2 h 02 min — 26 réponses précises.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2013 pour les filières Sciences Mathématiques A et B.
Les questions sont indépendantes, à réponse précise, et chacune est notée sur \(2\) points.
Consignes de l’épreuve
- Les questions sont à réponse précise.
- Les questions sont indépendantes.
- Chaque réponse est notée sur \(2\) points.
- Durée imprimée sur le sujet : 2 h 02 min.
Énoncé — ENSAM 2013 — Mathématiques
Question 1 — Logique — négation d’une proposition sur la parité
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ n\in\mathbb N\text{ est pair}, \qquad (q):\ n\in\mathbb N\text{ est impair}. \]Question 2 — Logique — fonction paire et fonction impaire
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ f\text{ est paire}, \qquad (q):\ f\text{ est impaire}. \]Question 3 — Logique — appartenance à une ville
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ \text{Ali est Meknassi}, \qquad (q):\ \text{Ali est Casablancais}. \]Question 4 — Logique — voyage et bagages
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ \text{Mohammed ne voyage jamais sans bagages}, \] \[ (q):\ \text{Mohammed voyage toujours avec des bagages}. \]Question 5 — Système avec logarithmes
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2-y^2=12,\\[2mm] \ln x-\ln y=\ln2. \end{cases} \]Question 6 — Progression arithmétique
Déterminer trois réels \(a\), \(b\) et \(c\), en progression arithmétique, tels que :
\[ \begin{cases} a+b+c=9,\\[2mm] a^3+b^3+c^3=153. \end{cases} \]Question 7 — Équation trigonométrique composée
Déterminer l’ensemble des réels \(x\) tels que :
\[ \sin(\sin x)=1. \]Question 8 — Forme algébrique d’un nombre complexe
Mettre sous la forme \(a+ib\), avec \(a,b\in\mathbb R\), le nombre complexe :
\[ z= \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i}. \]Question 9 — Cardinal d’un ensemble de parties
Calculer :
\[ n=\operatorname{card}(E), \qquad E=\mathcal P\bigl(\mathcal P(\{1,2\})\bigr). \]Question 10 — Somme double avec max(i,j)
Pour \(n\in\mathbb N\), calculer :
\[ A_n= \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} \max(i,j), \]sachant que :
\[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}2 \]et :
\[ \sum_{k=0}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]Question 11 — Produit télescopique
Soit \(n\in\mathbb N\) tel que \(n\ge3\). Calculer :
\[ B_n= \prod_{k=3}^{n} \frac{k^2-1}{k^2+k-6}. \]Question 12 — Suite de milieux sur un segment
On considère un segment \([A,B]\) de longueur \(a\).
Soit \(M_1\) le milieu de \([A,B]\), \(M_2\) le milieu de \([B,M_1]\), \(M_3\) le milieu de \([M_1,M_2]\), \(M_4\) le milieu de \([M_2,M_3]\), et ainsi de suite.
Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(M_{n+2}\) est le milieu de \([M_n,M_{n+1}]\).
Exprimer la longueur \(AM_n\) en fonction de \(n\).
Question 13 — Domaine de définition avec des racines imbriquées
Déterminer le domaine de définition de la fonction :
\[ f(x)= \sqrt{10-x-6\sqrt{x-1}} - \sqrt{5-x-4\sqrt{x-1}}. \]Question 14 — Fonctions croissantes et périodiques
Quelles sont les fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) qui sont à la fois croissantes et périodiques ?
Question 15 — Composition de deux fonctions définies par morceaux
Calculer \(g\circ f\), sachant que :
\[ f(x)= \begin{cases} x+3,&x\ge0,\\ x^2,&x\lt0, \end{cases} \]et :
\[ g(x)= \begin{cases} 2x+1,&x\le3,\\ x,&x\gt3. \end{cases} \]Question 16 — Construction graphique d’une fonction
Dessiner l’allure d’une fonction \(f\) vérifiant les conditions suivantes :
- \(f\) est continue sur \([0,1]\) ;
- \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) ;
- pour tout \(x\in[0,1]\), \(f(x)\le x\) ;
- \(f\) n’est pas bijective.
Question 17 — Limite avec valeur absolue
Calculer :
\[ L= \lim_{x\to0} \frac{\sin x+\tan x}{\sqrt{x^2}}. \]Question 18 — Équation polynomiale fonctionnelle
Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant :
\[ P(2t)=P'(t)P''(t), \qquad \forall t\in\mathbb R. \]Question 19 — Dérivée d’une fonction composée
On considère une fonction \(h\), dérivable sur \(\mathbb R^\ast\), telle que :
\[ h'(x)=\frac1x. \]On pose :
\[ F(x)=h\left(x+\sqrt{1+x^2}\right). \]Calculer \(F'(x)\).
Question 20 — Dérivée d’une fonction réciproque
Soit \(f\) la fonction réelle définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}. \]On note \(g\) la fonction réciproque de \(f\). Calculer :
\[ g'(1). \]Question 21 — Encadrement d’un logarithme
Déterminer les quatre réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) pour que, pour tout \(x\gt0\) :
\[ \frac{a}{x+b} \le \ln\left(1+\frac1x\right) \le \frac{c}{x+d}. \]Question 22 — Intégrale d’une valeur absolue
Calculer :
\[ I= \int_0^{11} \left|x^2-5x+6\right|\,dx. \]Question 23 — Minimum sous contrainte
Déterminer le minimum de l’expression :
\[ x^2+y^2 \]sous la contrainte :
\[ x+2y=5. \]Question 24 — Calcul d’une moyenne
Le professeur de mathématiques est enrhumé. Il utilise des mouchoirs carrés de \(25\ \text{cm}\) de côté.
En huit jours, il a utilisé \(6\ \text{m}^2\) de tissu.
Combien de mouchoirs a-t-il utilisés, en moyenne, par jour ?
Question 25 — Problème de masse
Une boîte de bonbons pèse \(1\ \text{kg}\).
La boîte vide pèse \(900\ \text{g}\) de moins que les bonbons.
Quel est le poids \(P\) de la boîte vide ?
Question 26 — Défi numérique
De quelle façon peut-on obtenir \(100\) en utilisant :
- un seul chiffre choisi parmi \(0,1,\ldots,9\) ;
- ce chiffre exactement six fois ;
- deux opérations parmi \(+\), \(-\), \(\times\) et \(\div\) ?
Conseil de travail
Les questions étant indépendantes, commencer par celles dont la méthode est immédiatement identifiable, puis revenir aux questions demandant davantage de calcul ou de raisonnement.
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