Correction Concours ENSAM 2013 — Mathématiques
Sciences Mathématiques A et B — Lundi 29 juillet 2013.
Correction pédagogique détaillée des 26 questions.
Cette page présente la correction détaillée de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2013. Chaque réponse est justifiée par une méthode exacte et adaptée au niveau du sujet.
Correction détaillée
Question 1 — Logique — négation d’une proposition sur la parité
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ n\in\mathbb N\text{ est pair}, \qquad (q):\ n\in\mathbb N\text{ est impair}. \]Tout entier naturel est soit pair, soit impair, et il ne peut pas être les deux à la fois.
La négation de :
\[ p:\quad n\text{ est pair} \]est :
\[ \overline p:\quad n\text{ n’est pas pair}. \]Pour un entier naturel, « ne pas être pair » signifie exactement « être impair ».
Question 2 — Logique — fonction paire et fonction impaire
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ f\text{ est paire}, \qquad (q):\ f\text{ est impaire}. \]La négation de :
\[ p:\quad f\text{ est paire} \]est :
\[ \overline p:\quad f\text{ n’est pas paire}. \]Une fonction qui n’est pas paire n’est pas nécessairement impaire. Par exemple :
\[ f(x)=x+1 \]n’est ni paire ni impaire.
Question 3 — Logique — appartenance à une ville
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ \text{Ali est Meknassi}, \qquad (q):\ \text{Ali est Casablancais}. \]La négation de :
\[ p:\quad \text{Ali est Meknassi} \]est :
\[ \overline p:\quad \text{Ali n’est pas Meknassi}. \]Le fait de ne pas être Meknassi ne signifie pas nécessairement être Casablancais.
Question 4 — Logique — voyage et bagages
Répondre par Vrai ou Faux : la proposition \(q\) est-elle la négation de la proposition \(p\) ?
\[ (p):\ \text{Mohammed ne voyage jamais sans bagages}, \] \[ (q):\ \text{Mohammed voyage toujours avec des bagages}. \]La proposition :
\[ p:\quad \text{Mohammed ne voyage jamais sans bagages} \]signifie :
\[ \text{À chaque fois que Mohammed voyage, il voyage avec des bagages.} \]Elle est donc équivalente à :
\[ q:\quad \text{Mohammed voyage toujours avec des bagages}. \]Les deux propositions sont équivalentes ; l’une n’est pas la négation de l’autre.
Question 5 — Système avec logarithmes
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2-y^2=12,\\[2mm] \ln x-\ln y=\ln2. \end{cases} \]Les logarithmes imposent \(x\gt0\) et \(y\gt0\).
La deuxième équation donne :
\[ \ln x-\ln y=\ln2 \iff \ln\left(\frac xy\right)=\ln2 \iff \frac xy=2. \]Ainsi :
\[ x=2y. \]En remplaçant dans la première équation :
\[ (2y)^2-y^2=12 \iff 3y^2=12 \iff y^2=4. \]Comme \(y\gt0\), on retient \(y=2\), puis \(x=4\).
Question 6 — Progression arithmétique
Déterminer trois réels \(a\), \(b\) et \(c\), en progression arithmétique, tels que :
\[ \begin{cases} a+b+c=9,\\[2mm] a^3+b^3+c^3=153. \end{cases} \]On peut écrire :
\[ a=b-r, \qquad c=b+r. \]La relation \(a+b+c=9\) donne :
\[ 3b=9 \iff b=3. \]Ainsi :
\[ a=3-r, \qquad c=3+r. \]La deuxième relation devient :
\[ (3-r)^3+3^3+(3+r)^3=153. \]Or :
\[ (3-r)^3+(3+r)^3=54+18r^2. \]Donc :
\[ 81+18r^2=153 \iff r^2=4 \iff r=\pm2. \]Question 7 — Équation trigonométrique composée
Déterminer l’ensemble des réels \(x\) tels que :
\[ \sin(\sin x)=1. \]Pour tout réel \(x\) :
\[ -1\le\sin x\le1. \]Posons \(u=\sin x\). L’équation devient :
\[ \sin u=1. \]Les solutions de \(\sin u=1\) sont :
\[ u=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]Aucune de ces valeurs n’appartient à l’intervalle \([-1,1]\), car :
\[ \frac{\pi}{2}\gt1. \]Question 8 — Forme algébrique d’un nombre complexe
Mettre sous la forme \(a+ib\), avec \(a,b\in\mathbb R\), le nombre complexe :
\[ z= \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i}. \]On calcule d’abord :
\[ \frac{1+i}{2-i} = \frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{1+3i}{5}. \]Donc :
\[ \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 = \left(\frac{1+3i}{5}\right)^2 = \frac{-8+6i}{25}. \]D’autre part :
\[ \frac{3+6i}{3-4i} = \frac{(3+6i)(3+4i)}{25} = \frac{-15+30i}{25}. \]En additionnant :
\[ z = \frac{-8+6i-15+30i}{25} = -\frac{23}{25} +i\frac{36}{25}. \]Question 9 — Cardinal d’un ensemble de parties
Calculer :
\[ n=\operatorname{card}(E), \qquad E=\mathcal P\bigl(\mathcal P(\{1,2\})\bigr). \]Si un ensemble possède \(m\) éléments, alors son ensemble de parties en possède \(2^m\).
L’ensemble \(\{1,2\}\) possède \(2\) éléments. Ainsi :
\[ \operatorname{card}\bigl(\mathcal P(\{1,2\})\bigr)=2^2=4. \]Par conséquent :
\[ \operatorname{card}\left( \mathcal P\bigl(\mathcal P(\{1,2\})\bigr) \right) = 2^4=16. \]Question 10 — Somme double avec max(i,j)
Pour \(n\in\mathbb N\), calculer :
\[ A_n= \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} \max(i,j), \]sachant que :
\[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}2 \]et :
\[ \sum_{k=0}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \]Pour \(k\in\{0,\ldots,n\}\), on compte les couples \((i,j)\) tels que \(\max(i,j)=k\).
Le nombre de couples vérifiant \(0\le i,j\le k\) est \((k+1)^2\).
Le nombre de couples vérifiant \(0\le i,j\le k-1\) est \(k^2\).
Ainsi, le nombre de couples tels que \(\max(i,j)=k\) est :
\[ (k+1)^2-k^2=2k+1. \]Donc :
\[ A_n = \sum_{k=0}^{n}k(2k+1) = 2\sum_{k=0}^{n}k^2 + \sum_{k=0}^{n}k. \]En utilisant les formules données :
\[ A_n = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}6 + \frac{n(n+1)}2. \]Après simplification :
\[ A_n = \frac{n(n+1)(4n+5)}6. \]Question 11 — Produit télescopique
Soit \(n\in\mathbb N\) tel que \(n\ge3\). Calculer :
\[ B_n= \prod_{k=3}^{n} \frac{k^2-1}{k^2+k-6}. \]Pour \(k\ge3\) :
\[ k^2-1=(k-1)(k+1) \]et :
\[ k^2+k-6=(k-2)(k+3). \]Ainsi :
\[ B_n = \prod_{k=3}^{n} \frac{k-1}{k-2} \cdot \prod_{k=3}^{n} \frac{k+1}{k+3}. \]Le premier produit vaut :
\[ \prod_{k=3}^{n}\frac{k-1}{k-2}=n-1. \]Le second vaut :
\[ \prod_{k=3}^{n}\frac{k+1}{k+3} = \frac{4\cdot5}{(n+2)(n+3)} = \frac{20}{(n+2)(n+3)}. \]Question 12 — Suite de milieux sur un segment
On considère un segment \([A,B]\) de longueur \(a\).
Soit \(M_1\) le milieu de \([A,B]\), \(M_2\) le milieu de \([B,M_1]\), \(M_3\) le milieu de \([M_1,M_2]\), \(M_4\) le milieu de \([M_2,M_3]\), et ainsi de suite.
Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(M_{n+2}\) est le milieu de \([M_n,M_{n+1}]\).
Exprimer la longueur \(AM_n\) en fonction de \(n\).
On repère le segment par \(A=0\) et \(B=a\). On note \(u_n=AM_n\).
On a :
\[ u_1=\frac a2, \qquad u_2=\frac{3a}{4}. \]Comme \(M_{n+2}\) est le milieu de \([M_n,M_{n+1}]\) :
\[ u_{n+2}=\frac{u_n+u_{n+1}}2. \]L’équation caractéristique associée est :
\[ 2r^2-r-1=0, \]dont les racines sont :
\[ r=1 \qquad\text{et}\qquad r=-\frac12. \]Ainsi :
\[ u_n=A+B\left(-\frac12\right)^n. \]Les conditions initiales donnent :
\[ A=\frac{2a}{3}, \qquad B=\frac a3. \]Question 13 — Domaine de définition avec des racines imbriquées
Déterminer le domaine de définition de la fonction :
\[ f(x)= \sqrt{10-x-6\sqrt{x-1}} - \sqrt{5-x-4\sqrt{x-1}}. \]La présence de \(\sqrt{x-1}\) impose :
\[ x\ge1. \]Posons :
\[ t=\sqrt{x-1}\ge0, \qquad x=t^2+1. \]Le premier radicand devient :
\[ 10-x-6\sqrt{x-1} = 9-t^2-6t. \]Le second devient :
\[ 5-x-4\sqrt{x-1} = 4-t^2-4t. \]Il faut donc :
\[ 9-t^2-6t\ge0 \]et :
\[ 4-t^2-4t\ge0. \]La seconde condition, plus restrictive pour \(t\ge0\), donne :
\[ 0\le t\le2(\sqrt2-1). \]Comme \(x=t^2+1\), on obtient :
\[ 1\le x\le1+4(\sqrt2-1)^2. \]Or :
\[ 1+4(\sqrt2-1)^2=13-8\sqrt2. \]Question 14 — Fonctions croissantes et périodiques
Quelles sont les fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) qui sont à la fois croissantes et périodiques ?
Une fonction croissante ne peut revenir périodiquement à la même valeur que si elle reste constante entre deux périodes.
Soit \(T\gt0\) une période de \(f\). Pour tout \(x\in\mathbb R\) et tout \(y\in[x,x+T]\), la croissance donne :
\[ f(x)\le f(y)\le f(x+T). \]Or \(T\) est une période, donc :
\[ f(x+T)=f(x). \]Par conséquent :
\[ f(y)=f(x). \]Ainsi, \(f\) est constante sur tout intervalle \([x,x+T]\), donc sur \(\mathbb R\).
Réciproquement, toute fonction constante est croissante et périodique.
Question 15 — Composition de deux fonctions définies par morceaux
Calculer \(g\circ f\), sachant que :
\[ f(x)= \begin{cases} x+3,&x\ge0,\\ x^2,&x\lt0, \end{cases} \]et :
\[ g(x)= \begin{cases} 2x+1,&x\le3,\\ x,&x\gt3. \end{cases} \]On étudie séparément les valeurs de \(f(x)\).
Cas \(x\lt0\)On a \(f(x)=x^2\).
- Si \(x^2\le3\), c’est-à-dire \(-\sqrt3\le x\lt0\), alors : \[ g(f(x))=2x^2+1. \]
- Si \(x^2\gt3\), c’est-à-dire \(x\lt-\sqrt3\), alors : \[ g(f(x))=x^2. \]
On a \(f(x)=x+3\).
- Pour \(x=0\), \(f(0)=3\), donc : \[ g(f(0))=g(3)=7. \]
- Pour \(x\gt0\), \(f(x)=x+3\gt3\), donc : \[ g(f(x))=x+3. \]
Question 16 — Construction graphique d’une fonction
Dessiner l’allure d’une fonction \(f\) vérifiant les conditions suivantes :
- \(f\) est continue sur \([0,1]\) ;
- \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) ;
- pour tout \(x\in[0,1]\), \(f(x)\le x\) ;
- \(f\) n’est pas bijective.
On cherche une fonction continue, située sous la droite \(y=x\), reliant \((0,0)\) à \((1,1)\), mais non injective.
On peut choisir :
\[ f(x)= \begin{cases} 0,&0\le x\le\frac12,\\[2mm] 2x-1,&\frac12\le x\le1. \end{cases} \]Cette fonction est continue sur \([0,1]\), car les deux expressions valent \(0\) en \(x=\frac12\).
Elle vérifie :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1. \]Sur \(\left[0,\frac12\right]\), on a \(f(x)=0\le x\).
Sur \(\left[\frac12,1\right]\) :
\[ 2x-1\le x \iff x\le1. \]Enfin, elle n’est pas injective, puisque tous les points de \(\left[0,\frac12\right]\) ont la même image \(0\).
Question 17 — Limite avec valeur absolue
Calculer :
\[ L= \lim_{x\to0} \frac{\sin x+\tan x}{\sqrt{x^2}}. \]Comme :
\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]on écrit, pour \(x\ne0\) :
\[ \frac{\sin x+\tan x}{|x|} = \frac{x}{|x|} \left( \frac{\sin x}{x} + \frac{\tan x}{x} \right). \]Or :
\[ \frac{\sin x}{x}\longrightarrow1 \qquad\text{et}\qquad \frac{\tan x}{x}\longrightarrow1. \]Ainsi, le facteur entre parenthèses tend vers \(2\).
Lorsque \(x\to0^+\), \(\frac{x}{|x|}=1\), donc :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x+\tan x}{|x|} =2. \]Lorsque \(x\to0^-\), \(\frac{x}{|x|}=-1\), donc :
\[ \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x+\tan x}{|x|} =-2. \]Question 18 — Équation polynomiale fonctionnelle
Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant :
\[ P(2t)=P'(t)P''(t), \qquad \forall t\in\mathbb R. \]On traite d’abord le polynôme nul, puis les polynômes non nuls.
Le polynôme nul vérifie l’égalité.
Soit maintenant \(P\) non nul de degré \(n\).
Si \(n\ge2\), alors :
\[ \deg(P(2t))=n \]et :
\[ \deg(P'P'')=(n-1)+(n-2)=2n-3. \]Il faut donc :
\[ n=2n-3, \]d’où :
\[ n=3. \]Les degrés \(0\), \(1\) et \(2\) ne donnent aucun polynôme non nul satisfaisant l’égalité.
Écrivons alors :
\[ P(t)=at^3+bt^2+ct+d, \qquad a\ne0. \]On a :
\[ P(2t)=8at^3+4bt^2+2ct+d. \]D’autre part :
\[ P'(t)=3at^2+2bt+c \]et :
\[ P''(t)=6at+2b. \]La comparaison des coefficients dans \(P(2t)=P'(t)P''(t)\) donne :
\[ 8a=18a^2, \] \[ 4b=18ab, \] \[ 2c=6ac+4b^2, \] \[ d=2bc. \]Comme \(a\ne0\), on obtient successivement :
\[ a=\frac49, \qquad b=0, \qquad c=0, \qquad d=0. \]Question 19 — Dérivée d’une fonction composée
On considère une fonction \(h\), dérivable sur \(\mathbb R^\ast\), telle que :
\[ h'(x)=\frac1x. \]On pose :
\[ F(x)=h\left(x+\sqrt{1+x^2}\right). \]Calculer \(F'(x)\).
Posons :
\[ u(x)=x+\sqrt{1+x^2}. \]On a \(u(x)\gt0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), donc \(h'(u(x))\) est bien défini.
Par dérivation d’une fonction composée :
\[ F'(x)=h'(u(x))u'(x). \]Or :
\[ h'(u(x))=\frac1{x+\sqrt{1+x^2}} \]et :
\[ u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}. \]Par conséquent :
\[ F'(x) = \frac1{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}. \]Question 20 — Dérivée d’une fonction réciproque
Soit \(f\) la fonction réelle définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}. \]On note \(g\) la fonction réciproque de \(f\). Calculer :
\[ g'(1). \]Pour tout réel \(x\), on a :
\[ f'(x)=\frac{3}{2(x^2+x+1)^{3/2}}>0. \]De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-2 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=2. \]La fonction \(f\) est donc strictement croissante de \(\mathbb R\) sur \(]-2,2[\), et elle y admet une fonction réciproque \(g\).
On cherche maintenant \(x_0\) tel que :
\[ f(x_0)=1. \]L’équation :
\[ \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=1 \]impose \(2x+1>0\). En élevant au carré :
\[ (2x+1)^2=x^2+x+1. \]Donc :
\[ 3x^2+3x=0 \iff x=0 \quad\text{ou}\quad x=-1. \]La condition \(2x+1>0\) élimine \(x=-1\). Ainsi :
\[ g(1)=0. \]Enfin :
\[ f'(0)=\frac32. \]Question 21 — Encadrement d’un logarithme
Déterminer les quatre réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) pour que, pour tout \(x\gt0\) :
\[ \frac{a}{x+b} \le \ln\left(1+\frac1x\right) \le \frac{c}{x+d}. \]Pour \(x\gt0\) :
\[ \ln\left(1+\frac1x\right) = \ln(x+1)-\ln x = \int_x^{x+1}\frac{dt}{t}. \]La fonction \(t\mapsto\frac1t\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\). Pour \(t\in[x,x+1]\) :
\[ \frac1{x+1} \le \frac1t \le \frac1x. \]En intégrant sur un intervalle de longueur \(1\) :
\[ \frac1{x+1} \le \ln\left(1+\frac1x\right) \le \frac1x. \]Question 22 — Intégrale d’une valeur absolue
Calculer :
\[ I= \int_0^{11} \left|x^2-5x+6\right|\,dx. \]On factorise :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]Le polynôme est positif sur \([0,2]\), négatif sur \([2,3]\), puis positif sur \([3,11]\).
Ainsi :
\[ I = \int_0^2(x^2-5x+6)\,dx - \int_2^3(x^2-5x+6)\,dx + \int_3^{11}(x^2-5x+6)\,dx. \]Une primitive est :
\[ F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+6x. \]Le calcul donne :
\[ I=\frac{415}{2}. \]Question 23 — Minimum sous contrainte
Déterminer le minimum de l’expression :
\[ x^2+y^2 \]sous la contrainte :
\[ x+2y=5. \]Sous la contrainte \(x+2y=5\), on obtient :
\[ 5(x^2+y^2)\ge25. \]Donc :
\[ x^2+y^2\ge5. \]L’égalité dans Cauchy-Schwarz est réalisée lorsque :
\[ (x,y)=\lambda(1,2). \]La contrainte donne :
\[ \lambda+4\lambda=5 \iff \lambda=1. \]Ainsi, l’égalité est atteinte pour :
\[ (x,y)=(1,2). \]Question 24 — Calcul d’une moyenne
Le professeur de mathématiques est enrhumé. Il utilise des mouchoirs carrés de \(25\ \text{cm}\) de côté.
En huit jours, il a utilisé \(6\ \text{m}^2\) de tissu.
Combien de mouchoirs a-t-il utilisés, en moyenne, par jour ?
Le côté d’un mouchoir est :
\[ 25\ \text{cm}=0{,}25\ \text{m}. \]Son aire est donc :
\[ 0{,}25^2=0{,}0625\ \text{m}^2=\frac1{16}\ \text{m}^2. \]Avec \(6\ \text{m}^2\) de tissu, le nombre total de mouchoirs utilisés est :
\[ 6\div\frac1{16}=96. \]En huit jours, la moyenne quotidienne est :
\[ \frac{96}{8}=12. \]Question 25 — Problème de masse
Une boîte de bonbons pèse \(1\ \text{kg}\).
La boîte vide pèse \(900\ \text{g}\) de moins que les bonbons.
Quel est le poids \(P\) de la boîte vide ?
Notons \(B\) la masse de la boîte vide et \(C\) la masse des bonbons, en grammes.
La masse totale donne :
\[ B+C=1000. \]La boîte vide pèse \(900\) grammes de moins que les bonbons :
\[ C-B=900. \]En additionnant les deux égalités :
\[ 2C=1900, \]d’où :
\[ C=950. \]Alors :
\[ B=1000-950=50. \]Question 26 — Défi numérique
De quelle façon peut-on obtenir \(100\) en utilisant :
- un seul chiffre choisi parmi \(0,1,\ldots,9\) ;
- ce chiffre exactement six fois ;
- deux opérations parmi \(+\), \(-\), \(\times\) et \(\div\) ?
On choisit le chiffre \(9\), utilisé exactement six fois :
\[ 99+\frac{99}{99}. \]Cette expression utilise :
- les six chiffres \(9\) de \(99\), \(99\) et \(99\) ;
- les deux opérations \(+\) et \(\div\).
Or :
\[ 99+\frac{99}{99} = 99+1 = 100. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | Vrai |
| Q2 | Faux |
| Q3 | Faux |
| Q4 | Faux |
| Q5 | \((x,y)=(4,2)\) |
| Q6 | \((1,3,5)\) ou \((5,3,1)\) |
| Q7 | \(\varnothing\) |
| Q8 | \(-\frac{23}{25}+i\frac{36}{25}\) |
| Q9 | \(16\) |
| Q10 | \(\frac{n(n+1)(4n+5)}6\) |
| Q11 | \(\frac{20(n-1)}{(n+2)(n+3)}\) |
| Q12 | \(\frac a3\left(2+(-\frac12)^n\right)\) |
| Q13 | \([1,13-8\sqrt2]\) |
| Q14 | Fonctions constantes |
| Q15 | Fonction par morceaux détaillée |
| Q16 | Un exemple continu non injectif |
| Q17 | La limite n’existe pas |
| Q18 | \(P=0\) ou \(P(t)=\frac49t^3\) |
| Q19 | \(\frac1{\sqrt{1+x^2}}\) |
| Q20 | \(\frac23\) |
| Q21 | \(a=1,\ b=1,\ c=1,\ d=0\) |
| Q22 | \(\frac{415}{2}\) |
| Q23 | \(5\) |
| Q24 | \(12\) mouchoirs par jour |
| Q25 | \(50\ \text{g}\) |
| Q26 | \(100=99+\frac{99}{99}\) |
Anomalies objectives du sujet
Question 21 : prise littéralement, la question ne détermine pas un unique quadruplet \((a,b,c,d)\) sans condition d’optimalité. La correction donne les deux bornes classiques optimales attendues.
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