Concours ENSAM 2014 — Mathématiques
Concours d’accès en première année des années préparatoires de l’ENSAM Casablanca-Meknès.
Samedi 2 août 2014 — Sciences Mathématiques A et B — Durée : 2 h — 25 questions.
Compétences et points clés
ENSAM 2014 explore des sommes, des identités trigonométriques, une réciproque et des questions de matrices. Les réponses précises exigent autant de soin que les QCM : une simplification doit rester valable sur tout le domaine indiqué.
Prérequis à revoir : inégalités, limites de suites et comptage des termes; sinus, cosinus, angles et identités usuelles; produit matriciel et combinaison linéaire.
Rappels de cours utiles
Encadrement et comparaison. Pour étudier une somme dépendant d’un entier, encadrer chaque terme, puis multiplier les bornes obtenues par le nombre exact de termes. Le théorème des gendarmes s’applique lorsque les deux bornes convergent vers la même limite. Le sens d’une inégalité doit être contrôlé lors d’une division.
Trigonométrie et signes. Les identités trigonométriques s’utilisent en conservant leur domaine de validité. Dans une expression contenant une tangente ou un quotient, exclure les zéros du dénominateur. Un angle s’interprète avec son quadrant ; une racine carrée donne une valeur positive ou nulle, ce qui peut imposer une valeur absolue.
Matrices et dimension. Le produit de matrices dépend de l’ordre des facteurs. Pour des matrices carrées de même ordre, si A annule par multiplication une matrice B non nulle, A n’est pas inversible. Pour vérifier un inverse proposé, contrôler le produit. Une base doit à la fois engendrer l’espace étudié et être libre.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Encadrer les termes de la somme initiale en tenant compte de leur nombre. Pour l’intégrale trigonométrique, chercher une symétrie entre les deux expressions. Dans les questions matricielles et vectorielles, montrer la propriété demandée par un calcul ou une relation, plutôt que par l’apparence du tableau.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2014 pour les séries Sciences Mathématiques A et B.
L’épreuve comporte \(15\) questions à réponses précises, puis \(10\) questions à choix multiples.
Consignes de l’épreuve
- Questions 1 à 15 : une réponse correcte rapporte \(2\) points ; une absence de réponse ou une réponse fausse rapporte \(0\) point.
- Questions 16 à 25 : une réponse correcte rapporte \(2\) points.
- Dans le QCM, une absence de réponse rapporte \(0\) point.
- Dans le QCM, une réponse fausse ou plusieurs réponses cochées retirent \(1\) point.
Énoncé — ENSAM 2014 — Mathématiques
Question 1 — Limite d’une suite
Calculer la limite de la suite \((u_n)_n\) définie par :
\[ u_n= \frac{n}{\sqrt{n^4+1}} +\frac{n}{\sqrt{n^4+2}} +\cdots+ \frac{n}{\sqrt{n^4+n}}. \]Question 2 — Système trigonométrique
Déterminer, dans \([0,2\pi]^2\), l’ensemble \(S\) des solutions du système :
\[ \begin{cases} \sqrt2\cos x-\cos x\cos y=\dfrac12,\\[2mm] \sin x+\cos y=\sqrt2. \end{cases} \]Question 3 — Forme algébrique d’un nombre complexe
Déterminer la forme algébrique de :
\[ z= \left( \sqrt{2-\sqrt3} -i\sqrt{2+\sqrt3} \right)^{42}. \]Question 4 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Déterminer \(\Gamma\), l’ensemble des points du plan complexe dont les affixes \(z\) vérifient :
\[ (iz+1)(z+i-1)\in i\mathbb R. \]Question 5 — Produit trigonométrique
Soit \(a\in]0,\pi[\). Calculer :
\[ D= \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{a}{2^k}\right). \]Question 6 — Somme avec des factorielles
Calculer :
\[ A_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}. \]Question 7 — Partie entière et limite
Calculer :
\[ \ell= \lim_{x\to0} x^2 \left( 1+2+3+\cdots+ E\left(\frac1{|x|}\right) \right). \]Question 8 — Limite avec des racines
Évaluer la limite :
\[ j= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}. \]Question 9 — Équation fonctionnelle
Trouver toutes les applications dérivables :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]telles que :
\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y). \]Question 10 — Dérivée exprimée en fonction de g
Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ \forall x\in]0,\pi[,\qquad g(x)=|\cos x|\sqrt{1-\cos x}. \]Calculer \(g'(x)\) en fonction de \(g(x)\), pour :
\[ x\in]0,\pi[\setminus\left\{\frac{\pi}{2}\right\}. \]Question 11 — Fonction réciproque
Soit \(h\) définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :
\[ h(x)=\ln\left|e^x-e^{2x}\right|. \]Déterminer \(h^{-1}\).
Question 12 — Limite d’une intégrale
Calculer :
\[ K= \lim_{\alpha\to0^+} \int_{\alpha}^{1} \frac{\arctan(x)}{x^2}\,dx. \]Question 13 — Calcul d’une intégrale
Calculer l’intégrale :
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. \]Question 14 — Équation différentielle
Résoudre l’équation différentielle :
\[ y''+2y'+10y=\sin(3x), \]sous les conditions :
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}y(t)\,dt=0 \qquad\text{et}\qquad y'(\pi)=\frac6{37}. \]Question 15 — Équation dans les entiers naturels
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation :
\[ x^2-y^2=404. \]Question 16 — Matrice non inversible
Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice :
\[ M= \begin{pmatrix} -1&-1&-2m\\ 1&-m+1&1\\ 2&3&m \end{pmatrix} \]n’est pas inversible ?
Question 17 — Signe d’une fonction
Sur \([0,+\infty[\), la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=|x|+\ln(x+1) \]est :
Question 18 — Étude locale et asymptote
Soit \(f\) définie par :
\[ f(0)=\frac1e, \qquad f(e)=0, \]et, pour les autres valeurs de son domaine :
\[ f(x)= e^{\frac{1+\ln x}{1-\ln x}}. \]Alors sa courbe \(C_f\) admet :
Question 19 — Probabilité de tirer les lettres de SMARA
Dans une boîte se trouvent \(14\) jetons portant chacun une lettre du nom « SAHARA MAROCAIN ».
On tire successivement et sans remise \(5\) jetons. Quelle est la probabilité de tirer les lettres du nom « SMARA » dans un ordre quelconque ?
Question 20 — Probabilité et équation du second degré
Une boîte \(B_1\) contient deux jetons numérotés \(1\) et \(3\). Une boîte \(B_2\) contient deux jetons numérotés \(2\) et \(2\). Une boîte \(B_3\) contient deux jetons numérotés \(1\) et \(0\).
On tire au hasard un jeton \(a\) de \(B_1\), un jeton \(b\) de \(B_2\) et un jeton \(c\) de \(B_3\).
Quelle est la probabilité pour que l’équation :
\[ ax^2+bx+c=0 \]admette des racines réelles ?
Question 21 — Plan tangent à une sphère
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les deux points :
\[ A(-1,1,1) \qquad\text{et}\qquad B(7,-5,5). \]Soit \(S\) la sphère dont l’un des diamètres est le segment \([AB]\).
Le plan tangent à \(S\) au point \(C(1,1,-1)\) est :
Question 22 — Suite définie par une intégrale
Soit \((u_n)_n\) la suite de terme général :
\[ u_n= \int_0^1 \frac{e^{nx}}{1+e^x} \,dx. \]Alors :
Question 23 — Dimension d’un espace vectoriel
Soit \(E\) l’espace vectoriel défini par :
\[ E= \left\{ (x,y,z,t)\in\mathbb R^4 \ \middle|\ x+y+z+t=0 \ \text{et}\ 2x+y=0 \right\}. \]Quelle est la dimension de \(E\) ?
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Combien l’équation :
\[ \tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0 \]possède-t-elle de solutions dans :
\[ \left[0,\frac{2\pi}{3}\right]? \]Question 25 — Limite d’un produit trigonométrique
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{2^k\pi}{2^n-1} \right). \]Conseil de travail
Commencer par les questions à réponses précises, puis traiter le QCM en tenant compte de son barème spécifique.
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