Concours ENSAM 2014 — Mathématiques
Concours d’accès en première année des années préparatoires de l’ENSAM Casablanca-Meknès.
Samedi 2 août 2014 — Sciences Mathématiques A et B — Durée : 2 h — 25 questions.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2014 pour les séries Sciences Mathématiques A et B.
L’épreuve comporte \(15\) questions à réponses précises, puis \(10\) questions à choix multiples.
Consignes de l’épreuve
- Questions 1 à 15 : une réponse correcte rapporte \(2\) points ; une absence de réponse ou une réponse fausse rapporte \(0\) point.
- Questions 16 à 25 : une réponse correcte rapporte \(2\) points.
- Dans le QCM, une absence de réponse rapporte \(0\) point.
- Dans le QCM, une réponse fausse ou plusieurs réponses cochées retirent \(1\) point.
Énoncé — ENSAM 2014 — Mathématiques
Question 1 — Limite d’une suite
Calculer la limite de la suite \((u_n)_n\) définie par :
\[ u_n= \frac{n}{\sqrt{n^4+1}} +\frac{n}{\sqrt{n^4+2}} +\cdots+ \frac{n}{\sqrt{n^4+n}}. \]Question 2 — Système trigonométrique
Déterminer, dans \([0,2\pi]^2\), l’ensemble \(S\) des solutions du système :
\[ \begin{cases} \sqrt2\cos x-\cos x\cos y=\dfrac12,\\[2mm] \sin x+\cos y=\sqrt2. \end{cases} \]Question 3 — Forme algébrique d’un nombre complexe
Déterminer la forme algébrique de :
\[ z= \left( \sqrt{2-\sqrt3} -i\sqrt{2+\sqrt3} \right)^{42}. \]Question 4 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Déterminer \(\Gamma\), l’ensemble des points du plan complexe dont les affixes \(z\) vérifient :
\[ (iz+1)(z+i-1)\in i\mathbb R. \]Question 5 — Produit trigonométrique
Soit \(a\in]0,\pi[\). Calculer :
\[ D= \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{a}{2^k}\right). \]Question 6 — Somme avec des factorielles
Calculer :
\[ A_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}. \]Question 7 — Partie entière et limite
Calculer :
\[ \ell= \lim_{x\to0} x^2 \left( 1+2+3+\cdots+ E\left(\frac1{|x|}\right) \right). \]Question 8 — Limite avec des racines
Évaluer la limite :
\[ j= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}. \]Question 9 — Équation fonctionnelle
Trouver toutes les applications dérivables :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]telles que :
\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y). \]Question 10 — Dérivée exprimée en fonction de g
Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ \forall x\in]0,\pi[,\qquad g(x)=|\cos x|\sqrt{1-\cos x}. \]Calculer \(g'(x)\) en fonction de \(g(x)\), pour :
\[ x\in]0,\pi[\setminus\left\{\frac{\pi}{2}\right\}. \]Question 11 — Fonction réciproque
Soit \(h\) définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :
\[ h(x)=\ln\left|e^x-e^{2x}\right|. \]Déterminer \(h^{-1}\).
Question 12 — Limite d’une intégrale
Calculer :
\[ K= \lim_{\alpha\to0^+} \int_{\alpha}^{1} \frac{\arctan(x)}{x^2}\,dx. \]Question 13 — Calcul d’une intégrale
Calculer l’intégrale :
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. \]Question 14 — Équation différentielle
Résoudre l’équation différentielle :
\[ y''+2y'+10y=\sin(3x), \]sous les conditions :
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}y(t)\,dt=0 \qquad\text{et}\qquad y'(\pi)=\frac6{37}. \]Question 15 — Équation dans les entiers naturels
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation :
\[ x^2-y^2=404. \]Question 16 — Matrice non inversible
Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice :
\[ M= \begin{pmatrix} -1&-1&-2m\\ 1&-m+1&1\\ 2&3&m \end{pmatrix} \]n’est pas inversible ?
Question 17 — Signe d’une fonction
Sur \([0,+\infty[\), la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=|x|+\ln(x+1) \]est :
Question 18 — Étude locale et asymptote
Soit \(f\) définie par :
\[ f(0)=\frac1e, \qquad f(e)=0, \]et, pour les autres valeurs de son domaine :
\[ f(x)= e^{\frac{1+\ln x}{1-\ln x}}. \]Alors sa courbe \(C_f\) admet :
Question 19 — Probabilité de tirer les lettres de SMARA
Dans une boîte se trouvent \(14\) jetons portant chacun une lettre du nom « SAHARA MAROCAIN ».
On tire successivement et sans remise \(5\) jetons. Quelle est la probabilité de tirer les lettres du nom « SMARA » dans un ordre quelconque ?
Question 20 — Probabilité et équation du second degré
Une boîte \(B_1\) contient deux jetons numérotés \(1\) et \(3\). Une boîte \(B_2\) contient deux jetons numérotés \(2\) et \(2\). Une boîte \(B_3\) contient deux jetons numérotés \(1\) et \(0\).
On tire au hasard un jeton \(a\) de \(B_1\), un jeton \(b\) de \(B_2\) et un jeton \(c\) de \(B_3\).
Quelle est la probabilité pour que l’équation :
\[ ax^2+bx+c=0 \]admette des racines réelles ?
Question 21 — Plan tangent à une sphère
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les deux points :
\[ A(-1,1,1) \qquad\text{et}\qquad B(7,-5,5). \]Soit \(S\) la sphère dont l’un des diamètres est le segment \([AB]\).
Le plan tangent à \(S\) au point \(C(1,1,-1)\) est :
Question 22 — Suite définie par une intégrale
Soit \((u_n)_n\) la suite de terme général :
\[ u_n= \int_0^1 \frac{e^{nx}}{1+e^x} \,dx. \]Alors :
Question 23 — Dimension d’un espace vectoriel
Soit \(E\) l’espace vectoriel défini par :
\[ E= \left\{ (x,y,z,t)\in\mathbb R^4 \ \middle|\ x+y+z+t=0 \ \text{et}\ 2x+y=0 \right\}. \]Quelle est la dimension de \(E\) ?
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Combien l’équation :
\[ \tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0 \]possède-t-elle de solutions dans :
\[ \left[0,\frac{2\pi}{3}\right]? \]Question 25 — Limite d’un produit trigonométrique
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{2^k\pi}{2^n-1} \right). \]Conseil de travail
Commencer par les questions à réponses précises, puis traiter le QCM en tenant compte de son barème spécifique.
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