Correction Concours ENSAM 2014 — Mathématiques
Sciences Mathématiques A et B — Samedi 2 août 2014.
Correction pédagogique détaillée des 25 questions.
Cette page présente la correction détaillée de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2014. Les calculs, les conditions d’application et les réponses finales sont explicités question par question.
Correction détaillée
Question 1 — Limite d’une suite
Calculer la limite de la suite \((u_n)_n\) définie par :
\[ u_n= \frac{n}{\sqrt{n^4+1}} +\frac{n}{\sqrt{n^4+2}} +\cdots+ \frac{n}{\sqrt{n^4+n}}. \]La somme contient \(n\) termes. On encadre chacun d’eux indépendamment de \(k\).
Pour \(1\le k\le n\), on a :
\[ n^4+1\le n^4+k\le n^4+n. \]La fonction racine carrée étant croissante :
\[ \frac{n}{\sqrt{n^4+n}} \le \frac{n}{\sqrt{n^4+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^4+1}}. \]En sommant les \(n\) inégalités :
\[ \frac{n^2}{\sqrt{n^4+n}} \le u_n\le \frac{n^2}{\sqrt{n^4+1}}. \]Or :
\[ \frac{n^2}{\sqrt{n^4+n}} = \frac1{\sqrt{1+\frac1{n^3}}} \longrightarrow1, \]et :
\[ \frac{n^2}{\sqrt{n^4+1}} = \frac1{\sqrt{1+\frac1{n^4}}} \longrightarrow1. \]Question 2 — Système trigonométrique
Déterminer, dans \([0,2\pi]^2\), l’ensemble \(S\) des solutions du système :
\[ \begin{cases} \sqrt2\cos x-\cos x\cos y=\dfrac12,\\[2mm] \sin x+\cos y=\sqrt2. \end{cases} \]La seconde équation permet de remplacer \(\sqrt2-\cos y\) par \(\sin x\) dans la première.
La première équation s’écrit :
\[ \cos x\left(\sqrt2-\cos y\right)=\frac{1}{2}. \]D’après la seconde équation :
\[ \sqrt2-\cos y=\sin x. \]Donc :
\[ \sin x\cos x=\frac{1}{2} \iff \sin(2x)=1. \]Dans \([0,2\pi]\), on obtient :
\[ x=\frac{\pi}{4} \quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{4}. \]Si \(x=\frac{\pi}{4}\), alors :
\[ \cos y=\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}, \]d’où :
\[ y=\frac{\pi}{4} \quad\text{ou}\quad y=\frac{7\pi}{4}. \]Si \(x=\frac{5\pi}{4}\), on aurait :
\[ \cos y=\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2}\gt1, \]ce qui est impossible.
Question 3 — Forme algébrique d’un nombre complexe
Déterminer la forme algébrique de :
\[ z= \left( \sqrt{2-\sqrt3} -i\sqrt{2+\sqrt3} \right)^{42}. \]On détermine le module et un argument du nombre placé entre parenthèses.
Posons :
\[ w= \sqrt{2-\sqrt3} -i\sqrt{2+\sqrt3}. \]Son module est :
\[ |w| = \sqrt{2-\sqrt3+2+\sqrt3} =2. \]De plus :
\[ \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2=\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right), \qquad \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2=\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right). \]Ainsi :
\[ w= 2\left( \cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right) +i\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right) \right). \]Par la formule de Moivre :
\[ z=w^{42} = 2^{42} \left( \cos\left(-\frac{35\pi}{2}\right) +i\sin\left(-\frac{35\pi}{2}\right) \right). \]Or :
\[ -\frac{35\pi}{2}\equiv\frac{\pi}{2}\pmod{2\pi}. \]Question 4 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Déterminer \(\Gamma\), l’ensemble des points du plan complexe dont les affixes \(z\) vérifient :
\[ (iz+1)(z+i-1)\in i\mathbb R. \]Écrivons :
\[ z=x+iy. \]Alors :
\[ iz+1=(1-y)+ix \]et :
\[ z+i-1=(x-1)+i(y+1). \]Le produit appartient à \(i\mathbb R\) si et seulement si sa partie réelle est nulle :
\[ (1-y)(x-1)-x(y+1)=0. \]Après simplification :
\[ y-2xy-1=0 \iff y(1-2x)=1. \]La valeur \(x=\frac{1}{2}\) est impossible. On obtient donc :
\[ y=\frac1{1-2x}. \]Question 5 — Produit trigonométrique
Soit \(a\in]0,\pi[\). Calculer :
\[ D= \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{a}{2^k}\right). \]En appliquant successivement cette identité :
\[ \sin a = 2\sin\left(\frac a2\right)\cos\left(\frac a2\right), \] \[ \sin a = 2^2\sin\left(\frac a{2^2}\right) \cos\left(\frac a2\right) \cos\left(\frac a{2^2}\right), \]et, après \(n\) étapes :
\[ \sin a = 2^n \sin\left(\frac a{2^n}\right) \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac a{2^k}\right). \]Comme \(a\in]0,\pi[\), le dénominateur obtenu est non nul.
Question 6 — Somme avec des factorielles
Calculer :
\[ A_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}. \]Donc :
\[ A_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac1{k!}-\frac1{(k+1)!} \right). \]Les termes intermédiaires se simplifient :
\[ A_n = 1-\frac1{(n+1)!}. \]Question 7 — Partie entière et limite
Calculer :
\[ \ell= \lim_{x\to0} x^2 \left( 1+2+3+\cdots+ E\left(\frac1{|x|}\right) \right). \]Posons \(\displaystyle m=E\left(\frac1{|x|}\right)\). Alors :
\[ m\le\frac1{|x|}\lt m+1. \]On a :
\[ 1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}2. \]Ainsi :
\[ x^2 \left( 1+2+\cdots+ E\left(\frac1{|x|}\right) \right) = \frac{(|x|m)\bigl(|x|(m+1)\bigr)}2. \]Les inégalités définissant \(m\) donnent :
\[ |x|m\le1\lt|x|(m+1), \]et aussi :
\[ 1-|x|\lt|x|m\le1. \]Donc :
\[ |x|m\longrightarrow1 \qquad\text{et}\qquad |x|(m+1)\longrightarrow1. \]Question 8 — Limite avec des racines
Évaluer la limite :
\[ j= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[4]{x+1}}{x}. \]On reconnaît le taux d’accroissement en \(0\) d’une fonction dérivable.
Posons :
\[ \varphi(x) = (1+x)^{1/3}-(1+x)^{1/4}. \]On a \(\varphi(0)=0\), donc :
\[ j = \lim_{x\to0} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}x = \varphi'(0). \]Or :
\[ \varphi'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3} -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/4}. \]Ainsi :
\[ \varphi'(0)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac1{12}. \]Question 9 — Équation fonctionnelle
Trouver toutes les applications dérivables :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]telles que :
\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y). \]On dérive l’égalité par rapport à \(y\), puis on exploite l’invariance obtenue pour \(f'\).
L’égalité est :
\[ f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y). \]En dérivant par rapport à \(y\) :
\[ f'(x^4+y)=f'(y). \]Tout réel \(a\ge0\) peut s’écrire \(a=x^4\). Ainsi :
\[ f'(y+a)=f'(y), \qquad \forall y\in\mathbb R,\ \forall a\ge0. \]Si \(u\lt v\), on prend \(a=v-u\ge0\), et l’on obtient :
\[ f'(v)=f'(u). \]La fonction \(f'\) est donc constante. Il existe \(c,d\in\mathbb R\) tels que :
\[ f(x)=cx+d. \]En remplaçant dans l’équation :
\[ c(x^4+y)+d = x^3(cx+d)+cy+d. \]Après simplification :
\[ dx^3=0, \qquad \forall x\in\mathbb R. \]Donc \(d=0\).
Question 10 — Dérivée exprimée en fonction de g
Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ \forall x\in]0,\pi[,\qquad g(x)=|\cos x|\sqrt{1-\cos x}. \]Calculer \(g'(x)\) en fonction de \(g(x)\), pour :
\[ x\in]0,\pi[\setminus\left\{\frac{\pi}{2}\right\}. \]Pour \(x\ne\frac{\pi}{2}\), on a \(g(x)\gt0\), ce qui permet de calculer \(\frac{g'(x)}{g(x)}\).
Pour \(x\in]0,\pi[\setminus\{\frac{\pi}{2}\}\) :
\[ \ln g(x) = \ln|\cos x| +\frac{1}{2}\ln(1-\cos x). \]En dérivant :
\[ \frac{g'(x)}{g(x)} = -\tan x + \frac{\sin x}{2(1-\cos x)}. \]En réduisant au même dénominateur :
\[ \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{\sin x\,(3\cos x-2)} {2\cos x\,(1-\cos x)}. \]Question 11 — Fonction réciproque
Soit \(h\) définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :
\[ h(x)=\ln\left|e^x-e^{2x}\right|. \]Déterminer \(h^{-1}\).
Il faut d’abord vérifier que \(h\) est bijective de \(\mathbb R_+^\ast\) vers son image.
Pour \(x\gt0\), on a \(e^{2x}-e^x\gt0\), donc :
\[ h(x)=\ln(e^{2x}-e^x). \]Sa dérivée est :
\[ h'(x) = \frac{2e^{2x}-e^x}{e^{2x}-e^x} = \frac{2e^x-1}{e^x-1} \gt0. \]Ainsi, \(h\) est strictement croissante. De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty. \]Elle réalise donc une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\).
Soit \(y\in\mathbb R\). L’égalité \(y=h(x)\) donne :
\[ e^y=e^{2x}-e^x. \]Posons \(X=e^x\gt1\). Alors :
\[ X^2-X-e^y=0. \]La seule racine positive supérieure à \(1\) est :
\[ X=\frac{1+\sqrt{1+4e^y}}2. \]Question 12 — Limite d’une intégrale
Calculer :
\[ K= \lim_{\alpha\to0^+} \int_{\alpha}^{1} \frac{\arctan(x)}{x^2}\,dx. \]On prend \(u=\arctan x\) et \(dv=\frac{dx}{x^2}\).
Pour \(\alpha\gt0\) :
\[ \int_{\alpha}^{1} \frac{\arctan x}{x^2}\,dx = \left[ -\frac{\arctan x}{x} \right]_{\alpha}^{1} + \int_{\alpha}^{1} \frac{dx}{x(1+x^2)}. \]Or :
\[ \frac1{x(1+x^2)} = \frac1x-\frac{x}{1+x^2}. \]Donc :
\[ \int_{\alpha}^{1} \frac{\arctan x}{x^2}\,dx = -\frac{\pi}{4} +\frac{\arctan\alpha}{\alpha} -\frac{1}{2}\ln2 -\ln\alpha +\frac{1}{2}\ln(1+\alpha^2). \]Lorsque \(\alpha\to0^+\) :
\[ \frac{\arctan\alpha}{\alpha}\longrightarrow1, \qquad -\ln\alpha\longrightarrow+\infty, \]tandis que les autres termes restent bornés.
Question 13 — Calcul d’une intégrale
Calculer l’intégrale :
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. \]On effectue le changement de variable \(u=\frac{\pi}{2}-x\).
On a :
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. \]Par le changement de variable \(u=\frac{\pi}{2}-x\) :
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cos u}} {\sqrt{\cos u}+\sqrt{\sin u}} \,du. \]En additionnant les deux expressions :
\[ 2L = \int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,dx = \frac{\pi}{2}. \]Question 14 — Équation différentielle
Résoudre l’équation différentielle :
\[ y''+2y'+10y=\sin(3x), \]sous les conditions :
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}y(t)\,dt=0 \qquad\text{et}\qquad y'(\pi)=\frac6{37}. \]L’équation homogène associée a pour racines \(-1-3i\) et \(-1+3i\).
La solution générale de l’équation homogène est :
\[ y_h(x) = e^{-x}\left(A\cos(3x)+B\sin(3x)\right). \]On cherche une solution particulière sous la forme :
\[ y_p(x)=a\sin(3x)+b\cos(3x). \]Après substitution dans l’équation :
\[ \begin{cases} a-6b=1,\\ 6a+b=0. \end{cases} \]On obtient :
\[ a=\frac1{37}, \qquad b=-\frac6{37}. \]Ainsi :
\[ y(x) = e^{-x}\left(A\cos(3x)+B\sin(3x)\right) +\frac1{37}\sin(3x) -\frac6{37}\cos(3x). \] Première conditionOn utilise :
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-t}\cos(3t)\,dt =-\frac{3}{10}\left(e^{\pi/2}+e^{-\pi/2}\right), \] \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-t}\sin(3t)\,dt =\frac{1}{10}\left(e^{\pi/2}+e^{-\pi/2}\right), \]ainsi que :
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(3t)\,dt=0, \qquad \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(3t)\,dt=-\frac{2}{3}. \]La condition \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}y(t)\,dt=0\) donne donc :
\[ \frac{-3A+B}{10}\left(e^{\pi/2}+e^{-\pi/2}\right)+\frac{4}{37}=0. \]En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(e^{\pi/2}\), on obtient :
\[ -3A+B = -\frac{40e^{\pi/2}}{37(1+e^\pi)}. \] Seconde conditionLa condition \(y'(\pi)=\frac6{37}\) donne :
\[ A-3B=\frac{9e^\pi}{37}. \]La résolution de ce système conduit à :
\[ A= \frac{ 120e^{\pi/2}-9e^\pi(1+e^\pi) }{ 296(1+e^\pi) }, \] \[ B= \frac{ 40e^{\pi/2}-27e^\pi(1+e^\pi) }{ 296(1+e^\pi) }. \]Question 15 — Équation dans les entiers naturels
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation :
\[ x^2-y^2=404. \]L’équation devient :
\[ (x-y)(x+y)=404. \]Comme \(x,y\in\mathbb N\) et le membre de droite est strictement positif, on a \(x\gt y\). Les deux facteurs \(x-y\) et \(x+y\) sont donc des diviseurs positifs de \(404\) et ont la même parité.
Or :
\[ 404=2^2\times101. \]Parmi les couples de facteurs :
\[ (1,404),\quad(2,202),\quad(4,101), \]seul \((2,202)\) possède deux composantes de même parité.
Ainsi :
\[ x-y=2, \qquad x+y=202. \]En additionnant puis en soustrayant :
\[ x=102, \qquad y=100. \]Question 16 — Matrice non inversible
Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice :
\[ M= \begin{pmatrix} -1&-1&-2m\\ 1&-m+1&1\\ 2&3&m \end{pmatrix} \]n’est pas inversible ?
Une matrice carrée est non inversible si et seulement si son déterminant est nul.
On calcule :
\[ \det(M) = -(m+1)(3m-1). \]Ainsi :
\[ \det(M)=0 \iff m=-1 \quad\text{ou}\quad m=\frac{1}{3}. \]La deuxième valeur est strictement positive.
Question 17 — Signe d’une fonction
Sur \([0,+\infty[\), la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=|x|+\ln(x+1) \]est :
Sur \([0,+\infty[\), on a \(|x|=x\), donc :
\[ f(x)=x+\ln(1+x). \]Or :
\[ x\ge0 \qquad\text{et}\qquad \ln(1+x)\ge0. \]Par conséquent :
\[ f(x)\ge0, \]avec égalité uniquement pour \(x=0\). La fonction est strictement positive sur \(]0,+\infty[\).
Question 18 — Étude locale et asymptote
Soit \(f\) définie par :
\[ f(0)=\frac1e, \qquad f(e)=0, \]et, pour les autres valeurs de son domaine :
\[ f(x)= e^{\frac{1+\ln x}{1-\ln x}}. \]Alors sa courbe \(C_f\) admet :
Pour \(x\gt0\) et \(x\ne e\) :
\[ f(x) = \exp\left( \frac{1+\ln x}{1-\ln x} \right). \] Au voisinage de \(+\infty\)Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{1+\ln x}{1-\ln x}\longrightarrow-1, \]donc :
\[ f(x)\longrightarrow\frac1e. \]La courbe admet une asymptote horizontale \(y=\frac1e\), et non une asymptote oblique. La proposition A est fausse.
Au voisinage de \(e\)Lorsque \(x\to e^-\), le quotient dans l’exponentielle tend vers \(+\infty\), donc :
\[ f(x)\longrightarrow+\infty. \]Il n’existe donc pas de demi-tangente à gauche au point \((e,0)\). La proposition B est fausse.
Lorsque \(x\to e^+\), on a \(f(x)\to0=f(e)\). Posons \(u=\ln x-1\to0^+\). Alors :
\[ f(x)=e^{-1}e^{-2/u}. \]Comme \(x-e=e(e^u-1)\),
\[ \frac{f(x)-f(e)}{x-e} = \frac{e^{-2}e^{-2/u}}{e^u-1}. \]Pour \(u>0\), l’inégalité \(e^u-1\ge u\) donne :
\[ 0\le \frac{e^{-2}e^{-2/u}}{e^u-1} \le e^{-2}\frac{e^{-2/u}}{u}. \]En posant \(v=\frac{2}{u}\), on a \(v\to+\infty\) et :
\[ \frac{e^{-2/u}}{u} = \frac{v}{2}e^{-v} \longrightarrow0. \]Par encadrement, le taux d’accroissement tend vers \(0\). La demi-tangente à droite est donc horizontale, et non verticale. La proposition C est fausse.
Question 19 — Probabilité de tirer les lettres de SMARA
Dans une boîte se trouvent \(14\) jetons portant chacun une lettre du nom « SAHARA MAROCAIN ».
On tire successivement et sans remise \(5\) jetons. Quelle est la probabilité de tirer les lettres du nom « SMARA » dans un ordre quelconque ?
Dans « SAHARA MAROCAIN », on compte :
- \(5\) lettres A ;
- \(2\) lettres R ;
- une lettre S et une lettre M.
Pour former « SMARA », il faut choisir S, M, deux A et un R. Le nombre de choix favorables est :
\[ 1\times1\times\mathrm C_5^2\times\mathrm C_2^1 = 20. \]Le nombre total de groupes de \(5\) jetons parmi \(14\) est :
\[ \mathrm C_{14}^{5}=2002. \]Ainsi :
\[ P = \frac{20}{2002} = \frac{10}{1001}. \]Question 20 — Probabilité et équation du second degré
Une boîte \(B_1\) contient deux jetons numérotés \(1\) et \(3\). Une boîte \(B_2\) contient deux jetons numérotés \(2\) et \(2\). Une boîte \(B_3\) contient deux jetons numérotés \(1\) et \(0\).
On tire au hasard un jeton \(a\) de \(B_1\), un jeton \(b\) de \(B_2\) et un jeton \(c\) de \(B_3\).
Quelle est la probabilité pour que l’équation :
\[ ax^2+bx+c=0 \]admette des racines réelles ?
Le jeton tiré de \(B_2\) porte toujours le nombre :
\[ b=2. \]Les quatre couples \((a,c)\) équiprobables sont :
\[ (1,1),\quad(1,0),\quad(3,1),\quad(3,0). \]Le discriminant de :
\[ ax^2+2x+c=0 \]est :
\[ \Delta=4-4ac=4(1-ac). \]L’équation admet des racines réelles si et seulement si \(ac\le1\).
- \((1,1)\) convient ;
- \((1,0)\) convient ;
- \((3,1)\) ne convient pas ;
- \((3,0)\) convient.
Il y a donc trois cas favorables parmi quatre cas équiprobables.
Question 21 — Plan tangent à une sphère
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les deux points :
\[ A(-1,1,1) \qquad\text{et}\qquad B(7,-5,5). \]Soit \(S\) la sphère dont l’un des diamètres est le segment \([AB]\).
Le plan tangent à \(S\) au point \(C(1,1,-1)\) est :
Le plan tangent à une sphère en un point est perpendiculaire au rayon passant par ce point.
Le centre \(I\) de la sphère est le milieu de \([AB]\) :
\[ I\left( \frac{-1+7}{2}, \frac{1-5}{2}, \frac{1+5}{2} \right) = (3,-2,3). \]Un vecteur normal au plan tangent en \(C(1,1,-1)\) est le vecteur \(\overrightarrow{IC}\). On écrit d’abord :
\[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OC}. \]En remplaçant ensuite les vecteurs par leurs coordonnées :
\[ \overrightarrow{IC} = (1-3,\,1-(-2),\,-1-3) = (-2,3,-4). \]L’équation du plan tangent est donc :
\[ -2(x-1)+3(y-1)-4(z+1)=0. \]Après simplification :
\[ 2x-3y+4z+5=0. \]Question 22 — Suite définie par une intégrale
Soit \((u_n)_n\) la suite de terme général :
\[ u_n= \int_0^1 \frac{e^{nx}}{1+e^x} \,dx. \]Alors :
On divise l’intégrale par \(e^n\), puis on majore le dénominateur par une quantité positive simple.
Sur \([0,1]\), on a :
\[ 0\lt\frac1{1+e^x}\le1. \]Donc :
\[ 0\le \frac{u_n}{e^n} \le \int_0^1e^{n(x-1)}\,dx. \]Or :
\[ \int_0^1e^{n(x-1)}\,dx = \frac{1-e^{-n}}n \longrightarrow0. \]Question 23 — Dimension d’un espace vectoriel
Soit \(E\) l’espace vectoriel défini par :
\[ E= \left\{ (x,y,z,t)\in\mathbb R^4 \ \middle|\ x+y+z+t=0 \ \text{et}\ 2x+y=0 \right\}. \]Quelle est la dimension de \(E\) ?
Les équations définissant \(E\) sont :
\[ x+y+z+t=0 \qquad\text{et}\qquad 2x+y=0. \]La seconde donne :
\[ y=-2x. \]En remplaçant dans la première :
\[ -x+z+t=0 \iff t=x-z. \]Ainsi :
\[ (x,y,z,t) = (x,-2x,z,x-z). \]On peut écrire :
\[ (x,y,z,t) = x(1,-2,0,1) + z(0,0,1,-1). \]Les deux vecteurs obtenus sont linéairement indépendants. Ils forment une base de \(E\).
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Combien l’équation :
\[ \tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0 \]possède-t-elle de solutions dans :
\[ \left[0,\frac{2\pi}{3}\right]? \]Sur le domaine de l’équation, on pose \(t=\tan x\) et l’on exprime les tangentes multiples en fonction de \(t\).
Lorsque les quatre tangentes sont définies, les formules d’addition donnent :
\[ \tan(2x)=\frac{2t}{1-t^2}, \qquad \tan(3x)=\frac{3t-t^3}{1-3t^2}, \] \[ \tan(4x)=\frac{4t(1-t^2)}{1-6t^2+t^4}. \]Après remplacement puis réduction au même dénominateur, l’équation équivaut à :
\[ 2t \left(t^4-10t^2+5\right) \left(2t^4-5t^2+1\right) =0, \]les valeurs qui annulent l’un des dénominateurs étant exclues.
Les valeurs possibles de \(t\) sont :
\[ t=0, \] \[ t=\pm\sqrt{5-2\sqrt5}, \qquad t=\pm\sqrt{5+2\sqrt5}, \] \[ t=\pm\frac{1}{2}\sqrt{5-\sqrt{17}}, \qquad t=\pm\frac{1}{2}\sqrt{5+\sqrt{17}}. \] Sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\)La fonction tangente prend toutes les valeurs de \([0,+\infty[\). On obtient donc cinq solutions : celle correspondant à \(t=0\) et les quatre racines strictement positives.
Sur \(\left]\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right]\)La fonction tangente prend les valeurs de \(]-\infty,-\sqrt3]\). Parmi les quatre racines négatives, seule :
\[ -\sqrt{5+2\sqrt5} \]appartient à cet intervalle de valeurs. On obtient donc une solution supplémentaire.
Le nombre total de solutions est :
\[ 5+1=6. \]Question 25 — Limite d’un produit trigonométrique
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \prod_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{2^k\pi}{2^n-1} \right). \]lorsque \(\sin a\ne0\).
Posons :
\[ a_n=\frac{\pi}{2^n-1}. \]Alors :
\[ 2^na_n = \frac{2^n\pi}{2^n-1} = \pi+a_n. \]Par conséquent :
\[ \sin(2^na_n) = \sin(\pi+a_n) = -\sin a_n. \]Le produit vaut donc exactement :
\[ \prod_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{2^k\pi}{2^n-1} \right) = -\frac1{2^n}. \]Ainsi :
\[ -\frac1{2^n}\longrightarrow0. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | \(1\) |
| Q2 | \(\left\{(\frac\pi4,\frac\pi4),(\frac\pi4,\frac{7\pi}4)\right\}\) |
| Q3 | \(2^{42}i\) |
| Q4 | \(y=\frac1{1-2x}\), \(x\ne\frac{1}{2}\) |
| Q5 | \(\frac{\sin a}{2^n\sin(a/2^n)}\) |
| Q6 | \(1-\frac1{(n+1)!}\) |
| Q7 | \(\frac{1}{2}\) |
| Q8 | \(\frac1{12}\) |
| Q9 | \(f(x)=cx,\ c\in\mathbb R\) |
| Q10 | \(g'(x)=\frac{\sin x(3\cos x-2)}{2\cos x(1-\cos x)}g(x)\) |
| Q11 | \(h^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+4e^x}}2\right)\) |
| Q12 | \(+\infty\) |
| Q13 | \(\frac{\pi}{4}\) |
| Q14 | \(y(x)=e^{-x}(A\cos(3x)+B\sin(3x))+\frac{1}{37}\sin(3x)-\frac{6}{37}\cos(3x)\), avec \(A=\frac{120e^{\pi/2}-9e^\pi(1+e^\pi)}{296(1+e^\pi)}\) et \(B=\frac{40e^{\pi/2}-27e^\pi(1+e^\pi)}{296(1+e^\pi)}\) |
| Q15 | \(\{(102,100)\}\) |
| Q16 | C |
| Q17 | A |
| Q18 | D |
| Q19 | B |
| Q20 | C |
| Q21 | A |
| Q22 | B |
| Q23 | B |
| Q24 | B |
| Q25 | A |
Anomalies objectives du sujet
- Q12 : la limite imprimée pour \(\alpha\to0\) se lit nécessairement comme une limite à droite, car l’intégrale n’est définie au voisinage de 0 que pour \(\alpha>0\).
- Q16 : le mot « pas » manque dans la phrase imprimée ; les propositions correspondent aux valeurs pour lesquelles la matrice n’est pas inversible.
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