Concours ENSAM 2015 — Mathématiques
Concours d’accès à l’ENSAM-Meknès et à l’ENSAM-Casablanca.
Vendredi 24 juillet 2015 — Sciences Mathématiques A et B — Durée : 2 h — 25 questions.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2015 pour les filières Sciences Mathématiques A et B.
L’épreuve comporte \(17\) questions à réponses précises, puis \(8\) questions à choix multiples.
Consignes de l’épreuve
- Partie I — Questions 1 à 17 : chaque réponse est notée sur \(2\) points.
- Partie II — Questions 18 à 25 : une réponse correcte rapporte \(2\) points.
- Dans la partie II, une absence de réponse rapporte \(0\) point.
- Dans la partie II, une réponse fausse ou plusieurs réponses cochées retirent \(1\) point.
Énoncé — ENSAM 2015 — Mathématiques
Question 1 — Logique — négation et valeur de vérité
Soit la proposition :
\[ P:\quad \forall a\in\mathbb R_+^\ast,\qquad a+\frac{1}{a}\ge2. \]Donner la négation et le tableau de vérité de la proposition \(P\).
Question 2 — Dénombrement — code bancaire
Le code confidentiel d’une carte bancaire est constitué d’un nombre de \(4\) chiffres non nuls.
Combien y a-t-il de codes contenant une fois, et une seule, le chiffre \(1\) ?
Question 3 — Nombres complexes et somme trigonométrique
Soient les nombres complexes suivants :
\[ z=e^{\frac{2\pi}{7}i}, \qquad a=z+z^2+z^4, \qquad b=z^3+z^5+z^6. \]Sachant que :
\[ a+b=-1 \qquad\text{et}\qquad \overline b=a, \]donner la valeur de la somme :
\[ S= \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{7}\right). \]Question 4 — Rotation dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectivement :
\[ a=2, \qquad b=-1+i\sqrt3, \qquad c=-1-i\sqrt3. \]Donner la forme trigonométrique de :
\[ z=\frac{c-a}{b-a}, \]et déduire l’angle \(\theta\) de la rotation qui transforme \(B\) en \(C\).
Question 5 — Inéquation exponentielle et trigonométrique
Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation :
\[ 3^{\cos x}+3^{\cos(\pi-x)+1}\le2\sqrt3. \]Question 6 — Limite en zéro
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}f(x), \qquad\text{où}\qquad f(x)=\frac{e^{x^2}-\cos x}{2x^2}. \]Question 7 — Continuité en zéro
Soit \(g\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ g(x)= \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) -\frac{\ln x}{x+1}+1 \quad\text{si }x\gt0, \]et :
\[ g(0)=a\in\mathbb R. \]Déterminer la valeur de \(a\) pour que \(g\) soit continue sur \([0,+\infty[\).
Question 8 — Fonction réciproque
Soit :
\[ f(x)=\ln\left(1+e^{-x}\right). \]Déterminer \(f^{-1}\).
Question 9 — Primitive avec condition initiale
Déterminer la primitive \(F\) de la fonction :
\[ x\longmapsto\frac{1}{x\ln x} \]sur \(]1,+\infty[\), qui vaut \(1\) en \(e\).
Question 10 — Somme de Riemann
Calculer, en utilisant les sommes de Riemann, la limite de la suite :
\[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}. \]Question 11 — Aire sous une courbe
Soient :
\[ f(x)=\frac{x}{1+x^2}-\arctan(x) \]et \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=1\ \text{cm}. \]Calculer l’aire \(A\) de la surface délimitée par \(C_f\) et les droites :
\[ x=0, \qquad x=1, \qquad y=0. \]Question 12 — Limite d’une intégrale
Soit :
\[ I_n=\int_0^1x^n\ln(1+x)\,dx, \qquad \forall n\ge1. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n. \]Question 13 — Équation différentielle
Sachant que la fonction :
\[ x\longmapsto\sin^2x \]est une solution de l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y''+4y-2=0, \]déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe passe par :
\[ A(0,\sqrt2) \]et possède en \(A\) une tangente de coefficient directeur \(1\).
Question 14 — Plan tangent à une sphère
Soit \(S\) la sphère d’équation cartésienne :
\[ x^2+y^2+z^2-2x-2y=0. \]Déterminer l’équation \((E)\) du plan tangent \(P\) à \(S\) au point :
\[ O(0,0,0). \]Question 15 — Congruence modulo 27
Sachant que :
\[ 10^{3n}\equiv1\pmod{27}, \qquad \forall n\in\mathbb N, \]déterminer le reste \(r\) de la division euclidienne de :
\[ 10^{100}+100^{10} \]par \(27\).
Question 16 — Équation diophantienne
Résoudre dans \(\mathbb Z^2\) l’équation :
\[ x^2-2y^2+xy+2=0. \]Question 17 — Probabilités — contrôle de pièces
Une usine produit des pièces dont \(2\,\%\) sont défectueuses.
Après contrôle, on s’est aperçu que \(97\,\%\) des pièces bonnes sont acceptées et que \(99\,\%\) des pièces défectueuses sont rejetées.
Quelle est la probabilité \(P\) d’avoir une pièce bonne et rejetée ?
Question 18 — Matrice d’ordre 3
Soit \(M_3(\mathbb R)\) l’espace des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels.
La matrice :
\[ A= \begin{pmatrix} 0&0&2\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \]vérifie :
Question 19 — Espace vectoriel de fonctions
Soit l’espace vectoriel réel :
\[ E= \left\{ f:x\longmapsto(ax+b)e^{2x} \ \middle|\ a,b\in\mathbb R \right\}. \]On considère les deux éléments de \(E\) définis par :
\[ f_1(x)=e^{2x}, \qquad f_2(x)=xe^{2x}. \]Soit :
\[ B=\{f_1,f_2\} \]et :
\[ g:x\longmapsto\int_0^x\left(t+\frac{1}{2}\right)e^{2t}\,dt. \]Alors :
Question 20 — Logique et produit cartésien
On considère le disque unité :
\[ D= \left\{ (x,y)\in\mathbb R^2 \ \middle|\ x^2+y^2\le1 \right\} \]et la proposition :
\[ P:\quad \text{« Il existe }A,B\subset\mathbb R \text{ tels que }D=A\times B\text{ ».} \]Alors :
Question 21 — Équation avec une fonction strictement monotone
Soit :
\[ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb R \]une fonction strictement monotone telle que :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1. \]L’équation :
\[ f(x)=1-x^n, \qquad n\ge1, \]vérifie :
Question 22 — Comportement d’une fonction aux infinis
Soit :
\[ f(x)=x-\ln\left|2e^x-1\right|. \]Alors :
Question 23 — Branche infinie
Soit :
\[ f(x)=\frac{e^x-1}{x}+\ln x. \]La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) :
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
L’équation :
\[ \cos^4x+\sin^4x=1 \]admet dans \([-\pi,\pi]\) :
Question 25 — Nombre de la forme de Sophie Germain
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.
Alors le nombre :
\[ N=a^4+4b^4 \]vérifie :
Conseil de travail
Traiter d’abord les questions à réponses précises, puis aborder le QCM en tenant compte de son barème spécifique.
Commentaires
Enregistrer un commentaire