Correction Concours ENSAM 2015 — Mathématiques
Sciences Mathématiques A et B — Vendredi 24 juillet 2015.
Correction pédagogique détaillée des 25 questions.
Cette page présente la correction détaillée de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2015. Chaque résultat est accompagné des conditions et des calculs nécessaires.
Correction détaillée
Question 1 — Logique — négation et valeur de vérité
Soit la proposition :
\[ P:\quad \forall a\in\mathbb R_+^\ast,\qquad a+\frac{1}{a}\ge2. \]Donner la négation et le tableau de vérité de la proposition \(P\).
La négation de « pour tout \(a\), \(R(a)\) » est « il existe \(a\) tel que non \(R(a)\) ».
La négation de :
\[ P:\quad \forall a\in\mathbb R_+^\ast,\qquad a+\frac{1}{a}\ge2 \]est :
\[ \overline P:\quad \exists a\in\mathbb R_+^\ast,\qquad a+\frac{1}{a}\lt2. \]Pour \(a\gt0\), on a :
\[ a+\frac{1}{a}-2 = \frac{(a-1)^2}{a}\ge0. \]Ainsi, \(a+\frac{1}{a}\ge2\) pour tout \(a\gt0\).
Question 2 — Dénombrement — code bancaire
Le code confidentiel d’une carte bancaire est constitué d’un nombre de \(4\) chiffres non nuls.
Combien y a-t-il de codes contenant une fois, et une seule, le chiffre \(1\) ?
On choisit d’abord la position du chiffre \(1\), puis les trois autres chiffres.
Le chiffre \(1\) peut occuper l’une des \(4\) positions.
Dans chacune des trois positions restantes, on peut placer l’un des chiffres :
\[ 2,3,4,5,6,7,8,9, \]soit \(8\) choix par position. Les répétitions sont autorisées.
\[ N=4\times8^3=2048. \]Question 3 — Nombres complexes et somme trigonométrique
Soient les nombres complexes suivants :
\[ z=e^{\frac{2\pi}{7}i}, \qquad a=z+z^2+z^4, \qquad b=z^3+z^5+z^6. \]Sachant que :
\[ a+b=-1 \qquad\text{et}\qquad \overline b=a, \]donner la valeur de la somme :
\[ S= \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{7}\right). \]Pour tout nombre complexe \(w\), \(\displaystyle \operatorname{Re}(w)=\frac{w+\overline w}{2}\).
On a :
\[ a=z+z^2+z^4 \]et :
\[ S= \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) +\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) +\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) =\operatorname{Re}(a). \]Or \(\overline b=a\), donc \(\overline a=b\). Ainsi :
\[ S=\operatorname{Re}(a) =\frac{a+\overline a}{2} =\frac{a+b}{2}. \]Comme \(a+b=-1\), on obtient :
\[ S=-\frac{1}{2}. \]Question 4 — Rotation dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectivement :
\[ a=2, \qquad b=-1+i\sqrt3, \qquad c=-1-i\sqrt3. \]Donner la forme trigonométrique de :
\[ z=\frac{c-a}{b-a}, \]et déduire l’angle \(\theta\) de la rotation qui transforme \(B\) en \(C\).
Si une rotation de centre \(A\) transforme \(B\) en \(C\), alors :
\[ \frac{c-a}{b-a}=e^{i\theta}. \]On calcule :
\[ c-a=-3-i\sqrt3, \qquad b-a=-3+i\sqrt3. \]Les deux nombres ont le même module \(2\sqrt3\). Leurs arguments peuvent être choisis égaux à :
\[ \arg(c-a)=\frac{7\pi}{6}, \qquad \arg(b-a)=\frac{5\pi}{6}. \]Par conséquent :
\[ z=\frac{c-a}{b-a} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right). \]Question 5 — Inéquation exponentielle et trigonométrique
Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation :
\[ 3^{\cos x}+3^{\cos(\pi-x)+1}\le2\sqrt3. \]Pour tout \(t\gt0\), \(\displaystyle t+\frac{3}{t}\ge2\sqrt3\), avec égalité si et seulement si \(t=\sqrt3\).
Comme :
\[ \cos(\pi-x)=-\cos x, \]l’inéquation devient :
\[ 3^{\cos x}+3^{1-\cos x}\le2\sqrt3. \]Posons :
\[ t=3^{\cos x}\gt0. \]Alors :
\[ 3^{1-\cos x}=\frac{3}{t}, \]et l’inéquation s’écrit :
\[ t+\frac{3}{t}\le2\sqrt3. \]Or le membre de gauche est toujours supérieur ou égal à \(2\sqrt3\). Il faut donc avoir l’égalité :
\[ t=\sqrt3. \]Ainsi :
\[ 3^{\cos x}=3^{1/2} \iff \cos x=\frac{1}{2}. \]Question 6 — Limite en zéro
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}f(x), \qquad\text{où}\qquad f(x)=\frac{e^{x^2}-\cos x}{2x^2}. \]On décompose :
\[ \frac{e^{x^2}-\cos x}{2x^2} = \frac{e^{x^2}-1}{2x^2} + \frac{1-\cos x}{2x^2}. \]Pour le premier terme :
\[ \frac{e^{x^2}-1}{2x^2} = \frac{1}{2}\frac{e^{x^2}-1}{x^2} \longrightarrow\frac{1}{2}. \]Pour le second terme, en utilisant \(1-\cos x=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\) :
\[ \frac{1-\cos x}{2x^2} = \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \longrightarrow\frac{1}{4}. \]Question 7 — Continuité en zéro
Soit \(g\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ g(x)= \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) -\frac{\ln x}{x+1}+1 \quad\text{si }x\gt0, \]et :
\[ g(0)=a\in\mathbb R. \]Déterminer la valeur de \(a\) pour que \(g\) soit continue sur \([0,+\infty[\).
La fonction est continue en \(0\) si et seulement si \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}g(x)=g(0)=a\).
Pour \(x\gt0\) :
\[ g(x) = \ln x-\ln(1+x)-\frac{\ln x}{1+x}+1. \]Donc :
\[ g(x) = \frac{x\ln x}{1+x}-\ln(1+x)+1. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}\ln(1+x)=0. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=1. \]Question 8 — Fonction réciproque
Soit :
\[ f(x)=\ln\left(1+e^{-x}\right). \]Déterminer \(f^{-1}\).
On détermine d’abord l’image de \(f\), puis on résout l’équation \(y=f(x)\).
La fonction :
\[ f(x)=\ln(1+e^{-x}) \]est strictement décroissante sur \(\mathbb R\), car :
\[ f'(x)=-\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\lt0. \]De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Ainsi :
\[ f(\mathbb R)=]0,+\infty[. \]Soit \(y\gt0\). On résout :
\[ y=\ln(1+e^{-x}) \iff e^y=1+e^{-x} \] \[ \iff e^{-x}=e^y-1 \iff x=-\ln(e^y-1). \]Question 9 — Primitive avec condition initiale
Déterminer la primitive \(F\) de la fonction :
\[ x\longmapsto\frac{1}{x\ln x} \]sur \(]1,+\infty[\), qui vaut \(1\) en \(e\).
Les primitives sont donc de la forme :
\[ F(x)=\ln(\ln x)+C. \]La condition \(F(e)=1\) donne :
\[ 1=\ln(\ln e)+C=\ln1+C=C. \]Question 10 — Somme de Riemann
Calculer, en utilisant les sommes de Riemann, la limite de la suite :
\[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}. \]Si \(h\) est continue sur \([0,1]\), alors :
\[ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}h\left(\frac{k}{n}\right) \longrightarrow \int_0^1h(x)\,dx. \]On écrit :
\[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}. \]Avec :
\[ h(x)=\frac{1}{1+x^2}, \]on obtient :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \left[\arctan x\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}. \]Question 11 — Aire sous une courbe
Soient :
\[ f(x)=\frac{x}{1+x^2}-\arctan(x) \]et \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=1\ \text{cm}. \]Calculer l’aire \(A\) de la surface délimitée par \(C_f\) et les droites :
\[ x=0, \qquad x=1, \qquad y=0. \]Il faut d’abord déterminer la position de \(C_f\) par rapport à l’axe des abscisses sur \([0,1]\).
On a \(f(0)=0\) et :
\[ f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} - \frac{1}{1+x^2} = -\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}\le0. \]Ainsi, \(f\) est décroissante sur \([0,1]\), donc :
\[ f(x)\le f(0)=0. \]L’aire cherchée est alors :
\[ A=-\int_0^1f(x)\,dx = \int_0^1 \left( \arctan x-\frac{x}{1+x^2} \right)dx. \]Par intégration par parties :
\[ \int_0^1\arctan x\,dx = \left[ x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln2. \]Et :
\[ \int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln2. \]Donc :
\[ A=\frac{\pi}{4}-\ln2. \]Question 12 — Limite d’une intégrale
Soit :
\[ I_n=\int_0^1x^n\ln(1+x)\,dx, \qquad \forall n\ge1. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n. \]Sur \([0,1]\), on a \(0\le\ln(1+x)\le\ln2\).
Comme \(x^n\ge0\) sur \([0,1]\) :
\[ 0\le I_n = \int_0^1x^n\ln(1+x)\,dx \le \ln2\int_0^1x^n\,dx. \]Or :
\[ \int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{n+1}. \]Donc :
\[ 0\le I_n\le\frac{\ln2}{n+1}. \]La borne de droite tend vers \(0\). Par encadrement :
Question 13 — Équation différentielle
Sachant que la fonction :
\[ x\longmapsto\sin^2x \]est une solution de l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y''+4y-2=0, \]déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe passe par :
\[ A(0,\sqrt2) \]et possède en \(A\) une tangente de coefficient directeur \(1\).
Comme \(x\mapsto\sin^2x\) est une solution particulière, toute solution de \((E)\) s’écrit :
\[ y(x)=\sin^2x+A\cos(2x)+B\sin(2x). \]La condition \(y(0)=\sqrt2\) donne :
\[ A=\sqrt2. \]La dérivée est :
\[ y'(x) = \sin(2x)-2A\sin(2x)+2B\cos(2x). \]La tangente en \(A\) a pour coefficient directeur \(1\), donc \(y'(0)=1\). Ainsi :
\[ 2B=1 \iff B=\frac{1}{2}. \]Question 14 — Plan tangent à une sphère
Soit \(S\) la sphère d’équation cartésienne :
\[ x^2+y^2+z^2-2x-2y=0. \]Déterminer l’équation \((E)\) du plan tangent \(P\) à \(S\) au point :
\[ O(0,0,0). \]Le plan tangent à une sphère en un point est perpendiculaire au rayon passant par ce point.
L’équation de la sphère s’écrit :
\[ (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=2. \]Son centre est donc :
\[ C(1,1,0). \]Un vecteur normal au plan tangent en \(O\) est le vecteur \(\overrightarrow{CO}\). Comme \(O\) est l’origine du repère :
\[ \overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{OC}. \]Or \(C(1,1,0)\), donc :
\[ \overrightarrow{CO}=(-1,-1,0). \]Comme le plan passe par \(O(0,0,0)\), son équation est :
\[ -x-y=0. \]Question 15 — Congruence modulo 27
Sachant que :
\[ 10^{3n}\equiv1\pmod{27}, \qquad \forall n\in\mathbb N, \]déterminer le reste \(r\) de la division euclidienne de :
\[ 10^{100}+100^{10} \]par \(27\).
La relation \(10^{3n}\equiv1\pmod{27}\) permet de réduire les exposants modulo \(3\).
Comme :
\[ 100\equiv10^2\pmod{27}, \]on a :
\[ 100^{10}\equiv10^{20}\pmod{27}. \]Or :
\[ 100=3\times33+1, \qquad 20=3\times6+2. \]Donc :
\[ 10^{100}\equiv10\pmod{27}, \qquad 10^{20}\equiv10^2\equiv100\equiv19\pmod{27}. \]Ainsi :
\[ 10^{100}+100^{10} \equiv10+19 \equiv29 \equiv2\pmod{27}. \]Question 16 — Équation diophantienne
Résoudre dans \(\mathbb Z^2\) l’équation :
\[ x^2-2y^2+xy+2=0. \]L’équation devient :
\[ (x+2y)(x-y)=-2. \]Posons :
\[ u=x+2y, \qquad v=x-y. \]Alors \(uv=-2\), et :
\[ x=\frac{u+2v}{3}, \qquad y=\frac{u-v}{3}. \]Les couples de diviseurs entiers de \(-2\) sont :
\[ (-1,2),\quad(1,-2),\quad(-2,1),\quad(2,-1). \]Ils donnent respectivement :
\[ (1,-1),\quad(-1,1),\quad(0,-1),\quad(0,1). \]Question 17 — Probabilités — contrôle de pièces
Une usine produit des pièces dont \(2\,\%\) sont défectueuses.
Après contrôle, on s’est aperçu que \(97\,\%\) des pièces bonnes sont acceptées et que \(99\,\%\) des pièces défectueuses sont rejetées.
Quelle est la probabilité \(P\) d’avoir une pièce bonne et rejetée ?
Comme \(2\,\%\) des pièces sont défectueuses :
\[ P(B)=0{,}98. \]Parmi les pièces bonnes, \(97\,\%\) sont acceptées. Ainsi, \(3\,\%\) des pièces bonnes sont rejetées :
\[ P(R\mid B)=0{,}03. \]Donc :
\[ P(B\cap R) = P(B)\,P(R\mid B) = 0{,}98\times0{,}03 = 0{,}0294. \]Question 18 — Matrice d’ordre 3
Soit \(M_3(\mathbb R)\) l’espace des matrices carrées d’ordre \(3\) à coefficients réels.
La matrice :
\[ A= \begin{pmatrix} 0&0&2\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \]vérifie :
On calcule une puissance de \(A\) afin de tester directement les propositions.
On obtient :
\[ A^2= \begin{pmatrix} 0&2&0\\ 0&0&2\\ 1&0&0 \end{pmatrix}, \qquad A^3=2I. \]Ainsi, \(A\) est inversible et :
\[ A\left(\frac{1}{2}A^2\right) = \frac{1}{2}A^3 = I. \]Donc :
\[ A^{-1}=\frac{1}{2}A^2. \]Question 19 — Espace vectoriel de fonctions
Soit l’espace vectoriel réel :
\[ E= \left\{ f:x\longmapsto(ax+b)e^{2x} \ \middle|\ a,b\in\mathbb R \right\}. \]On considère les deux éléments de \(E\) définis par :
\[ f_1(x)=e^{2x}, \qquad f_2(x)=xe^{2x}. \]Soit :
\[ B=\{f_1,f_2\} \]et :
\[ g:x\longmapsto\int_0^x\left(t+\frac{1}{2}\right)e^{2t}\,dt. \]Alors :
Tout élément de \(E\) s’écrit de manière unique \(bf_1+af_2\). Ainsi, \((f_1,f_2)\) est une base de \(E\).
On remarque que :
\[ \left(\frac{t}{2}e^{2t}\right)' = \left(t+\frac{1}{2}\right)e^{2t}. \]Par conséquent :
\[ g(x) = \int_0^x \left(t+\frac{1}{2}\right)e^{2t}\,dt = \left[\frac{t}{2}e^{2t}\right]_0^x = \frac{x}{2}e^{2x}. \]Ainsi :
\[ g=0\,f_1+\frac{1}{2}f_2. \]Question 20 — Logique et produit cartésien
On considère le disque unité :
\[ D= \left\{ (x,y)\in\mathbb R^2 \ \middle|\ x^2+y^2\le1 \right\} \]et la proposition :
\[ P:\quad \text{« Il existe }A,B\subset\mathbb R \text{ tels que }D=A\times B\text{ ».} \]Alors :
Dans un produit cartésien \(A\times B\), les coordonnées admissibles peuvent être combinées entre elles.
Supposons qu’il existe \(A,B\subset\mathbb R\) tels que :
\[ D=A\times B. \]Comme :
\[ (1,0)\in D \qquad\text{et}\qquad (0,1)\in D, \]on aurait :
\[ 1\in A,\quad0\in B,\quad0\in A,\quad1\in B. \]Il en résulterait :
\[ (1,1)\in A\times B=D. \]Mais :
\[ 1^2+1^2=2\gt1, \]donc \((1,1)\notin D\). C’est une contradiction.
Question 21 — Équation avec une fonction strictement monotone
Soit :
\[ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb R \]une fonction strictement monotone telle que :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(1)=1. \]L’équation :
\[ f(x)=1-x^n, \qquad n\ge1, \]vérifie :
Les conditions \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) imposent que \(f\) soit strictement croissante, mais elles n’imposent pas sa continuité.
La fonction \(x\mapsto1-x^n\) est strictement décroissante sur \([0,1]\). Par conséquent, l’équation ne peut pas avoir deux solutions distinctes. La proposition B est donc fausse.
Un exemple avec une solution uniquePour :
\[ f(x)=x^n, \]l’équation devient :
\[ x^n=1-x^n, \]et admet l’unique solution :
\[ x=2^{-1/n}. \]La proposition A n’est donc pas toujours vraie.
Un exemple sans solutionPosons \(\alpha=2^{-1/n}\) et définissons :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^n}{2},&0\le x\lt\alpha,\\[2mm] \dfrac{1+x^n}{2},&\alpha\le x\le1. \end{cases} \]Cette fonction est strictement croissante, vérifie \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\), mais :
\[ f(x)+x^n\lt1 \quad\text{si }x\lt\alpha, \]tandis que :
\[ f(x)+x^n\gt1 \quad\text{si }x\ge\alpha. \]L’équation n’a donc aucune solution pour cette fonction. La proposition C n’est pas toujours vraie.
Question 22 — Comportement d’une fonction aux infinis
Soit :
\[ f(x)=x-\ln\left|2e^x-1\right|. \]Alors :
Lorsque \(x\to-\infty\) :
\[ 2e^x-1\longrightarrow-1, \qquad \ln|2e^x-1|\longrightarrow0. \]Donc :
\[ f(x)=x-\ln|2e^x-1|\longrightarrow-\infty. \]La fonction n’est pas bornée au voisinage de \(-\infty\). La proposition A est fausse.
Au voisinage de \(+\infty\)Pour \(x\) assez grand :
\[ 2e^x-1=e^x(2-e^{-x}). \]Ainsi :
\[ f(x) = x-\ln\left(e^x(2-e^{-x})\right) = -\ln(2-e^{-x}). \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\ln2. \]La fonction est donc bornée au voisinage de \(+\infty\).
Question 23 — Branche infinie
Soit :
\[ f(x)=\frac{e^x-1}{x}+\ln x. \]La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) :
Le domaine de la fonction est \(]0,+\infty[\).
Position par rapport à \(y=0\)Lorsque \(x\to0^+\) :
\[ \frac{e^x-1}{x}\longrightarrow1 \qquad\text{et}\qquad \ln x\longrightarrow-\infty. \]Donc :
\[ f(x)\longrightarrow-\infty. \]La courbe n’est donc pas toujours au-dessus de la droite \(y=0\). La proposition C est fausse.
Étude au voisinage de \(+\infty\)On a :
\[ f(x)\longrightarrow+\infty. \]De plus :
\[ \frac{f(x)}{x} = \frac{e^x-1}{x^2} + \frac{\ln x}{x} \longrightarrow+\infty. \]La branche infinie est donc parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées \(x=0\), et non la droite \(y=0\). Elle n’admet pas d’asymptote oblique en \(+\infty\).
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
L’équation :
\[ \cos^4x+\sin^4x=1 \]admet dans \([-\pi,\pi]\) :
On utilise :
\[ \cos^4x+\sin^4x = (\cos^2x+\sin^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x. \]Ainsi :
\[ \cos^4x+\sin^4x=1 \iff 1-2\sin^2x\cos^2x=1 \] \[ \iff \sin x\cos x=0. \]Donc :
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]Dans \([-\pi,\pi]\), les solutions sont :
\[ -\pi,\quad-\frac{\pi}{2},\quad0,\quad\frac{\pi}{2},\quad\pi. \]Question 25 — Nombre de la forme de Sophie Germain
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.
Alors le nombre :
\[ N=a^4+4b^4 \]vérifie :
On peut aussi écrire :
\[ N= \left((a-b)^2+b^2\right) \left((a+b)^2+b^2\right). \]Les deux premières propositions sont déjà fausses pour \(a=b=1\), car :
\[ N=5, \qquad (a-b)^2+b^2=1, \qquad (a+b)^2+b^2=5. \]La proposition C n’est pas toujours vraie : pour \(a=2\) et \(b=1\),
\[ N=2^4+4=20, \]qui n’est pas premier.
La proposition D n’est pas toujours vraie non plus : pour \(a=b=1\),
\[ N=5, \]qui est premier.
Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | \(P\) vraie ; \(\overline P:\exists a\gt0,\ a+\frac{1}{a}\lt2\) |
| Q2 | \(2048\) |
| Q3 | \(-\frac{1}{2}\) |
| Q4 | \(z=e^{i\pi/3}\), \(\theta=\frac{\pi}{3}\) |
| Q5 | \(x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}\) |
| Q6 | \(\frac{3}{4}\) |
| Q7 | \(a=1\) |
| Q8 | \(f^{-1}(x)=-\ln(e^x-1)\), \(x\gt0\) |
| Q9 | \(F(x)=\ln(\ln x)+1\) |
| Q10 | \(\frac{\pi}{4}\) |
| Q11 | \(\left(\frac{\pi}{4}-\ln2\right)\text{ cm}^2\) |
| Q12 | \(0\) |
| Q13 | \(\sin^2x+\sqrt2\cos2x+\frac{1}{2}\sin2x\) |
| Q14 | \(x+y=0\) |
| Q15 | \(r=2\) |
| Q16 | \(\{(1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,1)\}\) |
| Q17 | \(0{,}0294=2{,}94\,\%\) |
| Q18 | D |
| Q19 | C |
| Q20 | C |
| Q21 | D |
| Q22 | C |
| Q23 | D |
| Q24 | 5 solutions — aucune proposition exacte |
| Q25 | Aucune proposition exacte |
Anomalies objectives du sujet
- Q24 : l’équation possède \(5\) solutions dans \([-\pi,\pi]\), mais aucune proposition ne donne ce résultat.
- Q25 : aucune proposition n’est vraie pour tous les entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\).
Commentaires
Enregistrer un commentaire