Concours ENSAM 2016 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année des années préparatoires de l’ENSAM Casablanca-Meknès.
Session du 1er août 2016 — Série Sciences Mathématiques A/B — Durée : 2 h — 25 questions.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2016, série Sciences Mathématiques A/B.
L’épreuve comporte une première partie à réponses précises, puis une partie QCM.
Consignes de l’épreuve
- Durée : 2 heures.
- Questions 1 à 16 : une réponse juste rapporte 2 points ; une réponse fausse ou une absence de réponse rapporte 0 point.
- Questions 17 à 25 : une réponse juste rapporte 2 points ; une absence de réponse rapporte 0 point ; une réponse fausse ou plusieurs réponses cochées retirent 1 point.
- La fiche ne doit porter aucun signe indicatif ni signature.
Énoncé — ENSAM 2016 — Mathématiques
Question 1 — Limite d’une somme de puissances
On suppose que \(a_n\ne1\) pour tout \(n\) et que :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1. \]L’entier strictement positif \(k\) étant donné, calculer :
\[ Q_1= \lim_{n\to+\infty} \frac{a_n+a_n^2+a_n^3+\cdots+a_n^k-k}{a_n-1}. \]Question 2 — Suite récurrente
Soit \((u_n)_n\) une suite convergente telle que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ \frac{1}{2}<u_n<1. \]On considère la suite \((X_n)_n\) telle que :
\[ X_0=u_0 \qquad\text{et}\qquad \forall n\in\mathbb N,\quad X_{n+1}=\frac{X_n+u_{n+1}}{1+X_nu_{n+1}}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}X_n. \]Question 3 — Condition de réalité dans le plan complexe
Soit \(z\in\mathbb C\setminus\{1\}\). On pose :
\[ x=\operatorname{Re}(z) \qquad\text{et}\qquad y=\operatorname{Im}(z). \]Déterminer la relation entre \(x\) et \(y\) telle que :
\[ z\notin\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \frac{z^2+z+1}{z-1}\in\mathbb R. \]Question 4 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Soit \(a\in\mathbb C\). Déterminer \(\Gamma\), l’ensemble des points du plan complexe dont les affixes \(z\) vérifient :
\[ |z-a|=|2z-a|. \]Question 5 — Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition \(D\) de la fonction :
\[ f(x)=\tan\left(\pi\sin\left(\frac{\pi}{6}x\right)\right). \]Question 6 — Partie entière et polynôme
Soit \(P\) un polynôme à coefficients strictement positifs.
Calculer :
\[ Q_6= \lim_{x\to+\infty} \frac{E(P(x))}{P(E(x))}. \]Question 7 — Dérivée d’ordre n
Calculer la dérivée d’ordre \(n\) de la fonction :
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x}. \]Question 8 — Équation fonctionnelle
Trouver l’ensemble \(Q_8\) de toutes les fonctions dérivables :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]telles que :
\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad f(x+y)=f(x)f(y). \]Question 9 — Limite et dérivabilité en zéro
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\).
Pour \(k\in\mathbb N^\ast\), trouver :
\[ Q_9= \lim_{x\to0} \frac{1}{x} \left( f(x)+f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x}{3}\right)+\cdots+f\left(\frac{x}{k}\right) \right). \]Question 10 — Équation différentielle
Soit \(y:x\longmapsto y(x)\) la solution de l’équation différentielle :
\[ y'\tan x=y\ln y, \qquad y(0)=\pi. \]Calculer :
\[ Q_{10}= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}y(x). \]Question 11 — Limite trigonométrique et exponentielle
Évaluer la limite :
\[ Q_{11}= \lim_{x\to+\infty} \left[ \frac{\pi}{2} - \left( \tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right) \right)^{\frac{1}{x}} \right]. \]Question 12 — Dérivée d’une fonction réciproque
Soit \(a<1\) et soit \(h\) une fonction définie sur \(]1,+\infty[\) par :
\[ h(x)=\log_a x-\log_x a. \]Calculer :
\[ Q_{12}=(h^{-1})'(0). \]Question 13 — Équation logarithmique et trigonométrique
Trouver \(Q_{13}\), l’ensemble des solutions de l’équation :
\[ \ln|\sin x|+\ln|\tan x|=\ln|\cos x|. \]Question 14 — Limite d’une intégrale
Calculer :
\[ Q_{14}= \lim_{x\to\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{1}{1+\sin t-\cos t}\,dt. \]Question 15 — Divisibilité dans les entiers
Soit \(k\in\mathbb Z\setminus\{3\}\). On pose :
\[ A= \frac{(2k^2+5k-2)(4k^2+11k+4)}{k+3}. \]Déterminer \(S\), l’ensemble des valeurs de \(k\) telles que :
\[ A\in\mathbb Z. \]Question 16 — Partie entière et limite
Calculer :
\[ Q_{16}= \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} E\left( \frac{\ln n}{n-\ln n} \right). \]Question 17 — Matrice non inversible
Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice :
\[ \begin{pmatrix} 1-m & -3 & 4\\ 4 & -7-m & 8\\ 6 & -7 & 7-m \end{pmatrix} \]n’est-elle pas inversible ?
Question 18 — Étude locale d’une fonction
Soit \(f\) définie par \(f(0)=0\) et, pour \(x\ne0\) :
\[ f(x)=e^{x^2-x+\ln|x|}. \]Alors :
Question 19 — Fonction dépendant d’un paramètre
Soit \(m\in\mathbb R^\ast\). Soit \(f_m\) définie par \(f_m(0)=m\) et, pour \(x\ne0\) :
\[ f_m(x)=\frac{m}{x^2}e^{\frac{1}{x}}+m. \]Soit \(C_{f_m}\) sa courbe. Alors :
Question 20 — Probabilité de former le mot SMARA
Dans une boîte se trouvent \(14\) jetons portant chacun une lettre du nom « SAHARA MAROCAIN ».
Soit l’expérience : « tirer simultanément \(5\) jetons ». On répète cette expérience \(3\) fois en remettant à chaque tirage les \(5\) lettres tirées dans la boîte. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Soit \(Y\) le nombre de fois où l’on forme le nom « SMARA » avec les \(5\) lettres tirées. Quelle est la probabilité pour que \(Y=3\) ?
Question 21 — Probabilité et ellipse
Une boîte \(A\) contient \(3\) jetons numérotés \(1\), \(2\) et \(4\). Une boîte \(B\) contient \(6\) jetons numérotés \(0\), \(3\), \(3\), \(5\), \(5\) et \(5\).
On tire au hasard un jeton dans \(A\), on lit le nombre \(a\) porté sur le jeton, puis on remet ce jeton dans \(A\). On effectue la même opération pour \(B\), et l’on note \(b\) le numéro du jeton tiré de \(B\).
Au couple \((a,b)\), on associe le point \(M(a,b)\). Quelle est la probabilité pour que \(M(a,b)\) soit situé sur l’ellipse d’équation :
\[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1? \]Question 22 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les deux points :
\[ A(1,1,1) \qquad\text{et}\qquad B\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0\right), \]et les trois plans :
\[ (P):x+y+z-1=0, \qquad (Q):x-y+z+2=0, \]et \((H)\), le plan passant par \(A\) et perpendiculaire à \((P)\) et à \((Q)\).
Soit \(S\) la sphère de centre \(B\) et passant par \(A\). Alors l’intersection de \(S\) et \((H)\) est :
Question 23 — Suite définie par une intégrale
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \((I_n)_n\) la suite définie par :
\[ I_n=\int_1^0 x e^{-nx^2}\,dx. \]Choisir la bonne réponse :
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Soit l’équation :
\[ (E):\quad \sin x=\cos(2x). \]On cherche le nombre de solutions de \((E)\) appartenant à \([0,2\pi]\) :
Question 25 — Dimension d’un espace vectoriel
Dans \(\mathbb R^4\) muni de sa base canonique \((\vec i,\vec j,\vec k,\vec l)\), on considère l’espace vectoriel \(F\) défini par :
\[ F= \left\{ \vec u(x,y,z,t)\ \middle|\ x+y+z+t=0 \right\}. \]La dimension de \(F\), notée \(\dim(F)\), est :
Conseil de travail
Traiter d’abord les questions à réponses précises, puis aborder le QCM en tenant compte de son barème spécifique.
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