Correction Concours ENSAM 2016 — Mathématiques
Sciences Mathématiques A/B — Session du 1er août 2016.
Correction pédagogique détaillée des 25 questions.
Cette page présente une correction complète de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2016. Les calculs, conditions d’application et conclusions sont explicités question par question.
Correction détaillée
Question 1 — Limite d’une somme de puissances
On suppose que \(a_n\ne1\) pour tout \(n\) et que :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1. \]L’entier strictement positif \(k\) étant donné, calculer :
\[ Q_1= \lim_{n\to+\infty} \frac{a_n+a_n^2+a_n^3+\cdots+a_n^k-k}{a_n-1}. \]Pour tout entier \(j\ge1\) et tout réel \(a\ne1\),
\[ \frac{a^j-1}{a-1}=1+a+a^2+\cdots+a^{j-1}. \]Donc :
\[ \frac{a_n+a_n^2+\cdots+a_n^k-k}{a_n-1} = \sum_{j=1}^{k}\frac{a_n^j-1}{a_n-1}. \] 2. Passer à la limiteComme \(a_n\to1\), pour chaque \(j\in\{1,\ldots,k\}\),
\[ \frac{a_n^j-1}{a_n-1} =1+a_n+\cdots+a_n^{j-1}\longrightarrow j. \]La somme contient un nombre fixé de termes, donc :
\[ Q_1=\sum_{j=1}^{k}j=\frac{k(k+1)}{2}. \]Question 2 — Suite récurrente
Soit \((u_n)_n\) une suite convergente telle que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ \frac{1}{2}<u_n<1. \]On considère la suite \((X_n)_n\) telle que :
\[ X_0=u_0 \qquad\text{et}\qquad \forall n\in\mathbb N,\quad X_{n+1}=\frac{X_n+u_{n+1}}{1+X_nu_{n+1}}. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}X_n. \]Étudier directement l’écart \(1-X_n\) et obtenir une contraction géométrique.
On a \(X_0=u_0\in\left]\frac{1}{2},1\right[\). Si \(0< X_n<1\), alors \(0< u_{n+1}<1\) et :
\[ 0< X_{n+1}=\frac{X_n+u_{n+1}}{1+X_nu_{n+1}}<1, \]car :
\[ 1+X_nu_{n+1}-(X_n+u_{n+1}) =(1-X_n)(1-u_{n+1})>0. \]Ainsi, par récurrence, \(0< X_n<1\) pour tout \(n\).
2. Étude de \(1-X_n\) \[ 1-X_{n+1} = \frac{(1-X_n)(1-u_{n+1})}{1+X_nu_{n+1}}. \]Or \(u_{n+1}>\frac{1}{2}\), donc \(0<1-u_{n+1}<\frac{1}{2}\), et \(1+X_nu_{n+1}>1\). Par conséquent :
\[ 0<1-X_{n+1}\le\frac{1}{2}(1-X_n). \]En itérant :
\[ 0<1-X_n\le\left(\frac{1}{2}\right)^n(1-X_0)\longrightarrow0. \]Question 3 — Condition de réalité dans le plan complexe
Soit \(z\in\mathbb C\setminus\{1\}\). On pose :
\[ x=\operatorname{Re}(z) \qquad\text{et}\qquad y=\operatorname{Im}(z). \]Déterminer la relation entre \(x\) et \(y\) telle que :
\[ z\notin\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \frac{z^2+z+1}{z-1}\in\mathbb R. \]Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Écrivons \(z=x+iy\), avec \(y\ne0\) puisque \(z\notin\mathbb R\).
\[ z^2+z+1=(x^2-y^2+x+1)+iy(2x+1), \qquad z-1=(x-1)+iy. \]La partie imaginaire du quotient vaut :
\[ \operatorname{Im}\left(\frac{z^2+z+1}{z-1}\right) = \frac{y\left[(2x+1)(x-1)-(x^2-y^2+x+1)\right]}{(x-1)^2+y^2}. \]Après simplification :
\[ \operatorname{Im}\left(\frac{z^2+z+1}{z-1}\right) = \frac{y(x^2+y^2-2x-2)}{(x-1)^2+y^2}. \]Le dénominateur est non nul. Comme \(y\ne0\), le quotient est réel si et seulement si :
\[ x^2+y^2-2x-2=0, \]c’est-à-dire :
\[ (x-1)^2+y^2=3. \]Question 4 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Soit \(a\in\mathbb C\). Déterminer \(\Gamma\), l’ensemble des points du plan complexe dont les affixes \(z\) vérifient :
\[ |z-a|=|2z-a|. \]On élève l’égalité des modules au carré, puis on complète le carré.
En développant :
\[ |z|^2-2\operatorname{Re}(z\overline a)+|a|^2 = 4|z|^2-4\operatorname{Re}(z\overline a)+|a|^2. \]Donc :
\[ 3|z|^2-2\operatorname{Re}(z\overline a)=0. \]En divisant par \(3\) et en complétant :
\[ \left|z-\frac{a}{3}\right|^2=\frac{|a|^2}{9}. \]Question 5 — Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition \(D\) de la fonction :
\[ f(x)=\tan\left(\pi\sin\left(\frac{\pi}{6}x\right)\right). \]La fonction \(\tan u\) est définie si et seulement si \(u\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\).
Ici :
\[ u=\pi\sin\left(\frac{\pi x}{6}\right). \]Comme \(\sin\left(\frac{\pi x}{6}\right)\in[-1,1]\), les seules valeurs interdites possibles sont :
\[ \sin\left(\frac{\pi x}{6}\right)=\frac{1}{2} \qquad\text{ou}\qquad \sin\left(\frac{\pi x}{6}\right)=-\frac{1}{2}. \]Ces égalités sont vérifiées exactement pour :
\[ x=6k+1 \qquad\text{ou}\qquad x=6k+5, \qquad k\in\mathbb Z. \]Question 6 — Partie entière et polynôme
Soit \(P\) un polynôme à coefficients strictement positifs.
Calculer :
\[ Q_6= \lim_{x\to+\infty} \frac{E(P(x))}{P(E(x))}. \]Pour tout réel \(t\), \(t-1< E(t)\le t\), où \(E(t)\) désigne la partie entière de \(t\).
Posons \(n=E(x)\). Alors \(n\le x< n+1\), donc :
\[ \frac{x}{n}\longrightarrow1. \]Supposons désormais que \(P\) est non constant. Si \(P\) est de degré \(d\ge1\) et de coefficient dominant strictement positif, on obtient :
\[ \frac{P(x)}{P(n)}\longrightarrow1. \]D’autre part :
\[ P(x)-1< E(P(x))\le P(x). \]En divisant par \(P(n)>0\) pour \(x\) assez grand :
\[ \frac{P(x)}{P(n)}-\frac{1}{P(n)} < \frac{E(P(x))}{P(E(x))} \le \frac{P(x)}{P(n)}. \]Or \(P(n)\to+\infty\), donc les deux bornes tendent vers \(1\).
Question 7 — Dérivée d’ordre n
Calculer la dérivée d’ordre \(n\) de la fonction :
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x}. \]Pour deux fonctions suffisamment dérivables :
\[ (uv)^{(n)}=\sum_{j=0}^{n}\mathrm{C}_n^j\,u^{(j)}v^{(n-j)}. \]On écrit :
\[ f(x)=\ln x\cdot x^{-1}. \]Pour \(j\ge1\) :
\[ (\ln x)^{(j)}=\frac{(-1)^{j-1}(j-1)!}{x^j}, \]et pour \(r\ge0\) :
\[ (x^{-1})^{(r)}=\frac{(-1)^r r!}{x^{r+1}}. \]La formule de Leibniz donne alors :
\[ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\ln x + \frac{(-1)^{n-1}n!}{x^{n+1}} \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}. \]Donc :
\[ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \left(\ln x-H_n\right). \]Question 8 — Équation fonctionnelle
Trouver l’ensemble \(Q_8\) de toutes les fonctions dérivables :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]telles que :
\[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad f(x+y)=f(x)f(y). \]Commencer par déterminer \(f(0)\), puis dériver l’égalité fonctionnelle.
En prenant \(x=y=0\) :
\[ f(0)=f(0)^2. \]Donc \(f(0)=0\) ou \(f(0)=1\).
Si \(f(0)=0\), alors pour tout \(x\) :
\[ f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0. \]On obtient la solution nulle.
2. Cas \(f(0)=1\)Pour tout \(x\), \(f(x)f(-x)=f(0)=1\), donc \(f(x)\ne0\).
On dérive l’égalité \(f(x+y)=f(x)f(y)\) par rapport à \(y\), puis on prend \(y=0\) :
\[ f'(x)=f(x)f'(0). \]Posons \(c=f'(0)\). Alors \(f'=cf\). La fonction \(g(x)=f(x)e^{-cx}\) vérifie \(g'(x)=0\), donc \(g\) est constante. Comme \(g(0)=1\), on a :
\[ f(x)=e^{cx}. \]Question 9 — Limite et dérivabilité en zéro
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\).
Pour \(k\in\mathbb N^\ast\), trouver :
\[ Q_9= \lim_{x\to0} \frac{1}{x} \left( f(x)+f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x}{3}\right)+\cdots+f\left(\frac{x}{k}\right) \right). \]Comme \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f(0)=0\),
\[ \lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t}=f'(0). \]Pour chaque \(j\in\{1,\ldots,k\}\) :
\[ \frac{f\left(\frac{x}{j}\right)}{x} = \frac{1}{j} \frac{f\left(\frac{x}{j}\right)}{\frac{x}{j}}. \]Lorsque \(x\to0\), on a \(\frac{x}{j}\to0\), donc :
\[ \frac{f\left(\frac{x}{j}\right)}{x} \longrightarrow \frac{f'(0)}{j}. \]La somme contient un nombre fixé de termes :
\[ Q_9 = f'(0)\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{j}. \]Question 10 — Équation différentielle
Soit \(y:x\longmapsto y(x)\) la solution de l’équation différentielle :
\[ y'\tan x=y\ln y, \qquad y(0)=\pi. \]Calculer :
\[ Q_{10}= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}y(x). \]Si l’équation est supposée valable en \(0\), alors :
\[ y'(0)\tan0=y(0)\ln y(0). \]Le membre de gauche vaut \(0\), tandis que le membre de droite vaut :
\[ \pi\ln\pi\ne0. \]Il n’existe donc aucune solution dérivable satisfaisant simultanément l’équation et la condition initiale.
2. Même conclusion si l’équation est imposée seulement pour \(x>0\)Près de \(0\), la condition \(y(0)=\pi\) impose \(y(x)>0\). Posons \(u(x)=\ln y(x)\). Alors :
\[ u'(x)\tan x=u(x), \qquad\text{donc}\qquad \frac{u'(x)}{u(x)}=\cot x. \]Sur un intervalle où \(u\ne0\), l’intégration donne :
\[ u(x)=C\sin x, \]où \(C\) est une constante réelle.
Ainsi \(u(x)\to0\) et \(y(x)=e^{u(x)}\to1\) lorsque \(x\to0^+\), ce qui contredit \(y(0)=\pi\).
Question 11 — Limite trigonométrique et exponentielle
Évaluer la limite :
\[ Q_{11}= \lim_{x\to+\infty} \left[ \frac{\pi}{2} - \left( \tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right) \right)^{\frac{1}{x}} \right]. \]On transforme l’angle puis on encadre le logarithme, sans développement limité ni règle de l’Hôpital.
Posons :
\[ \theta_x=\frac{\pi}{4x+2}. \]Alors :
\[ \frac{\pi x}{2x+1}=\frac{\pi}{2}-\theta_x, \qquad \tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)=\cot\theta_x. \]Pour \(x\) assez grand, \(0<\theta_x<\frac{\pi}{4}\). Comme \(\tan t\ge t\) pour \(t\ge0\), on a :
\[ 1<\cot\theta_x\le\frac{1}{\theta_x}=\frac{4x+2}{\pi}. \]Donc :
\[ 0\le \frac{1}{x}\ln(\cot\theta_x) \le \frac{1}{x}\ln\left(\frac{4x+2}{\pi}\right). \]La borne de droite tend vers \(0\). Par encadrement :
\[ \frac{1}{x}\ln(\cot\theta_x)\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ \left(\cot\theta_x\right)^{1/x} = \exp\left(\frac{1}{x}\ln(\cot\theta_x)\right) \longrightarrow1. \]Question 12 — Dérivée d’une fonction réciproque
Soit \(a<1\) et soit \(h\) une fonction définie sur \(]1,+\infty[\) par :
\[ h(x)=\log_a x-\log_x a. \]Calculer :
\[ Q_{12}=(h^{-1})'(0). \]Si \(h(x_0)=y_0\) et \(h'(x_0)\ne0\), alors :
\[ (h^{-1})'(y_0)=\frac{1}{h'(x_0)}. \]Pour que \(\log_a x\) soit définie, il faut \(a>0\) et \(a\ne1\). Comme l’énoncé donne \(a<1\), on a donc :
\[ 0< a<1. \]Posons :
\[ L=\ln a<0, \qquad t=\ln x>0. \]Alors :
\[ h(x)=\frac{\ln x}{\ln a}-\frac{\ln a}{\ln x} =\frac{t}{L}-\frac{L}{t}. \] 1. Justifier l’existence de \(h^{-1}\)Pour \(x>1\) :
\[ h'(x) = \frac{1}{xL} + \frac{L}{x(\ln x)^2}. \]Les deux termes sont strictement négatifs puisque \(L<0\). Ainsi \(h\) est strictement décroissante sur \(]1,+\infty[\).
De plus :
\[ \lim_{x\to1^+}h(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty. \]La fonction \(h\), continue et strictement décroissante, réalise donc une bijection de \(]1,+\infty[\) sur \(\mathbb R\). Sa fonction réciproque \(h^{-1}\) existe. Le nombre \(h^{-1}(0)\) est l’unique antécédent de \(0\) par \(h\).
2. Déterminer \(h^{-1}(0)\) \[ h(x)=0 \iff \frac{t}{L}=\frac{L}{t} \iff t^2=L^2. \]Comme \(t>0\) et \(L<0\), on a \(t=-L\). Ainsi :
\[ x_0=e^{-L}=\frac{1}{a}. \] 3. Calculer \(h'(x_0)\) \[ h'(x) = \frac{1}{xL} + \frac{L}{x(\ln x)^2}. \]Pour \(x_0=\frac{1}{a}\), on a \(\ln x_0=-L\), donc :
\[ h'(x_0) = \frac{1}{x_0L}+\frac{1}{x_0L} = \frac{2a}{\ln a}. \]Cette dérivée est non nulle. Par la formule de la dérivée de la réciproque :
\[ (h^{-1})'(0)=\frac{\ln a}{2a}. \]Question 13 — Équation logarithmique et trigonométrique
Trouver \(Q_{13}\), l’ensemble des solutions de l’équation :
\[ \ln|\sin x|+\ln|\tan x|=\ln|\cos x|. \]Il faut \(\sin x\ne0\), \(\cos x\ne0\) et \(\tan x\ne0\).
Sur le domaine de l’équation :
\[ \ln|\sin x|+\ln|\tan x| = \ln\left(|\sin x|\,|\tan x|\right). \]La fonction logarithme népérien étant injective sur \(\mathbb R_+^\ast\), l’équation équivaut à :
\[ |\sin x|\,|\tan x|=|\cos x|. \]Or \(\displaystyle |\tan x|=\frac{|\sin x|}{|\cos x|}\), donc :
\[ \frac{\sin^2x}{|\cos x|}=|\cos x| \iff \sin^2x=\cos^2x. \]Ainsi :
\[ \cos(2x)=0 \iff 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]Les solutions obtenues respectent les conditions de définition.
Question 14 — Limite d’une intégrale
Calculer :
\[ Q_{14}= \lim_{x\to\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{1}{1+\sin t-\cos t}\,dt. \]L’intégrande est continue sur \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\). La limite est donc l’intégrale jusqu’à \(\pi\), que l’on calcule par le changement de variable \(u=\tan\left(\frac{t}{2}\right)\).
Posons :
\[ u=\tan\left(\frac{t}{2}\right). \]Alors :
\[ \sin t=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}, \qquad dt=\frac{2\,du}{1+u^2}. \]Le dénominateur devient :
\[ 1+\sin t-\cos t = \frac{2u(u+1)}{1+u^2}. \]Lorsque \(t=\frac{\pi}{2}\), \(u=1\), et lorsque \(t\to\pi^-\), \(u\to+\infty\). Donc :
\[ Q_{14} = \int_1^{+\infty}\frac{du}{u(u+1)} = \int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right)du. \] \[ Q_{14} = \left[\ln u-\ln(u+1)\right]_1^{+\infty} = \ln2. \]Question 15 — Divisibilité dans les entiers
Soit \(k\in\mathbb Z\setminus\{3\}\). On pose :
\[ A= \frac{(2k^2+5k-2)(4k^2+11k+4)}{k+3}. \]Déterminer \(S\), l’ensemble des valeurs de \(k\) telles que :
\[ A\in\mathbb Z. \]Développons le numérateur :
\[ (2k^2+5k-2)(4k^2+11k+4) = 8k^4+42k^3+55k^2-2k-8. \]La division euclidienne par \(k+3\) donne :
\[ 8k^4+42k^3+55k^2-2k-8 = (k+3)(8k^3+18k^2+k-5)+7. \]Ainsi, pour \(k\ne-3\) :
\[ A=8k^3+18k^2+k-5+\frac{7}{k+3}. \]Le premier terme est entier pour tout \(k\in\mathbb Z\). Donc :
\[ A\in\mathbb Z \iff k+3\ \text{divise}\ 7. \]Les diviseurs entiers de \(7\) sont \(-7,-1,1,7\). On obtient :
\[ k=-10,\,-4,\,-2,\,4. \]Question 16 — Partie entière et limite
Calculer :
\[ Q_{16}= \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} E\left( \frac{\ln n}{n-\ln n} \right). \]Montrer que l’expression située dans la partie entière appartient finalement à \([0,1[\).
Comme \(\displaystyle\frac{\ln n}{n}\to0\), on a, pour \(n\) assez grand :
\[ 0<\ln n<\frac{n}{2}. \]Alors \(n-\ln n>0\) et :
\[ 0< \frac{\ln n}{n-\ln n} <1. \]Par conséquent, pour tout \(n\) assez grand :
\[ E\left(\frac{\ln n}{n-\ln n}\right)=0. \]La suite étudiée est donc finalement nulle.
Question 17 — Matrice non inversible
Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice :
\[ \begin{pmatrix} 1-m & -3 & 4\\ 4 & -7-m & 8\\ 6 & -7 & 7-m \end{pmatrix} \]n’est-elle pas inversible ?
Une matrice carrée est non inversible si et seulement si son déterminant est nul.
Pour :
\[ M= \begin{pmatrix} 1-m & -3 & 4\\ 4 & -7-m & 8\\ 6 & -7 & 7-m \end{pmatrix}, \]En développant le déterminant suivant la première ligne :
\[ \begin{aligned} \det(M) ={}&(1-m)\left[(-7-m)(7-m)+56\right]\\ &+3\left[4(7-m)-48\right]\\ &+4\left[-28+6(7+m)\right]. \end{aligned} \]Après simplification :
\[ \det(M) = -m^3+m^2+5m+3 = -(m-3)(m+1)^2. \]Ainsi :
\[ \det(M)=0 \iff m=3 \quad\text{ou}\quad m=-1. \]Aucune des propositions A, B et C ne donne exactement ces deux valeurs.
Question 18 — Étude locale d’une fonction
Soit \(f\) définie par \(f(0)=0\) et, pour \(x\ne0\) :
\[ f(x)=e^{x^2-x+\ln|x|}. \]Alors :
Pour \(x\ne0\) :
\[ f(x)=e^{x^2-x+\ln|x|} = |x|e^{x^2-x}. \] Proposition ALes dérivées latérales en \(0\) valent :
\[ f'_d(0) = \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^+}e^{x^2-x} =1, \] \[ f'_g(0) = \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^-}(-e^{x^2-x}) =-1. \]Elles sont différentes : \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). La proposition A est fausse.
Proposition BSur \([0,1]\), \(f(x)=xe^{x^2-x}\). Or \(x^2-x\le0\), donc \(e^{x^2-x}\le1\), d’où :
\[ f(x)\le x. \]La courbe est au-dessous de la droite \(y=x\). La proposition B est fausse.
Proposition CPour \(x>0\) :
\[ f'(x) = e^{x^2-x}\left[1+x(2x-1)\right]. \]Donc :
\[ f'(1)=2\ne3. \]La proposition C est fausse.
Question 19 — Fonction dépendant d’un paramètre
Soit \(m\in\mathbb R^\ast\). Soit \(f_m\) définie par \(f_m(0)=m\) et, pour \(x\ne0\) :
\[ f_m(x)=\frac{m}{x^2}e^{\frac{1}{x}}+m. \]Soit \(C_{f_m}\) sa courbe. Alors :
Pour \(x\ne0\) :
\[ f_m(x)=m\frac{e^{1/x}}{x^2}+m. \] Proposition ALorsque \(x\to0^-\), posons \(t=-\frac{1}{x}\to+\infty\). Alors :
\[ \frac{f_m(x)-f_m(0)}{x} = m\frac{e^{1/x}}{x^3} = -mt^3e^{-t}\longrightarrow0. \]La dérivée à gauche existe et vaut \(0\). La proposition A est fausse.
Proposition B \[ f_{-m}(x)=-f_m(x). \]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, et non par rapport à l’axe des ordonnées. La proposition B est fausse.
Proposition CPour \(x<0\), posons encore \(t=-\frac{1}{x}>0\). Alors :
\[ f_m(x)=m\left(t^2e^{-t}+1\right). \]La fonction \(\varphi(t)=t^2e^{-t}\) vérifie :
\[ \varphi'(t)=te^{-t}(2-t). \]Son maximum sur \(\mathbb R_+^\ast\) est atteint en \(t=2\) et vaut :
\[ \varphi(2)=\frac{4}{e^2}. \]Donc, pour \(m>0\) :
\[ \max_{]-\infty,0]}f_m = m\left(1+\frac{4}{e^2}\right), \]ce qui est différent de la valeur proposée. La proposition C est fausse.
Question 20 — Probabilité de former le mot SMARA
Dans une boîte se trouvent \(14\) jetons portant chacun une lettre du nom « SAHARA MAROCAIN ».
Soit l’expérience : « tirer simultanément \(5\) jetons ». On répète cette expérience \(3\) fois en remettant à chaque tirage les \(5\) lettres tirées dans la boîte. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Soit \(Y\) le nombre de fois où l’on forme le nom « SMARA » avec les \(5\) lettres tirées. Quelle est la probabilité pour que \(Y=3\) ?
Dans « SAHARA MAROCAIN », on compte :
- \(5\) lettres A ;
- \(2\) lettres R ;
- une lettre S et une lettre M.
Pour former « SMARA », il faut choisir S, M, deux A et un R. Le nombre de tirages favorables est :
\[ 1\times1\times\mathrm{C}_5^2\times\mathrm{C}_2^1 = 10\times2 = 20. \]Le nombre total de tirages simultanés de \(5\) jetons parmi \(14\) est :
\[ \mathrm{C}_{14}^{5}=2002. \]La probabilité de former « SMARA » lors d’une expérience est donc :
\[ p=\frac{20}{2002}=\frac{10}{1001}. \]Les trois expériences sont indépendantes, car les jetons sont remis après chaque tirage. L’événement \(Y=3\) signifie trois réussites :
\[ P(Y=3)=p^3 = \left(\frac{10}{1001}\right)^3 = \frac{1000}{(1001)^3}. \]Question 21 — Probabilité et ellipse
Une boîte \(A\) contient \(3\) jetons numérotés \(1\), \(2\) et \(4\). Une boîte \(B\) contient \(6\) jetons numérotés \(0\), \(3\), \(3\), \(5\), \(5\) et \(5\).
On tire au hasard un jeton dans \(A\), on lit le nombre \(a\) porté sur le jeton, puis on remet ce jeton dans \(A\). On effectue la même opération pour \(B\), et l’on note \(b\) le numéro du jeton tiré de \(B\).
Au couple \((a,b)\), on associe le point \(M(a,b)\). Quelle est la probabilité pour que \(M(a,b)\) soit situé sur l’ellipse d’équation :
\[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1? \]Les valeurs de \(a\) sont \(1\), \(2\) et \(4\), chacune avec la probabilité \(\frac{1}{3}\).
Dans la boîte \(B\) :
\[ P(b=0)=\frac{1}{6}, \qquad P(b=3)=\frac{2}{6}, \qquad P(b=5)=\frac{3}{6}. \]On teste les couples possibles dans :
\[ \frac{a^2}{16}+\frac{b^2}{12}=1. \]- Pour \(a=1\), aucune valeur proposée de \(b\) ne convient.
- Pour \(a=2\), il faut \(b^2=9\), donc \(b=3\).
- Pour \(a=4\), il faut \(b=0\).
Ainsi :
\[ P(M\ \text{sur l’ellipse}) = P(a=2,b=3)+P(a=4,b=0). \] \[ P = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{6} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{9}+\frac{1}{18} = \frac{1}{6}. \]Question 22 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les deux points :
\[ A(1,1,1) \qquad\text{et}\qquad B\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0\right), \]et les trois plans :
\[ (P):x+y+z-1=0, \qquad (Q):x-y+z+2=0, \]et \((H)\), le plan passant par \(A\) et perpendiculaire à \((P)\) et à \((Q)\).
Soit \(S\) la sphère de centre \(B\) et passant par \(A\). Alors l’intersection de \(S\) et \((H)\) est :
Déterminer d’abord le plan \(H\), puis comparer la distance du centre de la sphère au plan avec le rayon de la sphère.
Les vecteurs normaux aux plans \(P\) et \(Q\) sont :
\[ \vec n_P=(1,1,1), \qquad \vec n_Q=(1,-1,1). \]Si \(\vec n_H=(a,b,c)\) est normal à \(H\), les plans \(H\) et \(P\), puis \(H\) et \(Q\), étant perpendiculaires :
\[ a+b+c=0, \qquad a-b+c=0. \]On obtient \(b=0\) et \(c=-a\). On choisit :
\[ \vec n_H=(1,0,-1). \]Comme \(H\) passe par \(A(1,1,1)\), son équation est :
\[ H:\ x-z=0. \] Centre du cercle d’intersectionLorsqu’un plan coupe une sphère suivant un cercle, le centre de ce cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan. Ici, le centre recherché est donc le projeté orthogonal \(C\) de \(B\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},0\right)\) sur \(H\). La droite orthogonale à \(H\) passant par \(B\) est :
\[ B+\lambda(1,0,-1). \]La condition \(x=z\) donne \(\lambda=\frac{1}{4}\). Ainsi :
\[ C\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right). \] Rayon du cercleLe rayon \(R\) de la sphère vérifie :
\[ R^2=AB^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{7}{2}. \]De plus :
\[ BC^2=\frac{1}{8}. \]Dans le triangle rectangle formé par le centre \(B\), son projeté \(C\) et un point du cercle d’intersection, le théorème de Pythagore donne :
\[ r^2=R^2-BC^2 = \frac{7}{2}-\frac{1}{8} = \frac{27}{8}. \]L’intersection est donc un cercle de centre \(C\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right)\) et de rayon \(\sqrt{\frac{27}{8}}\). Elle ne correspond à aucune des propositions A, B ou C.
Question 23 — Suite définie par une intégrale
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \((I_n)_n\) la suite définie par :
\[ I_n=\int_1^0 x e^{-nx^2}\,dx. \]Choisir la bonne réponse :
Une primitive est :
\[ -\frac{1}{2n}e^{-nx^2}. \]Donc :
\[ I_n = \left[-\frac{1}{2n}e^{-nx^2}\right]_1^0 = -\frac{1}{2n}+\frac{e^{-n}}{2n} = -\frac{1-e^{-n}}{2n}. \] Étude des propositions- La proposition A est fausse, car son expression est positive alors que \(I_n<0\).
- Comme \(0<1-e^{-n}<1\), on a \(\displaystyle -\frac{1}{2n}< I_n<0\), donc \(I_n>-\frac{1}{2}\) : la proposition B est vraie.
- Comme \(\displaystyle |I_n|\le\frac{1}{2n}\), on a \(I_n\to0\) : la proposition C est vraie.
Question 24 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Soit l’équation :
\[ (E):\quad \sin x=\cos(2x). \]On cherche le nombre de solutions de \((E)\) appartenant à \([0,2\pi]\) :
On utilise :
\[ \cos(2x)=1-2\sin^2x. \]L’équation devient :
\[ \sin x=1-2\sin^2x. \]Posons \(s=\sin x\). Alors :
\[ 2s^2+s-1=0 \iff (2s-1)(s+1)=0. \]Donc :
\[ \sin x=\frac{1}{2} \qquad\text{ou}\qquad \sin x=-1. \]Dans \([0,2\pi]\) :
\[ \sin x=\frac{1}{2} \iff x=\frac{\pi}{6}\ \text{ou}\ x=\frac{5\pi}{6}, \] \[ \sin x=-1 \iff x=\frac{3\pi}{2}. \]Il y a donc trois solutions.
Question 25 — Dimension d’un espace vectoriel
Dans \(\mathbb R^4\) muni de sa base canonique \((\vec i,\vec j,\vec k,\vec l)\), on considère l’espace vectoriel \(F\) défini par :
\[ F= \left\{ \vec u(x,y,z,t)\ \middle|\ x+y+z+t=0 \right\}. \]La dimension de \(F\), notée \(\dim(F)\), est :
L’équation de \(F\) est :
\[ x+y+z+t=0. \]On peut écrire :
\[ x=-y-z-t. \]Ainsi, tout vecteur de \(F\) s’écrit :
\[ (x,y,z,t) = y(-1,1,0,0) + z(-1,0,1,0) + t(-1,0,0,1). \]Les trois vecteurs :
\[ v_1=(-1,1,0,0), \qquad v_2=(-1,0,1,0), \qquad v_3=(-1,0,0,1) \]sont linéairement indépendants. En effet, si :
\[ \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=\vec0, \]la deuxième coordonnée donne \(\alpha=0\), la troisième donne \(\beta=0\), puis la quatrième donne \(\gamma=0\). Ils forment donc une base de \(F\).
Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | \(\frac{k(k+1)}{2}\) |
| Q2 | \(1\) |
| Q3 | \((x-1)^2+y^2=3,\ y\ne0\) |
| Q4 | Centre \(\frac{a}{3}\), rayon \(\frac{|a|}{3}\) |
| Q5 | \(\mathbb R\setminus\{6k+1,6k+5\}\) |
| Q6 | \(1\) |
| Q7 | \(\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}(\ln x-H_n)\) |
| Q8 | \(f\equiv0\) ou \(f(x)=e^{cx}\) |
| Q9 | \(f'(0)\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{j}\) |
| Q10 | Aucune solution ; limite non définie |
| Q11 | \(\frac{\pi}{2}-1\) |
| Q12 | \(\frac{\ln a}{2a}\) |
| Q13 | \(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\) |
| Q14 | \(\ln2\) |
| Q15 | \(\{-10,-4,-2,4\}\) |
| Q16 | \(0\) |
| Q17 | D |
| Q18 | D |
| Q19 | D |
| Q20 | A |
| Q21 | A |
| Q22 | D |
| Q23 | B et C |
| Q24 | C |
| Q25 | C |
Anomalies objectives du sujet
- Q6 : la réponse attendue suppose que le polynôme \(P\) est non constant.
- Q10 : l’équation différentielle est incompatible avec la condition \(y(0)=\pi\).
- Q15 : le sujet exclut \(k=3\), alors que le dénominateur impose \(k\ne-3\).
- Q23 : les propositions B et C sont toutes les deux vraies malgré l’annonce d’une seule réponse correcte.
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