Concours ENSAM 2017 — Mathématiques
Concours commun d’accès en première année des années préparatoires de l’ENSAM.
Session du 26 juillet 2017 — Durée : 2 h — 25 questions à réponses précises.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2017.
Les questions couvrent les suites, l’analyse, les nombres complexes, les probabilités, l’arithmétique et la géométrie dans l’espace.
Consignes de l’épreuve
- Durée : 2 heures.
- L’épreuve comporte 25 questions à réponses précises.
- Les questions sont indépendantes.
- Chaque réponse est notée sur 2 points.
- La calculatrice est interdite.
Énoncé — ENSAM 2017 — Mathématiques
Question 1 — Suite récurrente
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par :
\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=3u_n-1,\quad n\ge0. \]Sachant que la suite de terme général :
\[ v_n=u_n-\frac{1}{2} \]est géométrique, calculer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Question 2 — Limite d’une somme télescopique
Calculer la limite de la suite de terme général :
\[ u_n= \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} +\cdots+ \frac{1}{n(n+1)}. \]On pourra utiliser :
\[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}, \qquad k\in\mathbb N^\ast. \]Question 3 — Somme et produit de trois racines
Sachant que :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{9}\right), \qquad \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right), \qquad \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right) \]sont des racines du polynôme :
\[ P(x)=8x^3-6x-1, \]donner la valeur de leur somme :
\[ S= \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right), \]et de leur produit :
\[ P= \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right) \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right). \]Question 4 — Équation dans les nombres complexes
Dans l’ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes, on considère l’équation :
\[ (E):\quad (z-2)^n-(\overline z+2)^n=0, \]où \(n\) est un entier naturel.
Résoudre l’équation \((E)\).
On pourra utiliser le fait que, si \(z\) est une solution, alors :
\[ \arg(z)\equiv\frac{\pi}{2}\pmod{\pi}. \]Question 5 — Triangle et cercle circonscrit
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
\[ a,\qquad b,\qquad 2i. \]On suppose que :
\[ a+b+2i=0 \]et :
\[ \frac{b-2i}{a-2i} = e^{i\pi/3}. \]Déterminer la nature du triangle \(ABC\), puis en déduire le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de son cercle circonscrit.
Question 6 — Limite en zéro à droite
Calculer :
\[ \ell= \lim_{t\to0^+} \frac{ \sqrt{e^{-t}}-e^{-\sqrt t} }{ 2\sqrt t\,\sin(\sqrt t) }. \]Question 7 — Condition suffisante d’existence et d’unicité
Soit \(f\) une fonction définie sur \([0,1]\) telle que :
\[ f(0)\ne f(1). \]Donner une condition suffisante sur \(f\) pour que :
\[ \forall a\in]0,1[,\quad \exists!\,x_a\in]0,1[ \]tel que :
\[ f(x_a) = af(0)+(1-a)f(1). \]Question 8 — Tangente à une courbe logarithmique
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x) = \ln\left( xe^x+e^{1/x} \right). \]Déterminer une équation cartésienne de la tangente \((\Delta)\) à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
Question 9 — Branche infinie
Déterminer la branche infinie, au voisinage de \(+\infty\), de la courbe représentative \(C_f\) de la fonction :
\[ f(x) = x+\frac{e^x+1}{e^x-1}. \]Question 10 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ I= \int_1^2 \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx. \]Question 11 — Volume d’un solide de révolution
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) par :
\[ f(x) = \sqrt{ \frac{\sin x}{1+\cos x} }. \]On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=1\ \mathrm{cm}. \]Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses.
Question 12 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), on pose :
\[ I_n= \int_0^{\pi/2} e^{-n\sin x}\,dx. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n. \]On donne :
\[ \sin x\ge\frac{2x}{\pi}, \qquad x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \]Question 13 — Aire d’un triangle dans l’espace
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(1,1,0), \qquad B(1,0,1), \qquad C(0,1,1). \]Calculer l’aire \(S\) du triangle \(ABC\).
Question 14 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(-2,1,2) \qquad\text{et}\qquad B(2,3,0). \]Soit \(S\) la sphère de diamètre \([AB]\).
Calculer la distance \(d\) du centre \(\Omega\) de la sphère au plan :
\[ (P):\quad 2x+y-z-1=0, \]puis déterminer l’intersection :
\[ S\cap(P). \]Question 15 — Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y''+2y'+y=x+1. \]Sachant que la fonction :
\[ x\longmapsto x-1 \]est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative admette l’axe des abscisses comme tangente à l’origine.
Question 16 — Aire maximale d’un rectangle inscrit
On considère un cercle \(C\) de rayon :
\[ 2\ \mathrm{m}. \]Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de l’aire d’un rectangle inscrit dans le cercle \(C\).
Question 17 — Dépréciation d’une voiture
Une voiture perd \(10\%\) de sa valeur chaque année.
Après combien d’années \(N\) la voiture aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
On donne :
\[ \ln(0{,}5)\approx-0{,}69 \qquad\text{et}\qquad \ln(0{,}9)\approx-0{,}11. \]Question 18 — Nombre de codes possibles
Le code d’accès à une chambre d’hôtel est formé :
- de trois chiffres distincts et non nuls, classés dans l’ordre croissant ;
- puis de deux lettres distinctes choisies parmi \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Quel est le nombre \(N\) de codes possibles ?
Question 19 — Probabilité d’obtenir un arbre sain
Une forêt contient \(30\%\) d’arbres de cèdre.
Parmi les cèdres, \(10\%\) sont infectés par une maladie. Parmi les autres arbres, \(20\%\) sont infectés.
On choisit au hasard un arbre de cette forêt.
Quelle est la probabilité \(P\) d’obtenir un arbre sain ?
Question 20 — Équation fonctionnelle
Trouver toutes les fonctions :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]continues en \(0\) et telles que :
\[ f(3x)=f(x), \qquad x\in\mathbb R. \]Question 21 — Intersection avec l’axe des abscisses
Déterminer l’ensemble \(E\) des points d’intersection de l’axe des abscisses avec la courbe représentative de la fonction :
\[ f(x) = (\cos x+\sin x)e^{-x}. \]Question 22 — Système logarithmique
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\[1mm] \ln x+\ln y=\ln2. \end{cases} \]Question 23 — Équation diophantienne
Soit \(p\ge3\) un entier premier.
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation :
\[ x^2-y^2=p. \]Question 24 — Chiffre des unités
Déterminer le chiffre des unités \(u\) du nombre :
\[ 2017^{2016}. \]Question 25 — Reste modulo 5
Déterminer le reste \(r\) de la division euclidienne par \(5\) du nombre :
\[ 2222^{3333}+3333^{2222}. \]Conseil de travail
Commencer par les questions directes, puis revenir aux problèmes nécessitant plusieurs étapes de calcul ou une justification plus longue.
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