Correction ENSAM 2017 — Mathématiques
Correction détaillée des 25 questions du concours commun d’accès en première année des années préparatoires de l’ENSAM.
Cette page présente la correction complète de l’épreuve de mathématiques ENSAM 2017.
Chaque question contient l’énoncé, la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée — Questions 1 à 25
Question 1 — Suite récurrente
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par :
\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=3u_n-1,\quad n\ge0. \]Sachant que la suite de terme général :
\[ v_n=u_n-\frac{1}{2} \]est géométrique, calculer \(u_n\) en fonction de \(n\).
On utilise la suite géométrique \(v_n=u_n-\dfrac{1}{2}\).
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(3\).
De plus :
\[ v_0=u_0-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]Ainsi :
\[ v_n=\frac{1}{2}\,3^n. \]Comme \(u_n=v_n+\dfrac{1}{2}\), on obtient :
\[ u_n = \frac{3^n}{2}+\frac{1}{2}. \]Question 2 — Limite d’une somme télescopique
Calculer la limite de la suite de terme général :
\[ u_n= \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} +\cdots+ \frac{1}{n(n+1)}. \]On pourra utiliser :
\[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}, \qquad k\in\mathbb N^\ast. \]On utilise la décomposition fournie afin d’obtenir une somme télescopique.
Les termes intermédiaires se simplifient :
\[ u_n = 1-\frac{1}{n+1}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = 1. \]Question 3 — Somme et produit de trois racines
Sachant que :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{9}\right), \qquad \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right), \qquad \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right) \]sont des racines du polynôme :
\[ P(x)=8x^3-6x-1, \]donner la valeur de leur somme :
\[ S= \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right), \]et de leur produit :
\[ P= \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{9}\right) \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right). \]On applique les relations de Viète au polynôme \(8x^3-6x-1\).
Relations utilisées : si un polynôme \(ax^3+bx^2+cx+d\), avec \(a\ne0\), admet pour racines \(x_1,x_2,x_3\), alors les relations de Viète donnent :
\[ x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \qquad\text{et}\qquad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}. \]Pour un polynôme :
\[ ax^3+bx^2+cx+d, \]la somme des racines est \(-\dfrac{b}{a}\) et leur produit est \(-\dfrac{d}{a}\).
Ici :
\[ a=8,\qquad b=0,\qquad d=-1. \]Donc :
\[ S=-\frac{0}{8}=0 \]et :
\[ P=-\frac{-1}{8}=\frac{1}{8}. \]Question 4 — Équation dans les nombres complexes
Dans l’ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes, on considère l’équation :
\[ (E):\quad (z-2)^n-(\overline z+2)^n=0, \]où \(n\) est un entier naturel.
Résoudre l’équation \((E)\).
On pourra utiliser le fait que, si \(z\) est une solution, alors :
\[ \arg(z)\equiv\frac{\pi}{2}\pmod{\pi}. \]On compare d’abord les modules des deux membres, puis on utilise leur signe relatif.
Notations : \(\arg(z)\) désigne un argument du nombre complexe non nul \(z\). L’écriture \(\alpha\equiv\beta\pmod\pi\) signifie que \(\alpha-\beta\) est un multiple entier de \(\pi\). Enfin, \(i\mathbb R=\{iy\,;\,y\in\mathbb R\}\) est l’axe imaginaire.
Si \(z\) est solution, alors :
\[ |z-2|^n=|\overline z+2|^n. \]Or :
\[ |\overline z+2|=|z+2|. \]Donc :
\[ |z-2|=|z+2|. \]L’ensemble des points équidistants des points d’affixes \(2\) et \(-2\) est l’axe imaginaire. Ainsi :
\[ z=iy, \qquad y\in\mathbb R. \]Pour un tel nombre :
\[ \overline z+2=2-iy=-(iy-2)=-(z-2). \]L’équation devient :
\[ (z-2)^n=(-1)^n(z-2)^n. \]Comme \(z-2\ne0\), elle est vérifiée si et seulement si :
\[ (-1)^n=1. \]Pour \(n\ge1\) :
\[ \boxed{ \begin{cases} \text{si \(n\) est pair, }z\in i\mathbb R,\\[1mm] \text{si \(n\) est impair, aucune solution.} \end{cases}} \]Question 5 — Triangle et cercle circonscrit
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
\[ a,\qquad b,\qquad 2i. \]On suppose que :
\[ a+b+2i=0 \]et :
\[ \frac{b-2i}{a-2i} = e^{i\pi/3}. \]Déterminer la nature du triangle \(ABC\), puis en déduire le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de son cercle circonscrit.
Le quotient complexe donne la longueur et l’angle au sommet \(C\).
Interprétation du quotient complexe : pour trois points d’affixes \(a,b,c\), le module de \(\dfrac{b-c}{a-c}\) est le rapport \(\dfrac{CB}{CA}\), et son argument donne l’angle orienté \(\widehat{ACB}\).
On a :
\[ \left| \frac{b-2i}{a-2i} \right| = 1. \]Donc :
\[ CB=CA. \]De plus :
\[ \arg\left( \frac{b-2i}{a-2i} \right) = \frac{\pi}{3}. \]Ainsi :
\[ \widehat{ACB}=\frac{\pi}{3}. \]Un triangle isocèle en \(C\) dont l’angle au sommet vaut \(\dfrac{\pi}{3}\) est équilatéral.
Par ailleurs :
\[ a+b+2i=0. \]L’affixe du centre de gravité du triangle est donc :
\[ \frac{a+b+2i}{3}=0. \]Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité est également le centre du cercle circonscrit. Donc :
\[ \Omega=O. \]Comme \(C\) a pour affixe \(2i\) :
\[ R=OC=|2i|=2. \]Le triangle \(\boxed{ABC}\) est équilatéral, et son cercle circonscrit a pour :
\[ \boxed{\Omega=O} \qquad\text{et}\qquad \boxed{R=2}. \]Question 6 — Limite en zéro à droite
Calculer :
\[ \ell= \lim_{t\to0^+} \frac{ \sqrt{e^{-t}}-e^{-\sqrt t} }{ 2\sqrt t\,\sin(\sqrt t) }. \]On pose \(x=\sqrt t\) afin de comparer les premiers termes du numérateur et du dénominateur.
Posons :
\[ x=\sqrt t. \]Lorsque \(t\to0^+\), on a \(x\to0^+\) et \(t=x^2\). Ainsi :
\[ \ell = \lim_{x\to0^+} \frac{e^{-x^2/2}-e^{-x}}{2x\sin x}. \]Factorisons le numérateur :
\[ e^{-x^2/2}-e^{-x} = e^{-x}\left(e^{x-x^2/2}-1\right). \]Posons :
\[ u_x=x-\frac{x^2}{2} = x\left(1-\frac{x}{2}\right). \]Pour \(x>0\) suffisamment proche de \(0\), on a \(u_x>0\), et :
\[ \frac{e^{-x^2/2}-e^{-x}}{2x\sin x} = \frac{1}{2x} \cdot e^{-x} \cdot \frac{e^{u_x}-1}{u_x} \cdot \frac{u_x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}. \]Or, lorsque \(x\to0^+\) :
\[ e^{-x}\to1, \qquad u_x\to0, \qquad \frac{e^{u_x}-1}{u_x}\to1, \] \[ \frac{u_x}{x} = 1-\frac{x}{2} \to1, \qquad \frac{x}{\sin x}\to1. \]Le produit des quatre derniers facteurs tend donc vers \(1\), tandis que :
\[ \frac{1}{2x}\longrightarrow+\infty. \]Tous les facteurs étant positifs pour \(x>0\) suffisamment proche de \(0\), on conclut :
Question 7 — Condition suffisante d’existence et d’unicité
Soit \(f\) une fonction définie sur \([0,1]\) telle que :
\[ f(0)\ne f(1). \]Donner une condition suffisante sur \(f\) pour que :
\[ \forall a\in]0,1[,\quad \exists!\,x_a\in]0,1[ \]tel que :
\[ f(x_a) = af(0)+(1-a)f(1). \]Le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence, et la stricte monotonie assure l’unicité.
Pour \(a\in]0,1[\), le nombre :
\[ af(0)+(1-a)f(1) \]est strictement compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\).
Si \(f\) est continue sur \([0,1]\), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’un point \(x_a\in]0,1[\).
Si, de plus, \(f\) est strictement monotone sur \([0,1]\), elle est injective, donc ce point est unique.
Une condition suffisante est :
\[ \boxed{\text{\(f\) continue et strictement monotone sur \([0,1]\).}} \]Question 8 — Tangente à une courbe logarithmique
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x) = \ln\left( xe^x+e^{1/x} \right). \]Déterminer une équation cartésienne de la tangente \((\Delta)\) à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
On calcule \(f(1)\) et \(f'(1)\).
On a :
\[ f(1) = \ln(e+e) = \ln(2e) = 1+\ln2. \]Posons :
\[ g(x)=xe^x+e^{1/x}. \]Alors :
\[ g'(x) = (1+x)e^x - \frac{e^{1/x}}{x^2}. \]Donc :
\[ g'(1)=2e-e=e \]et :
\[ g(1)=2e. \]Ainsi :
\[ f'(1) = \frac{g'(1)}{g(1)} = \frac{1}{2}. \]L’équation de la tangente est :
\[ y=f(1)+f'(1)(x-1). \]Question 9 — Branche infinie
Déterminer la branche infinie, au voisinage de \(+\infty\), de la courbe représentative \(C_f\) de la fonction :
\[ f(x) = x+\frac{e^x+1}{e^x-1}. \]On compare \(f(x)\) à une expression affine.
Donc :
\[ f(x) = x+1+\frac{2}{e^x-1}. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{2}{e^x-1}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f(x)-(x+1)\longrightarrow0. \]Au voisinage de \(+\infty\), la courbe admet l’asymptote oblique :
\[ \boxed{y=x+1}. \]Question 10 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ I= \int_1^2 \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx. \]On effectue une intégration par parties.
Formule utilisée : si \(u\) et \(v\) sont dérivables, alors :
\[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]Les écritures \(du=u'(x)\,dx\) et \(dv=v'(x)\,dx\) désignent les différentielles utilisées dans l’intégration par parties.
On prend :
\[ u=\ln x \qquad\text{et}\qquad dv=\frac{dx}{\sqrt x}. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{x} \qquad\text{et}\qquad v=2\sqrt x. \]Donc :
\[ I = \left[ 2\sqrt x\ln x \right]_1^2 - 2\int_1^2\frac{dx}{\sqrt x}. \] \[ I = 2\sqrt2\ln2 - 2\left[ 2\sqrt x \right]_1^2. \] \[ I = 2\sqrt2\ln2 - 4(\sqrt2-1). \]Question 11 — Volume d’un solide de révolution
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) par :
\[ f(x) = \sqrt{ \frac{\sin x}{1+\cos x} }. \]On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=1\ \mathrm{cm}. \]Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses.
Le volume est \(\pi\) fois l’intégrale du carré de la fonction.
Formule utilisée : lorsque la région située sous la courbe \(y=f(x)\) tourne autour de l’axe des abscisses, le volume obtenu est :
\[ V=\pi\int_a^b\bigl(f(x)\bigr)^2\,dx. \] \[ V = \pi \int_0^{\pi/2} f^2(x)\,dx. \]Or :
\[ f^2(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}. \]Donc :
\[ V = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx. \]Une primitive est :
\[ -\ln(1+\cos x). \]Ainsi :
\[ V = \pi \left[ -\ln(1+\cos x) \right]_0^{\pi/2}. \] \[ V = \pi\ln2. \]Question 12 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), on pose :
\[ I_n= \int_0^{\pi/2} e^{-n\sin x}\,dx. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n. \]On donne :
\[ \sin x\ge\frac{2x}{\pi}, \qquad x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \]On utilise l’inégalité fournie pour majorer l’intégrande.
Théorème utilisé : le théorème d’encadrement affirme que si \(0\le I_n\le A_n\) et si \(A_n\to0\), alors \(I_n\to0\).
Pour \(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) :
\[ \sin x\ge\frac{2x}{\pi}. \]Donc :
\[ 0\le e^{-n\sin x} \le e^{-2nx/\pi}. \]En intégrant :
\[ 0\le I_n \le \int_0^{\pi/2} e^{-2nx/\pi}\,dx. \] \[ 0\le I_n \le \frac{\pi}{2n} \left( 1-e^{-n} \right). \]Le membre de droite tend vers \(0\).
Question 13 — Aire d’un triangle dans l’espace
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(1,1,0), \qquad B(1,0,1), \qquad C(0,1,1). \]Calculer l’aire \(S\) du triangle \(ABC\).
L’aire du triangle est la moitié de la norme d’un produit vectoriel.
Notation : le symbole \(\wedge\) désigne le produit vectoriel. La norme de \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.
\[ \overrightarrow{AB} = (0,-1,1) \]et :
\[ \overrightarrow{AC} = (-1,0,1). \]Le produit vectoriel vaut :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (-1,-1,-1). \]Sa norme est :
\[ \sqrt{1+1+1} = \sqrt3. \]Donc :
\[ S = \frac{1}{2} \left\| \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} \right\|. \]Question 14 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(-2,1,2) \qquad\text{et}\qquad B(2,3,0). \]Soit \(S\) la sphère de diamètre \([AB]\).
Calculer la distance \(d\) du centre \(\Omega\) de la sphère au plan :
\[ (P):\quad 2x+y-z-1=0, \]puis déterminer l’intersection :
\[ S\cap(P). \]On détermine le centre et le rayon de la sphère, puis la distance du centre au plan.
Formule utilisée : la distance du point \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) est :
\[ d(M,P)= \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]Le centre de la sphère est le milieu de \([AB]\) :
\[ \Omega = \left( 0,2,1 \right). \]Le rayon vaut :
\[ R = \frac{AB}{2}. \]Or :
\[ \overrightarrow{AB} = (4,2,-2), \]donc :
\[ AB = \sqrt{16+4+4} = 2\sqrt6. \]Ainsi :
\[ R=\sqrt6. \]La distance de \(\Omega\) au plan \((P)\) vaut :
\[ d = \frac{|2\cdot0+2-1-1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = 0. \]Le centre de la sphère appartient donc au plan. L’intersection est un grand cercle.
et :
\[ \boxed{ S\cap(P) \text{ est le cercle de centre }\Omega(0,2,1) \text{ et de rayon }\sqrt6. } \]Question 15 — Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y''+2y'+y=x+1. \]Sachant que la fonction :
\[ x\longmapsto x-1 \]est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative admette l’axe des abscisses comme tangente à l’origine.
On ajoute à la solution particulière donnée la solution générale de l’équation homogène.
Notations et méthode : l’équation homogène associée est obtenue en remplaçant le second membre par \(0\). Sa résolution passe par l’équation caractéristique. La notation \(y_h\) désigne la solution générale de cette équation homogène, et \(A,B\) sont des constantes réelles.
L’équation homogène associée est :
\[ y''+2y'+y=0. \]Son équation caractéristique est :
\[ r^2+2r+1=(r+1)^2=0. \]Donc :
\[ y_h(x) = (A+Bx)e^{-x}. \]Comme \(x-1\) est une solution particulière :
\[ y(x) = x-1+(A+Bx)e^{-x}. \]L’axe des abscisses est tangent à l’origine, donc :
\[ y(0)=0 \qquad\text{et}\qquad y'(0)=0. \]La première condition donne :
\[ -1+A=0, \]d’où :
\[ A=1. \]De plus :
\[ y'(x) = 1+ (B-A-Bx)e^{-x}. \]À l’origine :
\[ 0=y'(0)=1+B-A. \]Comme \(A=1\), on obtient :
\[ B=0. \]Question 16 — Aire maximale d’un rectangle inscrit
On considère un cercle \(C\) de rayon :
\[ 2\ \mathrm{m}. \]Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de l’aire d’un rectangle inscrit dans le cercle \(C\).
La diagonale du rectangle est un diamètre du cercle.
Si les côtés du rectangle sont \(a\) et \(b\), sa diagonale vaut :
\[ 4\ \mathrm{m}. \]Donc :
\[ a^2+b^2=16. \]Or :
\[ (a-b)^2\ge0. \]Ainsi :
\[ a^2+b^2\ge2ab. \]Donc :
\[ 16\ge2ab, \]c’est-à-dire :
\[ ab\le8. \]L’égalité est atteinte lorsque \(a=b\), donc lorsque le rectangle est un carré.
Question 17 — Dépréciation d’une voiture
Une voiture perd \(10\%\) de sa valeur chaque année.
Après combien d’années \(N\) la voiture aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
On donne :
\[ \ln(0{,}5)\approx-0{,}69 \qquad\text{et}\qquad \ln(0{,}9)\approx-0{,}11. \]La valeur de la voiture suit une suite géométrique de raison \(0{,}9\).
Après \(N\) années, la valeur restante représente :
\[ 0{,}9^N \]de la valeur initiale.
La voiture a perdu au moins la moitié de sa valeur lorsque la valeur restante est inférieure ou égale à la moitié de la valeur initiale, c’est-à-dire lorsque :
\[ 0{,}9^N\le0{,}5. \]En utilisant le logarithme :
\[ N\ln(0{,}9)\le\ln(0{,}5). \]Comme \(\ln(0{,}9)<0\), le sens de l’inégalité change :
\[ N \ge \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}. \]Avec les valeurs données :
\[ N \ge \frac{-0{,}69}{-0{,}11} \approx 6{,}27. \]Comme \(N\) doit être un nombre entier d’années, le premier nombre entier pour lequel la voiture a perdu au moins la moitié de sa valeur est :
\[ N=7. \]Question 18 — Nombre de codes possibles
Le code d’accès à une chambre d’hôtel est formé :
- de trois chiffres distincts et non nuls, classés dans l’ordre croissant ;
- puis de deux lettres distinctes choisies parmi \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Quel est le nombre \(N\) de codes possibles ?
On choisit les trois chiffres, puis on ordonne les deux lettres distinctes.
Notations : \(\mathrm{C}_n^p=\binom np\) désigne le nombre de choix de \(p\) éléments parmi \(n\), sans ordre. La notation \(\mathrm{A}_n^p\) désigne le nombre de choix ordonnés de \(p\) éléments distincts parmi \(n\).
Les trois chiffres distincts sont choisis parmi les neuf chiffres non nuls.
Comme ils doivent être classés dans l’ordre croissant, chaque choix de trois chiffres détermine une seule suite :
\[ \mathrm{C}_9^3 = 84. \]Les deux lettres distinctes sont choisies et ordonnées parmi quatre lettres :
\[ \mathrm{A}_4^2 = 4\times3 = 12. \]Le nombre total de codes est donc :
\[ N = 84\times12. \]Question 19 — Probabilité d’obtenir un arbre sain
Une forêt contient \(30\%\) d’arbres de cèdre.
Parmi les cèdres, \(10\%\) sont infectés par une maladie. Parmi les autres arbres, \(20\%\) sont infectés.
On choisit au hasard un arbre de cette forêt.
Quelle est la probabilité \(P\) d’obtenir un arbre sain ?
On utilise la formule des probabilités totales.
Formule utilisée : en séparant les deux catégories d’arbres, la formule des probabilités totales donne :
\[ P(\text{sain}) = P(\text{cèdre})P(\text{sain}\mid\text{cèdre}) + P(\text{autre})P(\text{sain}\mid\text{autre}). \]La probabilité de choisir un cèdre sain est :
\[ 0{,}30\times0{,}90 = 0{,}27. \]La probabilité de choisir un autre arbre sain est :
\[ 0{,}70\times0{,}80 = 0{,}56. \]Donc :
\[ P = 0{,}27+0{,}56. \]Question 20 — Équation fonctionnelle
Trouver toutes les fonctions :
\[ f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \]continues en \(0\) et telles que :
\[ f(3x)=f(x), \qquad x\in\mathbb R. \]On itère la relation fonctionnelle vers des arguments qui tendent vers \(0\).
Pour tout réel \(x\) :
\[ f(x) = f\left(\frac{x}{3}\right). \]En répétant :
\[ f(x) = f\left(\frac{x}{3^n}\right), \qquad n\in\mathbb N. \]Or :
\[ \frac{x}{3^n}\longrightarrow0. \]Comme \(f\) est continue en \(0\) :
\[ f\left(\frac{x}{3^n}\right) \longrightarrow f(0). \]Mais cette suite est constamment égale à \(f(x)\). Donc :
\[ f(x)=f(0) \]pour tout réel \(x\).
Réciproquement, toute fonction constante vérifie la relation.
Les solutions sont toutes les fonctions constantes :
\[ \boxed{f(x)=c,\quad c\in\mathbb R.} \]Question 21 — Intersection avec l’axe des abscisses
Déterminer l’ensemble \(E\) des points d’intersection de l’axe des abscisses avec la courbe représentative de la fonction :
\[ f(x) = (\cos x+\sin x)e^{-x}. \]Le facteur exponentiel ne s’annule jamais.
On cherche les solutions de :
\[ (\cos x+\sin x)e^{-x}=0. \]Comme :
\[ e^{-x}>0, \]il faut et il suffit que :
\[ \cos x+\sin x=0. \]Or :
\[ \cos x+\sin x = \sqrt2 \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right). \]Donc :
\[ x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}+k\pi. \]Ainsi :
\[ x = \frac{3\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]Question 22 — Système logarithmique
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\[1mm] \ln x+\ln y=\ln2. \end{cases} \]L’équation logarithmique impose \(x>0\), \(y>0\) et \(xy=2\).
On a :
\[ \ln x+\ln y=\ln(xy)=\ln2. \]Donc :
\[ xy=2. \]De plus :
\[ x^2+y^2=5. \]Ainsi :
\[ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 5+4 = 9. \]Comme \(x>0\) et \(y>0\) :
\[ x+y=3. \]Les nombres \(x\) et \(y\) sont donc les racines de :
\[ X^2-3X+2=0. \]D’où :
\[ X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=2. \]Question 23 — Équation diophantienne
Soit \(p\ge3\) un entier premier.
Résoudre dans \(\mathbb N^2\) l’équation :
\[ x^2-y^2=p. \]On factorise la différence de deux carrés.
Comme \(p>0\), le produit \((x-y)(x+y)\) est positif. Or \(x+y\ge0\), et il ne peut pas être nul puisque le produit vaut \(p\). Ainsi \(x+y>0\), puis nécessairement \(x-y>0\). Les deux facteurs sont donc des entiers strictement positifs.
\[ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = p. \]Comme \(p\ge3\) est premier et que \(x,y\in\mathbb N\), les deux facteurs positifs sont nécessairement :
\[ x-y=1 \qquad\text{et}\qquad x+y=p. \]En additionnant :
\[ 2x=p+1. \]Donc :
\[ x=\frac{p+1}{2}. \]En soustrayant :
\[ 2y=p-1. \]Donc :
\[ y=\frac{p-1}{2}. \]Question 24 — Chiffre des unités
Déterminer le chiffre des unités \(u\) du nombre :
\[ 2017^{2016}. \]On étudie les puissances de \(7\) modulo \(10\).
Notation : \(a\equiv b\pmod m\) signifie que \(a\) et \(b\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(m\).
Les chiffres des unités se répètent avec une période \(4\) :
\[ 7^1\equiv7\pmod{10}, \] \[ 7^2\equiv9\pmod{10}, \] \[ 7^3\equiv3\pmod{10}, \] \[ 7^4\equiv1\pmod{10}. \]Or :
\[ 2016\equiv0\pmod4. \]Donc :
\[ 7^{2016}\equiv1\pmod{10}. \]Comme \(2017\equiv7\pmod{10}\), le même reste vaut pour \(2017^{2016}\).
Question 25 — Reste modulo 5
Déterminer le reste \(r\) de la division euclidienne par \(5\) du nombre :
\[ 2222^{3333}+3333^{2222}. \]On réduit les bases modulo \(5\), puis les exposants modulo \(4\).
Notation : \(a\equiv b\pmod m\) signifie que \(m\) divise \(a-b\), ou, de manière équivalente, que \(a\) et \(b\) ont le même reste modulo \(m\).
\[ 2222\equiv2\pmod5 \]et :
\[ 3333\equiv3\pmod5. \]Comme :
\[ 3333\equiv1\pmod4, \]on a :
\[ 2^{3333}\equiv2\pmod5. \]De plus :
\[ 2222\equiv2\pmod4, \]donc :
\[ 3^{2222}\equiv3^2\equiv9\equiv4\pmod5. \]Ainsi :
\[ 2222^{3333}+3333^{2222} \equiv 2+4 \equiv1 \pmod5. \]Bilan
Les 25 questions sont corrigées avec les calculs et les justifications nécessaires.
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