Concours ENSAM 2018 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année des années préparatoires de l’ENSAM.
Session du 20 juillet 2018 — Durée : 2 h — 20 questions à réponses précises.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2018.
Les questions couvrent l’analyse, les suites, les nombres complexes, les probabilités, l’arithmétique et la géométrie dans l’espace.
Consignes de l’épreuve
- Durée : 2 heures.
- L’épreuve comporte des questions à réponses précises.
- La calculatrice est strictement interdite.
- Une réponse juste rapporte 2 points.
- Une réponse fausse ou une absence de réponse rapporte 0 point.
Énoncé — ENSAM 2018 — Mathématiques
Question 1 — Limite d’une somme
Calculer la limite :
\[ Q_1= \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n^3+1} + \frac{2n}{n^3+2} + \frac{3n}{n^3+3} +\cdots+ \frac{n\cdot n}{n^3+n} \right). \]Question 2 — Suite de sommes partielles
Soit \(n\in\mathbb N\). On pose :
\[ u_n= \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} \]et :
\[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n. \]Calculer :
\[ Q_2= \lim_{n\to+\infty}S_n. \]Question 3 — Point d’inflexion
Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ g(x)= \ln\left( \frac{2\sqrt2\,x}{1+x^2} \right). \]La courbe représentative de \(g\) admet-elle un point d’inflexion ?
Dans l’affirmative, déterminer son abscisse.
Question 4 — Branche infinie
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)= \ln\left( \frac{e^{2x}-3}{e^{2x}+7} \right), \]et soit \((C_f)\) sa courbe représentative.
Déterminer la nature de la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Question 5 — Fonction réciproque
Soit \(h\) la fonction définie par :
\[ h(x)= \ln\left( x+\sqrt{x^2+1} \right). \]Calculer :
\[ h^{-1}(0). \]Question 6 — Limite avec racine cubique
Calculer la limite :
\[ Q_6= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}. \]Question 7 — Équation complexe
Soient \(\alpha\in\mathbb R\) et \(a\) une solution de l’équation :
\[ z^2-2\cos(\alpha)z=-1. \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), calculer :
\[ Q_7= a^n+\frac{1}{a^n}. \]Question 8 — Suite géométrique de nombres complexes
Soient :
\[ a=i\sqrt3 \]et :
\[ b= \sqrt3 \left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2} \right). \]On pose :
\[ \lambda= r(\cos\theta+i\sin\theta), \]avec :
\[ \theta\in]0,\pi] \qquad\text{et}\qquad r>0. \]Déterminer \(r\) et \(\theta\) pour que les trois nombres complexes \(a\), \(\lambda\) et \(b\) soient, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
Question 9 — Limite exponentielle
Calculer la limite :
\[ Q_9= \lim_{x\to+\infty} \left( \tan\left( \frac{\pi x}{2x+1} \right) \right)^{\frac{1}{x}}. \]Question 10 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ Q_{10} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^4x\sin x\,dx. \]Question 11 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n= \int_0^1 t^n\tan t\,dt. \]Calculer :
\[ Q_{11} = \lim_{n\to+\infty} \left( nI_n-1 \right). \]Question 12 — Équation différentielle avec condition intégrale
On considère l’équation différentielle :
\[ y''-4y'+20y=0, \]avec :
\[ y(0)=2 \]et :
\[ \int_0^\pi y(t)\,dt=0. \]Calculer :
\[ y\left(\frac{\pi}{2}\right). \]On donne :
\[ \int_0^\pi e^{at}\sin(bt)\,dt = \frac{ be^{a\pi}\cos(b\pi) - ae^{a\pi}\sin(b\pi) - b }{ a^2+b^2 }. \]Question 13 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Soit \(S\) l’ensemble des solutions de l’équation :
\[ \sin(9x)+\sin(5x)+2\sin^2x=1. \]Déterminer :
\[ \operatorname{card} \left( S\cap]-\pi,0[ \right). \]Question 14 — Inéquation trigonométrique
Résoudre, dans :
\[ \left]0,\frac{\pi}{2}\right[, \]l’inéquation :
\[ 2(\sin x)(\tan x)-3>0. \]Question 15 — Probabilité et ellipse
Une boîte \(A\) contient trois jetons numérotés :
\[ 1,\ 2,\ 4. \]Une boîte \(B\) contient six jetons numérotés :
\[ 0,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 5. \]On tire au hasard un jeton de \(A\), on lit le nombre \(a\) porté sur le jeton, puis on remet ce jeton dans \(A\).
On effectue la même opération dans \(B\), et l’on note \(b\) le numéro du jeton tiré.
Au couple \((a,b)\), on associe le point \(M(a,b)\).
Quelle est la probabilité pour que \(M(a,b)\) appartienne à l’ellipse d’équation :
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\ ? \]Question 16 — Probabilité maximale
Soit \(n\) un entier naturel impair supérieur ou égal à \(3\).
Une boîte contient :
- \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à \(n\) ;
- \(n+1\) boules noires numérotées de \(1\) à \(n+1\).
On tire au hasard et simultanément deux boules de la boîte.
Soit \(p\) la probabilité de l’événement :
« obtenir deux boules dont la somme des numéros est \(n\) ».
Déterminer la valeur de \(n\) pour laquelle \(p\) est maximale.
Question 17 — Équation exponentielle diophantienne
Soient \(a\) et \(b\) des entiers.
Déterminer tous les couples \((a,b)\) tels que :
\[ 7^a-3\times2^b=1. \]Question 18 — Intersection d’un plan et d’une droite
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(1,0,1), \qquad B(0,1,0), \qquad C(0,1,1), \qquad D(1,1,0). \]On considère aussi la droite \((\Delta)\) passant par \(D\) et ayant pour vecteur directeur :
\[ \vec u=(1,1,-1). \]Déterminer l’intersection du plan \((ABC)\) avec la droite \((\Delta)\).
Question 19 — Volume d’un tétraèdre
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(2,-3,-3), \qquad B(3,-2,2), \] \[ C(1,1,0), \qquad D(-1,0,-1). \]Calculer le volume du tétraèdre \(DABC\).
Question 20 — Rectangle formé de neuf carrés
Le rectangle représenté ci-dessous est formé de neuf carrés.
Le petit carré noir a \(1{,}5\ \mathrm{cm}\) de côté et le carré hachuré a \(15\ \mathrm{cm}\) de côté.
Déterminer les deux dimensions :
- \(L\), la longueur du rectangle ;
- \(l\), la largeur du rectangle.
Conseil de travail
Commencer par les questions directes, puis revenir aux questions nécessitant plusieurs étapes de calcul, une étude de fonction ou un raisonnement combinatoire.
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