Correction ENSAM 2018 — Mathématiques
Correction détaillée des 20 questions du concours d’entrée en première année des années préparatoires de l’ENSAM.
Cette page présente la correction complète de l’épreuve de mathématiques ENSAM 2018.
Chaque question contient l’énoncé, la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée — Questions 1 à 20
Question 1 — Limite d’une somme
Calculer la limite :
\[ Q_1= \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n^3+1} + \frac{2n}{n^3+2} + \frac{3n}{n^3+3} +\cdots+ \frac{n\cdot n}{n^3+n} \right). \]On encadre chaque dénominateur entre \(n^3+1\) et \(n^3+n\).
Notation : on note \(Q_{1,n}\) la somme située entre parenthèses pour une valeur fixée de \(n\). La quantité demandée est donc \(\displaystyle Q_1=\lim_{n\to+\infty}Q_{1,n}\).
Pour \(1\le k\le n\), on a :
\[ n^3+1\le n^3+k\le n^3+n. \]Donc :
\[ \frac{kn}{n^3+n} \le \frac{kn}{n^3+k} \le \frac{kn}{n^3+1}. \]En sommant de \(k=1\) à \(n\) :
\[ \frac{n}{n^3+n}\sum_{k=1}^{n}k \le Q_{1,n}\le \frac{n}{n^3+1}\sum_{k=1}^{n}k. \]Or :
\[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. \]Ainsi :
\[ \frac{n^2(n+1)}{2(n^3+n)} \le Q_{1,n}\le \frac{n^2(n+1)}{2(n^3+1)}. \]Les deux bornes tendent vers \(\dfrac{1}{2}\).
Question 2 — Suite de sommes partielles
Soit \(n\in\mathbb N\). On pose :
\[ u_n= \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} \]et :
\[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n. \]Calculer :
\[ Q_2= \lim_{n\to+\infty}S_n. \]On décompose \(u_n\) en une différence de deux fractions simples.
La somme est télescopique :
\[ S_n = \frac{1}{2} \left[ -1-\frac{1}{2n+1} \right]. \]En effet, tous les termes intermédiaires se simplifient.
Donc :
\[ S_n = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}. \]Question 3 — Point d’inflexion
Soit \(g\) la fonction définie par :
\[ g(x)= \ln\left( \frac{2\sqrt2\,x}{1+x^2} \right). \]La courbe représentative de \(g\) admet-elle un point d’inflexion ?
Dans l’affirmative, déterminer son abscisse.
On calcule la dérivée seconde et l’on étudie son changement de signe sur le domaine \(]0,+\infty[\).
Notations : \(g'\) désigne la dérivée première de \(g\) et \(g''\) sa dérivée seconde. Un point d’abscisse \(x_0\) est un point d’inflexion lorsque la convexité change en \(x_0\), ce que l’on vérifie ici par un changement de signe de \(g''\).
On écrit :
\[ g(x) = \ln(2\sqrt2)+\ln x-\ln(1+x^2). \]Alors :
\[ g'(x) = \frac{1}{x}-\frac{2x}{1+x^2}. \]Puis :
\[ g''(x) = \frac{x^4-4x^2-1}{x^2(1+x^2)^2}. \]Le dénominateur est strictement positif pour \(x>0\). On résout donc :
\[ x^4-4x^2-1=0. \]En posant \(X=x^2\) :
\[ X^2-4X-1=0. \] \[ X=2\pm\sqrt5. \]La seule valeur positive est :
\[ x^2=2+\sqrt5. \]La dérivée seconde change de signe en ce point.
La courbe admet un point d’inflexion d’abscisse :
\[ \boxed{x=\sqrt{2+\sqrt5}}. \]Question 4 — Branche infinie
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)= \ln\left( \frac{e^{2x}-3}{e^{2x}+7} \right), \]et soit \((C_f)\) sa courbe représentative.
Déterminer la nature de la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
On calcule la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).
On divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par \(e^{2x}\) :
\[ f(x) = \ln\left( \frac{1-3e^{-2x}}{1+7e^{-2x}} \right). \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ e^{-2x}\to0. \]Donc :
\[ \frac{1-3e^{-2x}}{1+7e^{-2x}} \longrightarrow1 \]et :
\[ f(x)\longrightarrow\ln1=0. \]Au voisinage de \(+\infty\), la courbe admet l’asymptote horizontale :
\[ \boxed{y=0}. \]Question 5 — Fonction réciproque
Soit \(h\) la fonction définie par :
\[ h(x)= \ln\left( x+\sqrt{x^2+1} \right). \]Calculer :
\[ h^{-1}(0). \]On résout directement l’équation \(h(x)=0\).
Notation : \(h^{-1}(0)\) désigne l’unique antécédent de \(0\) par \(h\), c’est-à-dire l’unique réel \(x\) tel que \(h(x)=0\).
\[ h(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=0. \] \[ x+\sqrt{x^2+1}=1. \]La valeur \(x=0\) vérifie cette égalité :
\[ 0+\sqrt{0^2+1}=1. \]De plus :
\[ h'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0 \qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]La fonction \(h\) est donc strictement croissante, ce qui assure l’unicité de l’antécédent.
Question 6 — Limite avec racine cubique
Calculer la limite :
\[ Q_6= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}. \]La limite est le nombre dérivé de la fonction \(t\mapsto\sqrt[3]{t}\) au point \(8\).
Notation : \(\varphi'(8)\) désigne le nombre dérivé de la fonction \(\varphi\) au point \(8\).
Posons :
\[ \varphi(t)=\sqrt[3]{t}. \]Alors :
\[ Q_6 = \lim_{x\to0} \frac{\varphi(8+x)-\varphi(8)}{x} = \varphi'(8). \]Or :
\[ \varphi'(t)=\frac{1}{3t^{2/3}}. \]Donc :
\[ \varphi'(8) = \frac{1}{3\times8^{2/3}} = \frac{1}{3\times4}. \]Question 7 — Équation complexe
Soient \(\alpha\in\mathbb R\) et \(a\) une solution de l’équation :
\[ z^2-2\cos(\alpha)z=-1. \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), calculer :
\[ Q_7= a^n+\frac{1}{a^n}. \]Les racines de l’équation sont \(e^{i\alpha}\) et \(e^{-i\alpha}\).
L’équation s’écrit :
\[ z^2-2\cos(\alpha)z+1=0. \]Or :
\[ e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2\cos\alpha \]et :
\[ e^{i\alpha}e^{-i\alpha}=1. \]Ainsi :
\[ a=e^{i\alpha} \qquad\text{ou}\qquad a=e^{-i\alpha}. \]Dans les deux cas :
\[ a^n+\frac{1}{a^n} = e^{in\alpha}+e^{-in\alpha}. \]Par la formule d’Euler :
\[ e^{in\alpha}+e^{-in\alpha} = 2\cos(n\alpha). \]Question 8 — Suite géométrique de nombres complexes
Soient :
\[ a=i\sqrt3 \]et :
\[ b= \sqrt3 \left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2} \right). \]On pose :
\[ \lambda= r(\cos\theta+i\sin\theta), \]avec :
\[ \theta\in]0,\pi] \qquad\text{et}\qquad r>0. \]Déterminer \(r\) et \(\theta\) pour que les trois nombres complexes \(a\), \(\lambda\) et \(b\) soient, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
Trois termes consécutifs d’une suite géométrique vérifient \(\lambda^2=ab\).
Notations : dans \(\lambda=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), le réel \(r=|\lambda|>0\) est le module de \(\lambda\), et \(\theta\) est un argument de \(\lambda\).
On écrit :
\[ a = \sqrt3\,e^{i\pi/2} \]et :
\[ b = \sqrt3\,e^{i\pi/3}. \]La condition géométrique donne :
\[ \lambda^2=ab. \]Donc :
\[ \lambda^2 = 3e^{i5\pi/6}. \]Les deux racines carrées sont :
\[ \lambda = \sqrt3\,e^{i5\pi/12} \]ou :
\[ \lambda = \sqrt3\,e^{i17\pi/12}. \]Comme :
\[ \theta\in]0,\pi], \]on retient la première valeur.
Question 9 — Limite exponentielle
Calculer la limite :
\[ Q_9= \lim_{x\to+\infty} \left( \tan\left( \frac{\pi x}{2x+1} \right) \right)^{\frac{1}{x}}. \]On passe au logarithme et l’on compare la tangente à une cotangente d’un angle tendant vers \(0\).
Posons :
\[ \delta_x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi x}{2x+1} = \frac{\pi}{4x+2}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(\delta_x\to0^+\), et :
\[ \tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right) = \cot(\delta_x) = \frac{\cos\delta_x}{\sin\delta_x}. \]Notons \(L_x\) l’expression élevée à la puissance \(\dfrac{1}{x}\). Comme \(L_x>0\), on étudie son logarithme :
\[ \ln L_x = \frac{1}{x} \left( \ln(\cos\delta_x)-\ln(\sin\delta_x) \right). \]Or :
\[ \sin\delta_x = \delta_x\, \frac{\sin\delta_x}{\delta_x}. \]Donc :
\[ \ln L_x = \frac{\ln(\cos\delta_x)}{x} - \frac{\ln\delta_x}{x} - \frac{1}{x} \ln\left(\frac{\sin\delta_x}{\delta_x}\right). \]Les premier et troisième termes tendent vers \(0\), car :
\[ \cos\delta_x\to1 \qquad\text{et}\qquad \frac{\sin\delta_x}{\delta_x}\to1. \]Enfin :
\[ -\frac{\ln\delta_x}{x} = \frac{1}{x}\ln\left(\frac{4x+2}{\pi}\right) \longrightarrow0, \]car \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\to0\). Ainsi :
\[ \ln L_x\longrightarrow0. \]Par continuité de la fonction exponentielle :
\[ L_x\longrightarrow e^0=1. \]Question 10 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ Q_{10} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^4x\sin x\,dx. \]On effectue une intégration par parties en intégrant \(\cos^4x\sin x\).
Formule utilisée : si \(u\) et \(v\) sont dérivables, alors :
\[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]Les écritures \(du=u'(x)\,dx\) et \(dv=v'(x)\,dx\) indiquent les différentielles utilisées dans cette intégration par parties.
On pose :
\[ u=x \qquad\text{et}\qquad dv=\cos^4x\sin x\,dx. \]Alors :
\[ du=dx \]et :
\[ v=-\frac{\cos^5x}{5}. \]Par intégration par parties :
\[ Q_{10} = \left[ -\frac{x\cos^5x}{5} \right]_0^{\pi/2} + \frac{1}{5} \int_0^{\pi/2}\cos^5x\,dx. \]Le terme de bord est nul. De plus :
\[ \int_0^{\pi/2}\cos^5x\,dx = \frac{4}{5}\times\frac{2}{3} = \frac{8}{15}. \]Donc :
\[ Q_{10} = \frac{1}{5}\times\frac{8}{15}. \]Question 11 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n= \int_0^1 t^n\tan t\,dt. \]Calculer :
\[ Q_{11} = \lim_{n\to+\infty} \left( nI_n-1 \right). \]On effectue une intégration par parties afin d’isoler la valeur de \(\tan(1)\).
Formule utilisée : on applique l’intégration par parties :
\[ \int_a^b u(t)v'(t)\,dt = \left[u(t)v(t)\right]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt. \]Ici, \(du=u'(t)\,dt\) et \(dv=v'(t)\,dt\).
On prend :
\[ u=\tan t \qquad\text{et}\qquad dv=t^n\,dt. \]Alors :
\[ du=\frac{dt}{\cos^2t} \qquad\text{et}\qquad v=\frac{t^{n+1}}{n+1}. \]Donc :
\[ I_n = \frac{\tan1}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{\cos^2t}\,dt. \]Or :
\[ 0 \le \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{\cos^2t}\,dt \le \frac{1}{\cos^2(1)} \int_0^1t^{n+1}\,dt. \] \[ 0 \le \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{\cos^2t}\,dt \le \frac{1}{(n+2)\cos^2(1)}. \]Cette intégrale tend vers \(0\). Ainsi :
\[ nI_n\longrightarrow\tan1. \]Question 12 — Équation différentielle avec condition intégrale
On considère l’équation différentielle :
\[ y''-4y'+20y=0, \]avec :
\[ y(0)=2 \]et :
\[ \int_0^\pi y(t)\,dt=0. \]Calculer :
\[ y\left(\frac{\pi}{2}\right). \]On donne :
\[ \int_0^\pi e^{at}\sin(bt)\,dt = \frac{ be^{a\pi}\cos(b\pi) - ae^{a\pi}\sin(b\pi) - b }{ a^2+b^2 }. \]On résout l’équation différentielle, puis on utilise la condition intégrale pour déterminer la seconde constante.
Méthode et notations : l’équation caractéristique associée à \(y''-4y'+20y=0\) est obtenue en recherchant des solutions de la forme \(y(t)=e^{rt}\). Les lettres \(A\) et \(B\) désignent ensuite des constantes réelles déterminées par les deux conditions données.
L’équation caractéristique est :
\[ r^2-4r+20=0. \]Ses racines sont :
\[ r=2\pm4i. \]Donc :
\[ y(t) = e^{2t} \left( A\cos4t+B\sin4t \right). \]La condition \(y(0)=2\) donne :
\[ A=2. \]Ainsi :
\[ y(t) = e^{2t} \left( 2\cos4t+B\sin4t \right). \]On calcule :
\[ \int_0^\pi e^{2t}\cos4t\,dt = \frac{e^{2\pi}-1}{10} \]et :
\[ \int_0^\pi e^{2t}\sin4t\,dt = -\frac{e^{2\pi}-1}{5}. \]La condition intégrale donne :
\[ 2\cdot\frac{e^{2\pi}-1}{10} - B\cdot\frac{e^{2\pi}-1}{5} = 0. \]Donc :
\[ B=1. \]Enfin :
\[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^\pi \left( 2\cos2\pi+\sin2\pi \right). \]Question 13 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Soit \(S\) l’ensemble des solutions de l’équation :
\[ \sin(9x)+\sin(5x)+2\sin^2x=1. \]Déterminer :
\[ \operatorname{card} \left( S\cap]-\pi,0[ \right). \]On utilise les formules de transformation trigonométrique pour factoriser l’équation.
Notation : \(\operatorname{card}(E)\) désigne le nombre d’éléments de l’ensemble fini \(E\).
On a :
\[ \sin9x+\sin5x = 2\sin7x\cos2x. \]De plus :
\[ 2\sin^2x=1-\cos2x. \]L’équation devient :
\[ 2\sin7x\cos2x+1-\cos2x=1. \] \[ \cos2x\left(2\sin7x-1\right)=0. \]Premier cas :
\[ \cos2x=0. \]Dans \(]-\pi,0[\), on obtient deux solutions :
\[ -\frac{3\pi}{4} \qquad\text{et}\qquad -\frac{\pi}{4}. \]Deuxième cas :
\[ \sin7x=\frac{1}{2}. \]Les solutions de \(\sin(7x)=\dfrac{1}{2}\) sont données par :
\[ 7x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \qquad\text{ou}\qquad 7x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \quad k\in\mathbb Z. \]Dans \(]-\pi,0[\), la première famille correspond à \(k=-3,-2,-1\), soit trois solutions, et la seconde famille correspond également à \(k=-3,-2,-1\), soit trois autres solutions.
Aucune de ces six solutions ne coïncide avec les deux solutions de \(\cos(2x)=0\).
Question 14 — Inéquation trigonométrique
Résoudre, dans :
\[ \left]0,\frac{\pi}{2}\right[, \]l’inéquation :
\[ 2(\sin x)(\tan x)-3>0. \]On transforme l’inéquation en une inéquation du second degré en \(\cos x\).
Sur \(]0,\dfrac{\pi}{2}[\), on a \(\cos x>0\). L’inéquation s’écrit :
\[ \frac{2\sin^2x}{\cos x}>3. \]Donc :
\[ 2(1-\cos^2x)>3\cos x. \]Posons :
\[ X=\cos x. \]Alors :
\[ 2X^2+3X-2<0. \]On factorise :
\[ (2X-1)(X+2)<0. \]Comme \(X+2>0\), il faut :
\[ X<\frac{1}{2}. \]Sur \(]0,\dfrac{\pi}{2}[\), la fonction cosinus est décroissante. Donc :
\[ x>\frac{\pi}{3}. \]Question 15 — Probabilité et ellipse
Une boîte \(A\) contient trois jetons numérotés :
\[ 1,\ 2,\ 4. \]Une boîte \(B\) contient six jetons numérotés :
\[ 0,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 5. \]On tire au hasard un jeton de \(A\), on lit le nombre \(a\) porté sur le jeton, puis on remet ce jeton dans \(A\).
On effectue la même opération dans \(B\), et l’on note \(b\) le numéro du jeton tiré.
Au couple \((a,b)\), on associe le point \(M(a,b)\).
Quelle est la probabilité pour que \(M(a,b)\) appartienne à l’ellipse d’équation :
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\ ? \]On examine les valeurs possibles de \(b\), puis on détermine la valeur correspondante de \(a\).
Principe de calcul : les tirages dans les deux boîtes sont indépendants. La probabilité d’un couple \((a,b)\) est donc le produit de la probabilité d’obtenir \(a\) dans la boîte \(A\) et de celle d’obtenir \(b\) dans la boîte \(B\).
Les valeurs possibles sont :
\[ a\in\{1,2,4\} \]et :
\[ b\in\{0,3,5\}. \]Si \(b=0\), l’équation de l’ellipse impose :
\[ \frac{a^2}{16}=1. \]Donc :
\[ a=4. \]Il existe un seul jeton portant \(4\) dans \(A\) et un seul jeton portant \(0\) dans \(B\). Le couple \((4,0)\) a donc pour probabilité :
\[ \frac{1}{3}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{18}. \]Si \(b=3\) :
\[ \frac{a^2}{16}+\frac{9}{12}=1. \] \[ \frac{a^2}{16}=\frac{1}{4}. \]Donc :
\[ a=2. \]Il existe un seul jeton portant \(2\) dans \(A\), mais deux jetons portent \(3\) dans \(B\). Le couple \((2,3)\) a donc pour probabilité :
\[ \frac{1}{3}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{9}. \]Si \(b=5\), le second terme dépasse déjà \(1\), donc aucun point ne convient.
Par conséquent :
\[ P = \frac{1}{18}+\frac{1}{9}. \]Question 16 — Probabilité maximale
Soit \(n\) un entier naturel impair supérieur ou égal à \(3\).
Une boîte contient :
- \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à \(n\) ;
- \(n+1\) boules noires numérotées de \(1\) à \(n+1\).
On tire au hasard et simultanément deux boules de la boîte.
Soit \(p\) la probabilité de l’événement :
« obtenir deux boules dont la somme des numéros est \(n\) ».
Déterminer la valeur de \(n\) pour laquelle \(p\) est maximale.
On compte les couples de numéros dont la somme vaut \(n\), puis on maximise la probabilité obtenue.
Notation : \(\mathrm{C}_N^2=\binom{N}{2}\) est le nombre de façons de choisir simultanément deux objets parmi \(N\), sans tenir compte de l’ordre.
Le nombre total de boules est :
\[ 2n+1. \]Le nombre total de tirages simultanés de deux boules est :
\[ \mathrm{C}_{2n+1}^{2} = n(2n+1). \]Comme \(n\) est impair, les couples de numéros positifs dont la somme vaut \(n\) sont :
\[ (1,n-1),(2,n-2),\ldots, \left(\frac{n-1}{2},\frac{n+1}{2}\right). \]Il y en a :
\[ \frac{n-1}{2}. \]Pour chaque couple de numéros distincts, les deux boules peuvent être :
- toutes les deux blanches ;
- la première blanche et la seconde noire ;
- la première noire et la seconde blanche ;
- toutes les deux noires.
Il y a donc :
\[ 4\times\frac{n-1}{2} = 2(n-1) \]tirages favorables.
Ainsi :
\[ p(n) = \frac{2(n-1)}{n(2n+1)}. \]Les valeurs admissibles de \(n\) sont les entiers impairs \(3,5,7,\ldots\). Comparons donc \(p(n+2)\) et \(p(n)\) :
\[ p(n+2)-p(n) = \frac{2(n+1)}{(n+2)(2n+5)} - \frac{2(n-1)}{n(2n+1)}. \]Après réduction au même dénominateur :
\[ p(n+2)-p(n) = \frac{-4(n^2-2)}{n(n+2)(2n+1)(2n+5)}. \]Pour \(n\ge3\), le dénominateur est positif et \(n^2-2>0\). Donc :
\[ p(n+2)-p(n)<0. \]La probabilité décroît donc lorsque \(n\) parcourt les entiers impairs admissibles. Elle est maximale pour le plus petit d’entre eux.
Question 17 — Équation exponentielle diophantienne
Soient \(a\) et \(b\) des entiers.
Déterminer tous les couples \((a,b)\) tels que :
\[ 7^a-3\times2^b=1. \]On traite d’abord les petites valeurs de \(b\), puis on utilise une factorisation lorsque \(b\ge3\).
Notation : \(u\equiv v\pmod 8\) signifie que \(u\) et \(v\) ont le même reste dans la division par \(8\).
Comme :
\[ 7^a=1+3\cdot2^b>1, \]on a \(a>0\). Le membre de droite étant entier, on a également \(b\ge0\).
Pour \(b=0\) :
\[ 7^a=4, \]ce qui est impossible.
Pour \(b=1\) :
\[ 7^a=7, \]d’où :
\[ (a,b)=(1,1). \]Pour \(b=2\) :
\[ 7^a=13, \]ce qui est impossible.
Supposons maintenant \(b\ge3\). Modulo \(8\), on obtient :
\[ 7^a\equiv1\pmod8. \]Comme \(7\equiv-1\pmod8\), l’entier \(a\) est pair. Posons :
\[ a=2k. \]Alors :
\[ (7^k-1)(7^k+1) = 3\cdot2^b. \]Comme \(7\equiv1\pmod3\), on a \(7^k-1\equiv0\pmod3\), tandis que \(7^k+1\equiv2\pmod3\). Le second facteur n’est donc pas divisible par \(3\).
Or le produit \((7^k-1)(7^k+1)\) ne contient comme facteurs premiers que \(2\) et \(3\). Puisque \(7^k+1\) n’est pas divisible par \(3\), il est nécessairement une puissance de \(2\).
Si \(k\) était pair, on aurait :
\[ 7^k+1\equiv2\pmod8, \]ce qui est impossible pour une puissance de \(2\) supérieure à \(2\). Donc \(k\) est impair.
Pour \(k\) impair :
\[ 7^k+1 = 8\left( 7^{k-1}-7^{k-2}+\cdots-7+1 \right). \]Le facteur entre parenthèses est impair. Pour que le produit soit une puissance de \(2\), ce facteur doit être égal à \(1\). On obtient :
\[ k=1. \]Ainsi :
\[ a=2 \]et :
\[ 7^2-1=48=3\cdot2^4. \]Donc :
\[ (a,b)=(2,4). \]Question 18 — Intersection d’un plan et d’une droite
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(1,0,1), \qquad B(0,1,0), \qquad C(0,1,1), \qquad D(1,1,0). \]On considère aussi la droite \((\Delta)\) passant par \(D\) et ayant pour vecteur directeur :
\[ \vec u=(1,1,-1). \]Déterminer l’intersection du plan \((ABC)\) avec la droite \((\Delta)\).
On détermine une équation du plan \((ABC)\), puis on remplace les coordonnées paramétriques de la droite.
Notation : le symbole \(\wedge\) désigne le produit vectoriel. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est orthogonal aux deux vecteurs et constitue donc un vecteur normal au plan \((ABC)\).
On a :
\[ \overrightarrow{AB}=(-1,1,-1) \]et :
\[ \overrightarrow{AC}=(-1,1,0). \]Un vecteur normal au plan est :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (1,1,0). \]Une équation du plan \((ABC)\) est donc :
\[ x+y=1. \]Une représentation paramétrique de \((\Delta)\) est :
\[ \begin{cases} x=1+t,\\ y=1+t,\\ z=-t. \end{cases} \]À l’intersection :
\[ (1+t)+(1+t)=1. \] \[ 2t=-1. \] \[ t=-\frac{1}{2}. \]Le point correspondant est :
\[ \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right). \]Question 19 — Volume d’un tétraèdre
Dans l’espace, on considère les points :
\[ A(2,-3,-3), \qquad B(3,-2,2), \] \[ C(1,1,0), \qquad D(-1,0,-1). \]Calculer le volume du tétraèdre \(DABC\).
Le volume d’un tétraèdre est le sixième de la valeur absolue d’un déterminant.
Formule utilisée : si trois vecteurs issus d’un même sommet d’un tétraèdre sont \(\vec u,\vec v,\vec w\), alors son volume est :
\[ V=\frac{1}{6}\left|\det(\vec u,\vec v,\vec w)\right|. \]À partir du sommet \(D\) :
\[ \overrightarrow{DA}=(3,-3,-2), \] \[ \overrightarrow{DB}=(4,-2,3), \] \[ \overrightarrow{DC}=(2,1,1). \]Le déterminant vaut :
\[ \det \begin{pmatrix} 3&-3&-2\\ 4&-2&3\\ 2&1&1 \end{pmatrix} = -37. \]Le volume est donc :
\[ V = \frac{1}{6} \left| -37 \right|. \]Question 20 — Rectangle formé de neuf carrés
Le rectangle représenté ci-dessous est formé de neuf carrés.
Le petit carré noir a \(1{,}5\ \mathrm{cm}\) de côté et le carré hachuré a \(15\ \mathrm{cm}\) de côté.
Déterminer les deux dimensions :
- \(L\), la longueur du rectangle ;
- \(l\), la largeur du rectangle.
On note les côtés des carrés et l’on utilise successivement les alignements horizontaux et verticaux de la figure.
Notons :
\[ h=15 \]le côté du carré hachuré et :
\[ t=1{,}5 \]le côté du petit carré noir.
Notons \(m\) le côté du carré central, situé à droite du carré noir.
Le carré inférieur gauche a pour côté :
\[ h-t. \]Le carré inférieur central a pour côté :
\[ m+t. \]Son bord supérieur se trouve \(t\) plus bas que celui du carré inférieur gauche. On a donc :
\[ h-t=(m+t)+t. \]Ainsi :
\[ m=h-3t. \] \[ m=15-3\times1{,}5=10{,}5. \]Notons \(c\) le côté du petit carré situé au-dessus du carré central. La différence verticale entre le bas du carré hachuré et le bas du grand carré supérieur droit, augmentée de \(t\), est égale à \(m\). Donc :
\[ m=h-c+t. \]D’où :
\[ c=h+t-m. \] \[ c=15+1{,}5-10{,}5=6. \]Le grand carré supérieur gauche a alors pour côté :
\[ a=h+c=21. \]Le grand carré supérieur droit a pour côté :
\[ b=a+c=27. \]La dimension horizontale du rectangle est donc :
\[ a+b=21+27=48\ \mathrm{cm}. \]Le carré inférieur droit a pour côté :
\[ 48-(h+m). \] \[ 48-(15+10{,}5)=22{,}5\ \mathrm{cm}. \]La dimension verticale du rectangle vaut alors :
\[ b+22{,}5 = 27+22{,}5 = 49{,}5\ \mathrm{cm}. \]Le rectangle mesure donc :
\[ 48\ \mathrm{cm}\times49{,}5\ \mathrm{cm}. \]Bilan
Les 20 questions sont corrigées avec les calculs et les justifications nécessaires.
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