Concours ENSAM 2019 — Mathématiques
Concours commun d’accès en première année préparatoire de l’ENSAM.
Session du 22 juillet 2019 — Durée : 2 h 15 min — 25 questions.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2019.
L’épreuve comporte une première partie de 10 questions à réponses précises et une deuxième partie de 15 questions à choix multiples.
Consignes de l’épreuve
- Durée : 2 h 15 min.
- Aucune question n’est permise pendant l’épreuve.
- Les calculatrices sont strictement interdites.
- Partie I : chaque réponse est notée sur 2 points.
- Partie II : une réponse correcte rapporte 2 points ; une réponse fausse, plusieurs réponses ou une absence de réponse rapportent 0 point.
Questions 1 à 10
Question 1 — Somme géométrique
Soit :
\[ \alpha\in]0,1[. \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ S_n = 1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^2+\cdots+(1-\alpha)^n. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]Question 2 — Anagrammes de « UMI MEKNES »
On note \(n\) le nombre de mots de neuf lettres, ayant un sens ou non, que l’on peut écrire avec toutes les lettres de :
\[ \text{UMI MEKNES}. \]Chaque mot doit utiliser exactement toutes les lettres de l’expression.
Calculer \(n\).
Question 3 — Rotation dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère trois points distincts \(A\), \(B\) et \(C\), d’affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\).
On sait que :
\[ (c-a)+i(b-a)=0. \]Déterminer le centre \(\Omega\) et l’angle \(\theta\) d’une rotation qui transforme l’un des points \(A\), \(B\) ou \(C\) en un autre de ces points.
Question 4 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ I = \int_0^1 \ln\left(x+\sqrt{2+x^2}\right)\,dx. \]Question 5 — Aire entre une parabole et une hyperbole
Dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=1\ \mathrm{cm}, \]calculer l’aire \(A\) de la surface délimitée par :
\[ y=x^2, \qquad y=\frac{1}{x}, \qquad x=\frac{1}{2}, \qquad x=1. \]Question 6 — Équation différentielle
Déterminer la solution particulière \(y_0\) de l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y'+3y^2=0, \]telle que \(y_0\) ne s’annule pas sur \(]1,+\infty[\) et dont la courbe représentative rencontre la première bissectrice au point d’abscisse \(1\).
Question 7 — Tangente à une sphère
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\), on considère la sphère \(S\) d’équation :
\[ x^2+y^2+z^2+2x-4y=0 \]et le point :
\[ A(2,1,0). \]Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\), tangente à \(S\) au point \(O\) et perpendiculaire à la droite \((OA)\).
Question 8 — Probabilité d’atteindre une cible
On effectue trois tirs successifs vers une même cible.
Les probabilités d’atteindre la cible lors du premier, du deuxième et du troisième tir sont respectivement :
\[ 0{,}4,\qquad 0{,}5,\qquad 0{,}7. \]Calculer la probabilité \(P\) d’atteindre la cible au moins une fois.
Question 9 — Limite en 1
Calculer :
\[ \lim_{x\to1}f(x), \]où :
\[ f(x) = \frac{1-e^{x-1}}{x\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)}. \]Question 10 — Aire maximale d’un rectangle inscrit
Soit \(ABC\) un triangle isocèle et rectangle en \(A\), tel que :
\[ AB=2\sqrt2\ \mathrm{m}. \]Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de l’aire du rectangle \(AIJK\) inscrit dans le triangle \(ABC\).
Questions 11 à 25
Question 11 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose :
\[ I_n = \int_0^1 x\ln(1+x^n)\,dx. \]On donne :
\[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad 0\le\ln(1+x)\le x. \]La limite de \((I_n)\) est :
Question 12 — Hauteur d’un triangle dans l’espace
Dans un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), avec :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1\ \mathrm{cm}, \]on considère :
\[ A(1,1,-1), \qquad B(1,0,-1), \qquad C(0,0,1). \]La hauteur \(h\) du triangle \(ABC\), issue de \(A\), vaut :
Question 13 — Ensemble de points du plan complexe
Le plan complexe \((P)\) est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère :
\[ \mathcal A = \left\{ M(z)\in(P)\ ;\ |z|=z+\overline z \right\}. \]L’ensemble \(\mathcal A\) est :
Question 14 — Nombre de solutions d’une équation
On considère, dans l’intervalle \(]0,\dfrac{\pi}{6}[\), l’équation :
\[ (E):\quad \sin x+x=1. \]Cette équation admet :
Question 15 — Branche infinie d’une fonction
Soit :
\[ f(x) = \ln(1+e^x) - \frac{1}{1+e^x}. \]La courbe représentative \(C_f\) admet au voisinage de \(+\infty\) :
Question 16 — Convexité d’une fonction
Soit \(g\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ g(x) = \frac{1}{1+x} + \ln(1+x). \]La courbe représentative \(C_g\) :
Question 17 — Suite homographique
On considère la suite réelle \((a_n)\) définie par :
\[ a_0=1, \qquad a_{n+1} = \frac{2a_n+3}{a_n+2}. \]Sachant que \((a_n)\) est croissante et majorée, choisir la bonne réponse.
Question 18 — Somme binomiale
Soit \(n\ge2\). On pose :
\[ S_n = \mathrm{C}_n^1 + 2\mathrm{C}_n^2 +\cdots+ n\mathrm{C}_n^n. \]En calculant de deux façons la dérivée de :
\[ f(x)=(x+1)^n, \]choisir la bonne réponse.
Question 19 — Doublement d’une population
La population mondiale augmente de \(2{,}5\%\) par an.
On note \(N\) le nombre d’années nécessaires pour que cette population double.
Le nombre \(N\) vérifie :
Question 20 — Position relative de deux plans
Dans l’espace, on considère les plans :
\[ (P):\ x-y-z=0 \]et :
\[ (Q):\ 2x+y-z=0. \]Les deux plans :
Question 21 — Étude de la fonction \(x^x\)
Soit :
\[ f(x)=x^x \]et soit \(C_f\) sa courbe représentative.
Choisir la bonne réponse.
Question 22 — Inéquation trigonométrique dans \(\mathbb R^2\)
Dans \(\mathbb R^2\), l’inéquation :
\[ \cos x+\sin y\ge2 \]admet :
Question 23 — Équation diophantienne
Dans \(\mathbb Z^2\), l’équation :
\[ 3x^2+xy-11=0 \]admet :
Question 24 — Carré parfait à quatre chiffres
Soit \(N\) un entier naturel de quatre chiffres.
Son chiffre des unités est égal à celui des dizaines, et son chiffre des centaines est égal à celui des milliers.
Sachant que \(N\) est un carré parfait, choisir la bonne réponse.
Question 25 — Reste modulo 7
On pose :
\[ S = 1^{2019} + 2^{2019} +\cdots+ 6^{2019}. \]Le reste \(r\) de la division euclidienne de \(S\) par \(7\) est :
Conseil de travail
Traiter d’abord les questions directes, puis revenir aux questions nécessitant plusieurs étapes de calcul, une étude géométrique ou un raisonnement arithmétique.
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