Correction ENSAM 2019 — Mathématiques
Correction détaillée des 25 questions du concours commun d’accès en première année préparatoire de l’ENSAM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques ENSAM 2019.
Chaque question contient l’énoncé, la méthode, les calculs et la réponse finale.
Réponses finales — Partie I
Réponses finales — Partie II
* La nuance concernant la question 16 est expliquée dans sa correction détaillée.
Correction détaillée — Questions 1 à 10
Question 1 — Somme géométrique
Soit :
\[ \alpha\in]0,1[. \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ S_n = 1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^2+\cdots+(1-\alpha)^n. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]On utilise la formule de la somme des premiers termes d’une suite géométrique.
La somme \(S_n\) est une somme géométrique de premier terme \(1\) et de raison :
\[ q=1-\alpha. \]Comme :
\[ 0<\alpha<1, \]on a :
\[ 0<1-\alpha<1. \]Donc :
\[ S_n = \frac{1-(1-\alpha)^{n+1}}{1-(1-\alpha)} = \frac{1-(1-\alpha)^{n+1}}{\alpha}. \]Or :
\[ (1-\alpha)^{n+1}\longrightarrow0. \]Question 2 — Anagrammes de « UMI MEKNES »
On note \(n\) le nombre de mots de neuf lettres, ayant un sens ou non, que l’on peut écrire avec toutes les lettres de :
\[ \text{UMI MEKNES}. \]Chaque mot doit utiliser exactement toutes les lettres de l’expression.
Calculer \(n\).
On compte les permutations des neuf lettres, en tenant compte des lettres répétées.
Notation : pour un entier \(m\ge1\), \(m!\), appelé « factorielle de \(m\) », désigne le produit \(1\times2\times\cdots\times m\).
L’expression « UMI MEKNES » contient neuf lettres :
\[ U,\ M,\ I,\ M,\ E,\ K,\ N,\ E,\ S. \]La lettre \(M\) apparaît deux fois et la lettre \(E\) apparaît deux fois.
Le nombre d’anagrammes distinctes est donc :
\[ n = \frac{9!}{2!\,2!}. \] \[ n = \frac{362\,880}{4} = 90\,720. \]Question 3 — Rotation dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère trois points distincts \(A\), \(B\) et \(C\), d’affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\).
On sait que :
\[ (c-a)+i(b-a)=0. \]Déterminer le centre \(\Omega\) et l’angle \(\theta\) d’une rotation qui transforme l’un des points \(A\), \(B\) ou \(C\) en un autre de ces points.
On compare la relation donnée à l’écriture complexe d’une rotation.
Notation : une rotation de centre d’affixe \(\omega\) et d’angle \(\theta\), transformant un point d’affixe \(z\) en un point d’affixe \(z'\), vérifie :
\[ z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega). \]La relation :
\[ (c-a)+i(b-a)=0 \]donne :
\[ c-a=-i(b-a). \]Or :
\[ -i=e^{-i\pi/2}. \]Ainsi :
\[ c-a = e^{-i\pi/2}(b-a). \]Cette relation caractérise la rotation de centre \(A\), d’angle :
\[ -\frac{\pi}{2}, \]qui transforme le point \(B\) en \(C\).
La rotation transforme \(B\) en \(C\), avec :
\[ \boxed{\Omega=A} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\theta=-\frac{\pi}{2}}. \]Question 4 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ I = \int_0^1 \ln\left(x+\sqrt{2+x^2}\right)\,dx. \]On effectue une intégration par parties.
Formule utilisée : pour deux fonctions \(u\) et \(v\) dérivables :
\[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]Dans l’écriture \(dv=v'(x)\,dx\), la relation \(dv=dx\) signifie ici que \(v'(x)=1\), donc on peut choisir \(v(x)=x\).
Posons :
\[ u(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+2}\right), \qquad dv=dx. \]Alors :
\[ v=x \]et :
\[ u'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}. \]Par intégration par parties :
\[ I = \left[ x\ln\left(x+\sqrt{x^2+2}\right) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx. \]Le premier terme vaut :
\[ \ln(1+\sqrt3). \]De plus :
\[ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx = \left[ \sqrt{x^2+2} \right]_0^1 = \sqrt3-\sqrt2. \]Question 5 — Aire entre une parabole et une hyperbole
Dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=1\ \mathrm{cm}, \]calculer l’aire \(A\) de la surface délimitée par :
\[ y=x^2, \qquad y=\frac{1}{x}, \qquad x=\frac{1}{2}, \qquad x=1. \]Sur \(\left[\dfrac{1}{2},1\right]\), la courbe \(y=\dfrac{1}{x}\) se trouve au-dessus de la parabole \(y=x^2\).
L’aire cherchée est :
\[ A = \int_{1/2}^{1} \left( \frac{1}{x}-x^2 \right)\,dx. \] \[ A = \left[ \ln x-\frac{x^3}{3} \right]_{1/2}^{1}. \] \[ A = -\frac{1}{3} - \left( -\ln2-\frac{1}{24} \right). \] \[ A = \ln2-\frac{7}{24}. \]L’unité graphique étant \(1\ \mathrm{cm}\), l’aire est exprimée en \(\mathrm{cm^2}\).
Question 6 — Équation différentielle
Déterminer la solution particulière \(y_0\) de l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y'+3y^2=0, \]telle que \(y_0\) ne s’annule pas sur \(]1,+\infty[\) et dont la courbe représentative rencontre la première bissectrice au point d’abscisse \(1\).
On résout l’équation différentielle par séparation des variables.
Notation : \(C\) et \(C_1\) désignent des constantes réelles d’intégration. Elles peuvent changer de nom lorsqu’on réécrit la solution sous une forme équivalente.
Comme \(y\) ne s’annule pas :
\[ y'+3y^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y'}{y^2}=-3. \]Or :
\[ \left(-\frac{1}{y}\right)'=\frac{y'}{y^2}. \]Donc :
\[ -\frac{1}{y}=-3x+C. \]On peut écrire :
\[ y(x)=\frac{1}{3x+C_1}. \]La courbe rencontre la première bissectrice au point d’abscisse \(1\), donc :
\[ y(1)=1. \] \[ 1=\frac{1}{3+C_1}. \] \[ C_1=-2. \]Ainsi :
\[ y_0(x)=\frac{1}{3x-2}. \]Pour \(x>1\), le dénominateur est strictement positif ; la solution ne s’annule donc pas.
Question 7 — Tangente à une sphère
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\), on considère la sphère \(S\) d’équation :
\[ x^2+y^2+z^2+2x-4y=0 \]et le point :
\[ A(2,1,0). \]Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\), tangente à \(S\) au point \(O\) et perpendiculaire à la droite \((OA)\).
Le vecteur directeur de la tangente doit être orthogonal au rayon de la sphère en \(O\) et au vecteur \(\overrightarrow{OA}\).
Notation : le symbole \(\wedge\) désigne ici le produit vectoriel. Le vecteur \(\vec a\wedge\vec b\) est orthogonal à \(\vec a\) et à \(\vec b\).
La sphère a pour équation :
\[ x^2+y^2+z^2+2x-4y=0. \]Son centre est :
\[ C(-1,2,0). \]Le vecteur normal au plan tangent en \(O\) est :
\[ \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OC} = (1,-2,0). \]De plus :
\[ \overrightarrow{OA}=(2,1,0). \]Un vecteur directeur \(\vec u\) de la droite cherchée doit être orthogonal aux deux vecteurs précédents.
On peut prendre :
\[ \vec u = (1,-2,0)\wedge(2,1,0) = (0,0,5). \]Donc un vecteur directeur est :
\[ (0,0,1). \]La droite passe par \(O\).
Question 8 — Probabilité d’atteindre une cible
On effectue trois tirs successifs vers une même cible.
Les probabilités d’atteindre la cible lors du premier, du deuxième et du troisième tir sont respectivement :
\[ 0{,}4,\qquad 0{,}5,\qquad 0{,}7. \]Calculer la probabilité \(P\) d’atteindre la cible au moins une fois.
On calcule la probabilité de ne jamais atteindre la cible, puis on prend l’événement contraire.
Notation : pour un événement \(E\), \(P(E)\) désigne sa probabilité. L’indépendance des tirs autorise la multiplication des probabilités des trois échecs.
Les probabilités de manquer la cible lors des trois tirs sont :
\[ 0{,}6,\qquad 0{,}5,\qquad 0{,}3. \]En supposant les tirs indépendants :
\[ P(\text{aucune réussite}) = 0{,}6\times0{,}5\times0{,}3. \] \[ P(\text{aucune réussite})=0{,}09. \]Donc :
\[ P(\text{au moins une réussite}) = 1-0{,}09. \]Question 9 — Limite en 1
Calculer :
\[ \lim_{x\to1}f(x), \]où :
\[ f(x) = \frac{1-e^{x-1}}{x\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)}. \]On fait apparaître deux limites usuelles en posant \(h=x-1\).
Notation : \(u(h)\sim v(h)\) lorsque \(h\to0\) signifie que \(\dfrac{u(h)}{v(h)}\to1\).
Posons :
\[ h=x-1. \]Lorsque \(x\to1\), on a \(h\to0\). Le numérateur vérifie :
\[ 1-e^{x-1} = 1-e^h \sim-h. \]Pour le dénominateur :
\[ x\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) = (1+h) \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right). \] \[ = -(1+h) \sin\left(\frac{\pi h}{2}\right) \sim -\frac{\pi h}{2}. \]Par conséquent :
\[ f(x) \sim \frac{-h}{-\pi h/2}. \]Question 10 — Aire maximale d’un rectangle inscrit
Soit \(ABC\) un triangle isocèle et rectangle en \(A\), tel que :
\[ AB=2\sqrt2\ \mathrm{m}. \]Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de l’aire du rectangle \(AIJK\) inscrit dans le triangle \(ABC\).
On exprime l’aire du rectangle à l’aide de ses deux dimensions.
Plaçons :
\[ A(0,0), \qquad B(2\sqrt2,0), \qquad C(0,2\sqrt2). \]L’hypoténuse \((BC)\) a pour équation :
\[ x+y=2\sqrt2. \]Si le sommet \(J\) du rectangle a pour coordonnées \((x,y)\), alors :
\[ x+y=2\sqrt2. \]Donc :
\[ y=2\sqrt2-x. \]L’aire du rectangle vaut :
\[ S(x) = x(2\sqrt2-x). \] \[ S(x) = -x^2+2\sqrt2\,x. \]Cette parabole atteint son maximum pour :
\[ x=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2. \]Alors :
\[ y=\sqrt2. \]Par conséquent :
\[ S_m=\sqrt2\times\sqrt2=2. \]Correction détaillée — Questions 11 à 25
Question 11 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose :
\[ I_n = \int_0^1 x\ln(1+x^n)\,dx. \]On donne :
\[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad 0\le\ln(1+x)\le x. \]La limite de \((I_n)\) est :
On utilise l’encadrement donné avec \(x^n\).
Pour \(x\in[0,1]\) :
\[ 0\le\ln(1+x^n)\le x^n. \]En multipliant par \(x\ge0\) :
\[ 0 \le x\ln(1+x^n) \le x^{n+1}. \]En intégrant :
\[ 0 \le I_n \le \int_0^1x^{n+1}\,dx. \] \[ 0 \le I_n \le \frac{1}{n+2}. \]Or :
\[ \frac{1}{n+2}\longrightarrow0. \]Question 12 — Hauteur d’un triangle dans l’espace
Dans un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), avec :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1\ \mathrm{cm}, \]on considère :
\[ A(1,1,-1), \qquad B(1,0,-1), \qquad C(0,0,1). \]La hauteur \(h\) du triangle \(ABC\), issue de \(A\), vaut :
On vérifie que le triangle est rectangle en \(B\).
Le produit scalaire vaut :
\[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = 0. \]Le triangle est donc rectangle en \(B\). La hauteur issue de \(A\) est le côté \([AB]\).
\[ AB = \|\overrightarrow{BA}\| = 1\ \mathrm{cm}. \]Question 13 — Ensemble de points du plan complexe
Le plan complexe \((P)\) est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère :
\[ \mathcal A = \left\{ M(z)\in(P)\ ;\ |z|=z+\overline z \right\}. \]L’ensemble \(\mathcal A\) est :
On écrit \(z=x+iy\), puis on traduit l’égalité en coordonnées.
Notation : on écrit \(z=x+iy\), où \(x=\operatorname{Re}(z)\) est la partie réelle, \(y=\operatorname{Im}(z)\) la partie imaginaire et \(\overline z=x-iy\) le conjugué de \(z\).
On a :
\[ |z|=\sqrt{x^2+y^2} \]et :
\[ z+\overline z=2x. \]L’équation devient :
\[ \sqrt{x^2+y^2}=2x. \]Le membre de gauche étant positif, il faut :
\[ x\ge0. \]En élevant au carré :
\[ x^2+y^2=4x^2. \] \[ y^2=3x^2. \] \[ y=\sqrt3\,x \qquad\text{ou}\qquad y=-\sqrt3\,x. \]Avec la condition \(x\ge0\), on obtient deux demi-droites issues de l’origine.
Question 14 — Nombre de solutions d’une équation
On considère, dans l’intervalle \(]0,\dfrac{\pi}{6}[\), l’équation :
\[ (E):\quad \sin x+x=1. \]Cette équation admet :
On applique le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie.
On utilisera l’encadrement classique \(3<\pi\), qui entraîne \(\pi-3>0\).
Posons :
\[ h(x)=\sin x+x-1. \]La fonction \(h\) est continue sur :
\[ \left[0,\frac{\pi}{6}\right]. \]De plus :
\[ h'(x)=\cos x+1>0. \]La fonction \(h\) est donc strictement croissante.
On a :
\[ h(0)=-1<0 \]et :
\[ h\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}-1 = \frac{\pi-3}{6}>0. \]Il existe donc une unique solution dans \(]0,\dfrac{\pi}{6}[\).
Question 15 — Branche infinie d’une fonction
Soit :
\[ f(x) = \ln(1+e^x) - \frac{1}{1+e^x}. \]La courbe représentative \(C_f\) admet au voisinage de \(+\infty\) :
On cherche une asymptote oblique en comparant \(f(x)\) à \(x\).
On écrit :
\[ \ln(1+e^x) = \ln\left(e^x(1+e^{-x})\right). \] \[ \ln(1+e^x) = x+\ln(1+e^{-x}). \]Donc :
\[ f(x)-x = \ln(1+e^{-x}) - \frac{1}{1+e^x}. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \ln(1+e^{-x})\to0 \]et :
\[ \frac{1}{1+e^x}\to0. \]Ainsi :
\[ f(x)-x\longrightarrow0. \]Question 16 — Convexité d’une fonction
Soit \(g\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ g(x) = \frac{1}{1+x} + \ln(1+x). \]La courbe représentative \(C_g\) :
On étudie le signe de la dérivée seconde.
Notation : \(g'\) désigne la dérivée première de \(g\) et \(g''\) sa dérivée seconde. Le signe de \(g''\) permet d’étudier la convexité.
La dérivée première est :
\[ g'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{1+x}. \] \[ g'(x) = \frac{x}{(1+x)^2}. \]La dérivée seconde est :
\[ g''(x) = \frac{1-x}{(1+x)^3}. \]On a :
\[ g''(x)>0 \quad\text{pour}\quad 0\le x<1, \]et :
\[ g''(x)<0 \quad\text{pour}\quad x>1. \]La dérivée seconde change donc de signe en \(x=1\).
Question 17 — Suite homographique
On considère la suite réelle \((a_n)\) définie par :
\[ a_0=1, \qquad a_{n+1} = \frac{2a_n+3}{a_n+2}. \]Sachant que \((a_n)\) est croissante et majorée, choisir la bonne réponse.
La suite étant croissante et majorée, sa limite est un point fixe de la fonction homographique.
Puisque la suite est croissante et majorée, elle converge. On note \(\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n\). Comme \(a_n\ge a_0=1\), on a \(\ell+2\ne0\). La fonction \(x\mapsto\dfrac{2x+3}{x+2}\) est donc continue en \(\ell\), ce qui justifie le passage à la limite dans la relation de récurrence.
En passant à la limite dans :
\[ a_{n+1} = \frac{2a_n+3}{a_n+2}, \]on obtient :
\[ \ell = \frac{2\ell+3}{\ell+2}. \] \[ \ell(\ell+2)=2\ell+3. \] \[ \ell^2=3. \]Donc :
\[ \ell=\sqrt3 \qquad\text{ou}\qquad \ell=-\sqrt3. \]Comme \(a_0=1\) et que la suite est croissante, sa limite est positive.
Question 18 — Somme binomiale
Soit \(n\ge2\). On pose :
\[ S_n = \mathrm{C}_n^1 + 2\mathrm{C}_n^2 +\cdots+ n\mathrm{C}_n^n. \]En calculant de deux façons la dérivée de :
\[ f(x)=(x+1)^n, \]choisir la bonne réponse.
On dérive le développement binomial de \((1+x)^n\).
Notation : \(\mathrm{C}_n^k=\binom nk\) est le coefficient binomial ; il compte le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\).
D’une part :
\[ f'(x)=n(1+x)^{n-1}. \]D’autre part :
\[ (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_n^k x^k. \]En dérivant :
\[ f'(x) = \sum_{k=1}^{n} k\mathrm{C}_n^k x^{k-1}. \]En prenant \(x=1\) :
\[ n2^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k\mathrm{C}_n^k. \]Donc :
\[ S_n=n2^{n-1}. \]Question 19 — Doublement d’une population
La population mondiale augmente de \(2{,}5\%\) par an.
On note \(N\) le nombre d’années nécessaires pour que cette population double.
Le nombre \(N\) vérifie :
On modélise la croissance annuelle par une suite géométrique.
Notation : \(P_0\) désigne la population initiale et \(P_N\) la population après \(N\) années. Une hausse annuelle de \(2{,}5\%\) correspond à un coefficient multiplicateur \(1{,}025\).
Après \(N\) années, une population initiale \(P_0\) devient :
\[ P_N=P_0(1{,}025)^N. \]Pour qu’elle ait au moins doublé, il faut :
\[ P_0(1{,}025)^N\ge2P_0. \] \[ (1{,}025)^N\ge2. \]En appliquant le logarithme :
\[ N\ln(1{,}025)\ge\ln2. \]Comme \(\ln(1{,}025)>0\) :
\[ N \ge \frac{\ln2}{\ln(1{,}025)}. \]Question 20 — Position relative de deux plans
Dans l’espace, on considère les plans :
\[ (P):\ x-y-z=0 \]et :
\[ (Q):\ 2x+y-z=0. \]Les deux plans :
Le vecteur directeur de l’intersection de deux plans est orthogonal à leurs deux vecteurs normaux.
Notations : \(\vec n_P\) et \(\vec n_Q\) désignent des vecteurs normaux aux plans \((P)\) et \((Q)\). Le symbole \(\wedge\) désigne le produit vectoriel ; \(\vec n_P\wedge\vec n_Q\) est orthogonal aux deux normales et donne donc une direction de leur droite d’intersection.
Les vecteurs normaux sont :
\[ \vec n_P=(1,-1,-1) \]et :
\[ \vec n_Q=(2,1,-1). \]Ils ne sont pas colinéaires ; les plans sont donc sécants.
Un vecteur directeur de leur droite d’intersection est :
\[ \vec u = \vec n_P\wedge\vec n_Q. \] \[ \vec u = (2,-1,3). \]Question 21 — Étude de la fonction \(x^x\)
Soit :
\[ f(x)=x^x \]et soit \(C_f\) sa courbe représentative.
Choisir la bonne réponse.
On écrit \(x^x=e^{x\ln x}\), puis on étudie le signe de sa dérivée.
Pour \(x>0\) :
\[ f(x)=e^{x\ln x}. \]Donc :
\[ f'(x) = x^x(\ln x+1). \]Comme \(x^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de :
\[ \ln x+1. \]On a :
\[ \ln x+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1}{e}. \]La fonction est décroissante sur \(]0,\dfrac{1}{e}]\), puis croissante sur \([\dfrac{1}{e},+\infty[\).
Question 22 — Inéquation trigonométrique dans \(\mathbb R^2\)
Dans \(\mathbb R^2\), l’inéquation :
\[ \cos x+\sin y\ge2 \]admet :
La somme \(\cos x+\sin y\) ne peut pas dépasser \(2\).
Pour tous réels \(x\) et \(y\) :
\[ \cos x\le1 \qquad\text{et}\qquad \sin y\le1. \]Donc :
\[ \cos x+\sin y\le2. \]L’inéquation :
\[ \cos x+\sin y\ge2 \]est satisfaite exactement lorsque :
\[ \cos x=1 \qquad\text{et}\qquad \sin y=1. \]Ainsi :
\[ x=2k\pi, \qquad y=\frac{\pi}{2}+2\ell\pi, \qquad (k,\ell)\in\mathbb Z^2. \]Il existe une infinité de couples solutions.
Question 23 — Équation diophantienne
Dans \(\mathbb Z^2\), l’équation :
\[ 3x^2+xy-11=0 \]admet :
On isole \(y\) et l’on utilise le fait que \(x\) doit diviser \(11\).
L’équation s’écrit :
\[ x(3x+y)=11. \]Comme \(x\in\mathbb Z\), il faut :
\[ x\in\{-11,-1,1,11\}. \]Pour chaque valeur :
\[ y=\frac{11}{x}-3x. \]On obtient :
\[ (1,8), \qquad (-1,-8), \] \[ (11,-32), \qquad (-11,32). \]L’équation possède donc quatre solutions entières.
Question 24 — Carré parfait à quatre chiffres
Soit \(N\) un entier naturel de quatre chiffres.
Son chiffre des unités est égal à celui des dizaines, et son chiffre des centaines est égal à celui des milliers.
Sachant que \(N\) est un carré parfait, choisir la bonne réponse.
On écrit le nombre sous la forme \(N=\overline{aabb}\).
Notations : \(\overline{aabb}\) désigne le nombre à quatre chiffres formé successivement par \(a,a,b,b\). La congruence \(u\equiv v\pmod{11}\) signifie que \(u\) et \(v\) ont le même reste dans la division par \(11\).
Écrivons \(N=m^2\), avec \(m\in\mathbb N\). Comme le nombre premier \(11\) divise \(m^2\), il divise \(m\), donc \(121\) divise \(N\). Cette justification permet d’affirmer que \(100a+b\) est divisible par \(11\).
Si \(a\) est le chiffre des milliers et des centaines, et \(b\) celui des dizaines et des unités :
\[ N=1100a+11b. \] \[ N=11(100a+b). \]D’après la divisibilité démontrée ci-dessus, le facteur \(100a+b\) est divisible par \(11\).
Or :
\[ 100a+b \equiv a+b \pmod{11}. \]Avec :
\[ 1\le a\le9, \qquad 0\le b\le9, \]on obtient nécessairement :
\[ a+b=11. \]En fait :
\[ N=7744=88^2, \]avec :
\[ a=7, \qquad b=4. \]Question 25 — Reste modulo 7
On pose :
\[ S = 1^{2019} + 2^{2019} +\cdots+ 6^{2019}. \]Le reste \(r\) de la division euclidienne de \(S\) par \(7\) est :
On réduit l’exposant modulo \(6\), puis on regroupe les termes opposés modulo \(7\).
Notation : \(u\equiv v\pmod7\) signifie que \(u\) et \(v\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(7\).
Pour \(k\in\{1,\ldots,6\}\), \(k\) n’est pas divisible par \(7\). Le petit théorème de Fermat s’applique donc et donne \(k^6\equiv1\pmod7\).
On a donc :
\[ k^6\equiv1\pmod7. \]Or :
\[ 2019=6\times336+3. \]Donc :
\[ k^{2019}\equiv k^3\pmod7. \]Ainsi :
\[ S \equiv 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 \pmod7. \]On regroupe :
\[ 1^3+6^3\equiv0, \] \[ 2^3+5^3\equiv0, \] \[ 3^3+4^3\equiv0 \pmod7. \]Par conséquent :
\[ S\equiv0\pmod7. \]Bilan
Les 25 questions sont corrigées avec les calculs et les justifications nécessaires.
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