Concours ENSAM Maroc 2021 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSAM 2021 — Mathématiques

Concours d’accès à la première année des années préparatoires intégrées des ENSAM.

Session du 31 juillet 2021 — 30 questions à choix multiples.

Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2021.

L’épreuve comporte 30 questions couvrant l’analyse, l’algèbre, les nombres complexes, la logique, les probabilités et le raisonnement numérique.

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Barème

• Une réponse juste rapporte 2 points.
• Une réponse fausse, une absence de réponse ou plusieurs réponses rapportent 0 point.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q9Q10Q11Q12Q13Q14Q15Q16Q17Q18Q19Q20Q21Q22Q23Q24Q25Q26Q27Q28Q29Q30

Énoncé — ENSAM 2021 — Mathématiques

Question 1 — Suite récurrente

Énoncé

Soit \(a\) un réel. On considère la suite \((X_n)\) telle que :

\[ \begin{cases} X_0=0,\\[1mm] X_{n+1}=\dfrac{2}{3}X_n+\dfrac{1}{3}a^2,\qquad n\in\mathbb N. \end{cases} \]

En étudiant la nature de la suite \((Y_n)\) de terme général :

\[ Y_n=X_n-a^2, \]

la limite de \((X_n)\) vaut :

A) \(0\)

B) \(\dfrac{1}{3}a^2\)

C) \(\dfrac{2}{3}a^2\)

D) \(a^2\)

E) Autre réponse.

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Question 2 — Nature d’une suite

Énoncé

La suite \((u_n)\) est définie par :

\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n-2}{2u_n-1}. \]

Choisir la bonne réponse.

A) \((u_n)\) est géométrique de raison \(2\).

B) \((u_n)\) est arithmétique de raison \(2\).

C) \((u_n)\) est périodique de période \(2\).

D) \((u_n)\) est stationnaire.

E) Autre réponse.

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Question 3 — Limite d’une somme

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{1\times2\times3} +\frac{1}{2\times3\times4} +\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \right). \]

A) \(0\)

B) \(\dfrac{1}{4}\)

C) \(\dfrac{1}{6}\)

D) \(+\infty\)

E) Autre réponse.

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Question 4 — Condition pour un triangle équilatéral

Énoncé

On suppose que le plan complexe est muni d’un repère orthonormé.

Soient \(A(a)\), \(B(b)\) et \(C(c)\) trois points non alignés.

Une condition suffisante pour que le triangle \((ABC)\) soit équilatéral est :

A) \(2a=(1-i\sqrt3)b+(1+i\sqrt3)c\)

B) \(2a=(1-i\sqrt3)b+(1-i\sqrt3)c\)

C) \(2a=(1-i\sqrt3)b-(1+i\sqrt3)c\)

D) \(2a=(1+i\sqrt3)b-(1+i\sqrt3)c\)

E) Autre réponse.

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Question 5 — Solutions complexes d’une équation

Énoncé

Soient \((a,b)\in\mathbb C^2\) et :

\[ j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i. \]

Quelles sont les solutions complexes de l’équation :

\[ z^3-3abz+a^3+b^3=0\ ? \]

A) \(-a-b,\ -aj+bj^2,\ -aj^2-bj\)

B) \(-a-b,\ -aj-bj^2,\ -aj^2-bj\)

C) \(-aj-bj^2,\ -aj^2+bj,\ -a-b\)

D) \(aj-bj^2,\ -a-b,\ aj^2-bj\)

E) Autre réponse.

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Question 6 — Racines d’un polynôme complexe

Énoncé

Soient \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) les solutions dans \(\mathbb C\) de l’équation :

\[ z^3-(6+3i)z^2+(9+12i)z-9(2+3i)=0. \]

On pose :

\[ L=z_3-z_2. \]

Sachant que \(z_1\) est un imaginaire pur, que vaut \(L\) ?

A) \(L=-2\sqrt3-2i\sqrt3\)

B) \(L=2\sqrt3-2i\sqrt3\)

C) \(L=-2\sqrt3+2i\sqrt3\)

D) \(L=2\sqrt3+2i\sqrt3\)

E) Autre réponse.

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Question 7 — Assertion toujours fausse

Énoncé

\(P\) et \(Q\) sont deux assertions.

Quelle est l’assertion toujours fausse, que \(P\) et \(Q\) soient vraies ou fausses ?

A) \((P\Rightarrow Q)\) ou \((Q\Rightarrow P)\)

B) \((P\Rightarrow Q)\) ou \((P\ \text{et}\ \operatorname{non}(Q))\)

C) \((P\Leftrightarrow Q)\) ou \((\operatorname{non}(P)\Rightarrow\operatorname{non}(Q))\)

D) \(P\) ou \((P\Rightarrow Q)\)

E) Autre réponse.

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Question 8 — Opérateur logique exclusif

Énoncé

Soit l’opérateur logique \(\nabla\), défini pour deux assertions \(P\) et \(Q\) par :

\[ P\nabla Q \quad\Longleftrightarrow\quad \text{une et seulement une des deux assertions \(P\) ou \(Q\) est vraie}. \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(P\ \text{ou}\ Q\Rightarrow P\nabla Q\)

B) \(\operatorname{non}(P)\ \text{ou}\ Q\Rightarrow P\nabla Q\)

C) \(P\ \text{et}\ Q\Rightarrow \operatorname{non}(P)\nabla\operatorname{non}(Q)\)

D) \(P\ \text{et}\ Q\Rightarrow \operatorname{non}(P)\nabla Q\)

E) Autre réponse.

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Question 9 — Nombre minimal de racines

Énoncé

Soit \(P\) un polynôme qui admet au moins \(n\) racines distinctes strictement supérieures à \(1\).

Le polynôme :

\[ Q(x)=(x^2+1)P(x)P'(x) +x\left((P(x))^2+(P'(x))^2\right) \]

admet au moins \(m\) racines réelles distinctes, où :

A) \(m=2(n-1)\)

B) \(m=2\left(n-\dfrac{1}{2}\right)\)

C) \(m=2n\)

D) \(m=2\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\)

E) Autre réponse.

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Question 10 — Décomposition en éléments simples

Énoncé

Soit :

\[ F_m(X)=\frac{X+3}{(X+m)(X+2)^2}, \]

où \(m\) est un paramètre réel.

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels tels que :

\[ F_m(X)=\frac{a}{X+m}+\frac{b}{X+2}+\frac{c}{(X+2)^2}. \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(a+b+c=-\dfrac{1}{m}\)

B) \(a+b+c=\dfrac{1}{1-m}\)

C) \(a+b+c=\dfrac{1}{2-m}\)

D) \(a+b+c=\dfrac{1}{3-m}\)

E) Autre réponse.

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Question 11 — Division euclidienne de polynômes

Énoncé

Soient :

\[ A(X)=X^6-7X^5+10X^4+5X^3-aX^2+5 \]

et :

\[ B(X)=X^3-5X^2+b, \]

où \(a\) et \(b\) sont deux réels.

Soit :

\[ A=BQ+R \]

la division euclidienne de \(A\) par \(B\). Choisir la bonne réponse.

A) \(2\) est le coefficient du monôme \(X^2\) de \(Q\).

B) \(b^2+5b+5\) est le coefficient constant de \(R\).

C) \(b-4\) est la somme des coefficients du polynôme \(Q\).

D) \(b^2-a-8b+30\) est la somme des coefficients du polynôme \(R\).

E) Autre réponse.

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Question 12 — Fonction logarithmique

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(D_f\) par :

\[ f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right). \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(D_f=\mathbb R^+\)

B) \(\left(\dfrac{1}{2},f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\) est un point d’inflexion de \(f\).

C) \(f\) est une fonction paire.

D) \(f\) est une fonction impaire.

E) Autre réponse.

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Question 13 — Centre de symétrie

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=\ln\left(ex+\sqrt{2x^2+4}\right), \]

où \(e\) est un paramètre réel.

Le point \(\Omega(0,\ln2)\) est un centre de symétrie de la courbe de \(f\) si et seulement si :

A) \(\exists!\ e\in]2,+\infty[\)

B) \(\exists!\ e\in]-\infty,-2[\)

C) Il existe deux valeurs de \(e\) dans \([-1,1]\).

D) \(e^3+3e^2-2e-6=0\)

E) Autre réponse.

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Question 14 — Étude d’une fonction

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=x\ln|e^x-1|. \]

Choisir la mauvaise réponse.

A) \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\).

B) \(f\) est concave sur \(]0,+\infty[\).

C) \(f\) admet au moins un point d’inflexion.

D) \(f'\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).

E) Autre réponse.

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Question 15 — Propriétés de limites

Énoncé

Soit :

\[ f:]-a,a[\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb R, \qquad a\in\mathbb R_+^\ast. \]

Choisir la mauvaise réponse.

A) \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\ell\Longleftrightarrow\lim_{x\to0}f(\sin x)=\ell\)

B) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\bigl(f(x)+f(2x)\bigr)=0\Longrightarrow\lim_{x\to0}f(x)\ \text{existe}\)

C) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(f(x)+\frac{1}{|f(x)|}\right)=0\Longrightarrow\lim_{x\to0}f(x)=-1\)

D) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\bigl(f(x)f(2x)\bigr)=0\Longrightarrow\lim_{x\to0}f(x)\ \text{existe}\)

E) Autre réponse.

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Question 16 — Limite avec radicaux imbriqués

Énoncé

On pose :

\[ L_1= \lim_{x\to+\infty} \left( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}-\sqrt x \right). \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(L_1=\dfrac{1}{\sqrt2+1}\)

B) \(L_1=\dfrac{1}{\sqrt3+1}\)

C) \(L_1=\dfrac{1}{2}\)

D) \(L_1=+\infty\)

E) Autre réponse.

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Question 17 — Limite exponentielle

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}. \]

A) \(e^{-\frac{1}{7}}\)

B) \(e^{-\frac{1}{6}}\)

C) \(e^{-\frac{1}{5}}\)

D) \(e^{-\frac{1}{4}}\)

E) Autre réponse.

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Question 18 — Dérivabilité en zéro

Énoncé

La fonction \(f\) est définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x\ln2}-\dfrac{1}{2^x-1},&x\ne0,\\[3mm] \dfrac{1}{2},&x=0. \end{cases} \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(f\) est non dérivable en \(0\).

B) \(f'(0)=-\dfrac{\ln2}{12}\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to0}f''(x)=1\).

D) \(f\) admet une branche parabolique en \(-\infty\).

E) Autre réponse.

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Question 19 — Intégrale trigonométrique

Énoncé

Calculer :

\[ I= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx. \]

A) \(I=-\dfrac{\ln2}{2}\)

B) \(I=0\)

C) \(I=\dfrac{\ln2}{2}\)

D) \(I=\ln2\)

E) Autre réponse.

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Question 20 — Limite d’une intégrale

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \left( \int_0^x e^{t^2}\,dt \right)^{\frac{1}{x^2}}. \]

A) \(1\)

B) \(e\)

C) \(e^2\)

D) \(+\infty\)

E) Autre réponse.

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Question 21 — Suite d’intégrales

Énoncé

Soit \((u_n)\) la suite définie par :

\[ u_0=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos^2x} \]

et, pour tout \(n\ge1\) :

\[ u_n= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^n x}{\cos^2x}\,dx. \]

Choisir la bonne réponse.

A) \((u_n)\) est croissante.

B) \((u_n)\) est divergente.

C) \((u_n)\) est géométrique.

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

E) Autre réponse.

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Question 22 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique

Énoncé

Le nombre de solutions de l’équation :

\[ \sin(3x)\cos^3x+\sin^3x\cos(3x)=\frac{3}{4} \]

sur l’intervalle \([-3,2]\) est :

A) \(4\)

B) \(3\)

C) \(2\)

D) \(1\)

E) Autre réponse.

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Question 23 — Probabilité conditionnelle

Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) deux événements tels que :

\[ P(A)=\frac{3}{4}, \qquad P(B)=\frac{3}{8}, \qquad P(A\cup B)=\frac{7}{8}. \]

Alors \(P_{\overline B}(A)\) vaut :

A) \(\dfrac{4}{5}\)

B) \(\dfrac{7}{8}\)

C) \(\dfrac{3}{7}\)

D) \(\dfrac{5}{7}\)

E) Autre réponse.

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Question 24 — Réponses choisies au hasard

Énoncé

Un candidat se présentant au concours des ENSAM 2021 décide de se baser uniquement sur le hasard.

Il choisit les réponses au hasard et d’une manière indépendante l’une de l’autre.

La probabilité de donner un nombre de réponses correctes au moins égal au nombre de réponses fausses vaut :

A) \(2{,}05\times10^{-8}\)

B) \(5{,}88\times10^{-6}\)

C) \(2{,}3\times10^{-4}\)

D) \(2{,}7\times10^{-3}\)

E) Autre réponse.

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Question 25 — Approximation d’une limite

Énoncé

On pose :

\[ L_2= \lim_{x\to1} (x-1)\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right). \]

Choisir la meilleure approximation de \(L_2\).

A) \(0{,}6367\)

B) \(0{,}6366\)

C) \(0{,}6365\)

D) \(0{,}6364\)

E) Autre réponse.

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Question 26 — Aire entre une parabole et une corde

Énoncé

La courbe \(\mathcal P\) est une parabole d’équation :

\[ y=mx^2, \qquad m>0. \]

Les points \(A\) et \(B\) ont pour abscisses respectives \(a\) et \(b\), avec \(a<b\).

Soit \(A_D\) l’aire du domaine compris entre la courbe \(\mathcal P\) et le segment \([AB]\).

Choisir la bonne réponse.

A) \(\displaystyle A_D=m(b-a)\frac{a^2+b^2}{2}\)

B) \(\displaystyle A_D=m(b-a)\frac{a^2+ab+b^2}{3}\)

C) \(\displaystyle A_D=m\frac{(b-a)^3}{6}\)

D) \(\displaystyle A_D=m\frac{(b-a)^3}{4}\)

E) Autre réponse.

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Question 27 — Déterminant d’un système

Énoncé

Donner le déterminant du système \((S)\) :

\[ (S): \begin{cases} X+3Y+2mZ=-1,\\ -X+(1-2m)Y+2Z=2,\\ 2X+3Y+mZ=3. \end{cases} \]

A) \(-6m^2+6m+6\)

B) \(-6m^2+6m-6\)

C) \(-6m^2-6m+6\)

D) \(6m^2-6m+6\)

E) Autre réponse.

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Question 28 — Année à quatre chiffres

Énoncé

Une certaine année est un nombre qui s’écrit \(ABCD\), chaque lettre représentant un chiffre unique.

Ce nombre vérifie :

\[ ABCD+ABC+AB=2021. \]

Quelle est l’année \(ABCD\) ?

A) \(1542\)

B) \(1731\)

C) \(1641\)

D) L’année \(ABCD\) n’existe pas.

E) Autre réponse.

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Question 29 — Nombre manquant dans une grille

Énoncé

Trouver le nombre qui remplace le point d’interrogation :

218	275	114
111	160	98
220	372	304
400	578	?

A) \(356\)

B) \(524\)

C) \(248\)

D) \(180\)

E) Autre réponse.

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Question 30 — Roues dentées

Énoncé

La roue \(A\) possède \(39\) dents, la roue \(B\) possède \(17\) dents et la roue \(C\) possède \(26\) dents.

On fait tourner la roue \(A\) d’exactement \(18\) tours.

Combien de tours la roue \(C\) fera-t-elle ?

A39 dents

B17 dents

C26 dents

A) \(27\)

B) \(29\)

C) \(31\)

D) \(32\)

E) Autre réponse.

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Conseil de travail

Traiter d’abord les questions directes, puis revenir aux questions nécessitant plusieurs étapes de calcul, une étude de fonction ou un raisonnement logique.

Ressources liées

Concours — Énoncés et corrections Accueil Parcours Maths Maroc 2e Bac Sciences Mathématiques A/B 2e Bac PC/SVT