Correction ENSAM 2021 — Mathématiques
Correction détaillée des 30 questions du concours d’accès aux années préparatoires intégrées des ENSAM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques ENSAM 2021.
Chaque question contient l’énoncé, la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
* Les questions marquées d’un astérisque comportent une ambiguïté ou une anomalie expliquée dans la correction détaillée.
Correction détaillée — Questions 1 à 30
Question 1 — Suite récurrente
Soit \(a\) un réel. On considère la suite \((X_n)\) telle que :
\[ \begin{cases} X_0=0,\\[1mm] X_{n+1}=\dfrac{2}{3}X_n+\dfrac{1}{3}a^2,\qquad n\in\mathbb N. \end{cases} \]En étudiant la nature de la suite \((Y_n)\) de terme général :
\[ Y_n=X_n-a^2, \]la limite de \((X_n)\) vaut :
On transforme la récurrence à l’aide de la suite \(Y_n=X_n-a^2\).
La suite \((Y_n)\) est donc géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\), avec :
\[ Y_0=X_0-a^2=-a^2. \]Ainsi :
\[ Y_n=-a^2\left(\frac{2}{3}\right)^n. \]Comme \(X_n=Y_n+a^2\), on obtient :
\[ X_n = a^2\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right]. \]Or :
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^n\longrightarrow0. \]Question 2 — Nature d’une suite
La suite \((u_n)\) est définie par :
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n-2}{2u_n-1}. \]Choisir la bonne réponse.
On compose deux fois la fonction \(h(x)=\dfrac{x-2}{2x-1}\).
Pour toute valeur pour laquelle les termes sont définis :
\[ u_{n+2} = \frac{u_{n+1}-2}{2u_{n+1}-1}. \]En remplaçant \(u_{n+1}\) par \(\dfrac{u_n-2}{2u_n-1}\) :
\[ u_{n+2} = \frac{\dfrac{u_n-2}{2u_n-1}-2}{2\dfrac{u_n-2}{2u_n-1}-1}. \] \[ u_{n+2} = \frac{-3u_n}{-3} = u_n. \]La suite reprend donc ses valeurs tous les deux rangs.
Question 3 — Limite d’une somme
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{1\times2\times3} +\frac{1}{2\times3\times4} +\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \right). \]On fait apparaître une somme télescopique.
Pour tout \(k\ge1\) :
\[ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right). \]Donc :
\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right). \] \[ = \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}. \]En passant à la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{4}. \]Question 4 — Condition pour un triangle équilatéral
On suppose que le plan complexe est muni d’un repère orthonormé.
Soient \(A(a)\), \(B(b)\) et \(C(c)\) trois points non alignés.
Une condition suffisante pour que le triangle \((ABC)\) soit équilatéral est :
Dans un triangle équilatéral, le vecteur \(\overrightarrow{BA}\) s’obtient par une rotation de \(\overrightarrow{BC}\) d’angle \(\pm\dfrac{\pi}{3}\).
Pour une orientation possible :
\[ a-b = e^{i\pi/3}(c-b). \]Or :
\[ e^{i\pi/3} = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}. \]Donc :
\[ 2(a-b) = (1+i\sqrt3)(c-b). \]En développant :
\[ 2a = (1-i\sqrt3)b + (1+i\sqrt3)c. \]Cette relation assure que :
\[ |a-b|=|c-b| \quad\text{et}\quad \widehat{ABC}=\frac{\pi}{3}. \]Le triangle est donc équilatéral.
Question 5 — Solutions complexes d’une équation
Soient \((a,b)\in\mathbb C^2\) et :
\[ j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i. \]Quelles sont les solutions complexes de l’équation :
\[ z^3-3abz+a^3+b^3=0\ ? \]On utilise l’identité remarquable relative à la somme de trois cubes.
L’identité :
\[ x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z) (x+jy+j^2z) (x+j^2y+jz) \]s’applique avec les trois nombres \(z\), \(a\) et \(b\).
Ainsi :
\[ z^3+a^3+b^3-3abz = (z+a+b) (z+aj+bj^2) (z+aj^2+bj). \]Les solutions sont donc :
\[ z=-a-b, \] \[ z=-aj-bj^2, \] \[ z=-aj^2-bj. \]Question 6 — Racines d’un polynôme complexe
Soient \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) les solutions dans \(\mathbb C\) de l’équation :
\[ z^3-(6+3i)z^2+(9+12i)z-9(2+3i)=0. \]On pose :
\[ L=z_3-z_2. \]Sachant que \(z_1\) est un imaginaire pur, que vaut \(L\) ?
On commence par identifier la racine imaginaire pure, puis on résout l’équation du second degré restante.
Le polynôme se factorise sous la forme :
\[ z^3-(6+3i)z^2+(9+12i)z-9(2+3i) = (z-3i)\left(z^2-6z+9-6i\right). \]La racine imaginaire pure est donc :
\[ z_1=3i. \]Les deux autres racines vérifient :
\[ (z-3)^2=6i. \]Or :
\[ \bigl(\sqrt3(1+i)\bigr)^2=6i. \]En adoptant l’ordre usuel :
\[ z_2=3-\sqrt3(1+i), \qquad z_3=3+\sqrt3(1+i). \]Alors :
\[ L=z_3-z_2 = 2\sqrt3(1+i). \] \[ L=2\sqrt3+2i\sqrt3. \]Question 7 — Assertion toujours fausse
\(P\) et \(Q\) sont deux assertions.
Quelle est l’assertion toujours fausse, que \(P\) et \(Q\) soient vraies ou fausses ?
On examine les quatre expressions à l’aide des équivalences logiques usuelles.
La proposition A est toujours vraie, car deux assertions sont toujours comparables par implication :
\[ (P\Rightarrow Q)\ \text{ou}\ (Q\Rightarrow P). \]La proposition B est également toujours vraie :
\[ (P\Rightarrow Q)\ \text{ou}\ (P\ \text{et}\ \operatorname{non}Q) \]associe une assertion à sa négation.
La proposition D est une tautologie :
\[ P\ \text{ou}\ (P\Rightarrow Q) = P\ \text{ou}\ \operatorname{non}P\ \text{ou}\ Q. \]La proposition C n’est pas toujours fausse : elle est vraie dans plusieurs cas et fausse seulement lorsque \(P\) est fausse et \(Q\) est vraie.
Aucune des propositions A à D n’est donc toujours fausse.
Question 8 — Opérateur logique exclusif
Soit l’opérateur logique \(\nabla\), défini pour deux assertions \(P\) et \(Q\) par :
\[ P\nabla Q \quad\Longleftrightarrow\quad \text{une et seulement une des deux assertions \(P\) ou \(Q\) est vraie}. \]Choisir la bonne réponse.
L’opérateur \(\nabla\) est le « ou exclusif » : exactement une des deux assertions doit être vraie.
Supposons \(P\) et \(Q\) vraies.
Alors :
\[ \operatorname{non}(P)\ \text{est fausse} \qquad\text{et}\qquad Q\ \text{est vraie}. \]Il y a exactement une assertion vraie parmi \(\operatorname{non}(P)\) et \(Q\). Donc :
\[ \operatorname{non}(P)\nabla Q \]est vraie.
Ainsi :
\[ P\ \text{et}\ Q \Rightarrow \operatorname{non}(P)\nabla Q. \]Question 9 — Nombre minimal de racines
Soit \(P\) un polynôme qui admet au moins \(n\) racines distinctes strictement supérieures à \(1\).
Le polynôme :
\[ Q(x)=(x^2+1)P(x)P'(x) +x\left((P(x))^2+(P'(x))^2\right) \]admet au moins \(m\) racines réelles distinctes, où :
On factorise \(Q\), puis on applique le théorème de Rolle à deux fonctions.
On remarque que :
\[ Q(x) = \bigl(P'(x)+xP(x)\bigr) \bigl(P(x)+xP'(x)\bigr). \]Soient :
\[ 1<\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n \]des racines distinctes de \(P\).
La fonction :
\[ x\longmapsto e^{x^2/2}P(x) \]s’annule en chacun des \(\alpha_i\). Sa dérivée est :
\[ e^{x^2/2}\bigl(P'(x)+xP(x)\bigr). \]Le théorème de Rolle fournit donc au moins \(n-1\) racines du premier facteur.
La fonction :
\[ x\longmapsto xP(x) \]s’annule en :
\[ 0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n. \]Sa dérivée est :
\[ P(x)+xP'(x). \]Le théorème de Rolle fournit donc au moins \(n\) racines du second facteur.
Ces racines sont distinctes dans les intervalles considérés. Ainsi :
\[ m\ge(n-1)+n=2n-1. \] \[ m=2\left(n-\frac{1}{2}\right). \]Question 10 — Décomposition en éléments simples
Soit :
\[ F_m(X)=\frac{X+3}{(X+m)(X+2)^2}, \]où \(m\) est un paramètre réel.
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels tels que :
\[ F_m(X)=\frac{a}{X+m}+\frac{b}{X+2}+\frac{c}{(X+2)^2}. \]Choisir la bonne réponse.
On détermine les coefficients de la décomposition en éléments simples.
Pour \(m\ne2\) :
\[ \frac{X+3}{(X+m)(X+2)^2} = \frac{a}{X+m} + \frac{b}{X+2} + \frac{c}{(X+2)^2}. \]En multipliant par \((X+m)(X+2)^2\) :
\[ X+3 = a(X+2)^2 + b(X+m)(X+2) + c(X+m). \]En prenant \(X=-m\) :
\[ a=\frac{3-m}{(2-m)^2}. \]En prenant \(X=-2\) :
\[ 1=c(m-2), \] \[ c=\frac{1}{m-2}. \]La comparaison des coefficients de \(X^2\) donne :
\[ a+b=0. \]Par conséquent :
\[ a+b+c = \frac{1}{m-2}. \]Question 11 — Division euclidienne de polynômes
Soient :
\[ A(X)=X^6-7X^5+10X^4+5X^3-aX^2+5 \]et :
\[ B(X)=X^3-5X^2+b, \]où \(a\) et \(b\) sont deux réels.
Soit :
\[ A=BQ+R \]la division euclidienne de \(A\) par \(B\). Choisir la bonne réponse.
On effectue la division euclidienne de \(A\) par \(B\).
On obtient :
\[ Q(X)=X^3-2X^2-b+5 \]et :
\[ R(X) = \left(-a-3b+25\right)X^2 + b^2-5b+5. \]La somme des coefficients de \(R\) est \(R(1)\) :
\[ R(1) = -a-3b+25+b^2-5b+5. \] \[ R(1) = b^2-a-8b+30. \]Question 12 — Fonction logarithmique
Soit \(f\) la fonction définie sur \(D_f\) par :
\[ f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right). \]Choisir la bonne réponse.
On reconnaît la fonction argument sinus hyperbolique.
Pour tout réel \(x\) :
\[ \sqrt{1+x^2}>|x|. \]Donc :
\[ x+\sqrt{1+x^2}>0. \]Ainsi :
\[ D_f=\mathbb R. \]De plus :
\[ f(-x) = \ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right). \]Or :
\[ \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)=1. \]Donc :
\[ f(-x) = -\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) = -f(x). \]Question 13 — Centre de symétrie
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=\ln\left(ex+\sqrt{2x^2+4}\right), \]où \(e\) est un paramètre réel.
Le point \(\Omega(0,\ln2)\) est un centre de symétrie de la courbe de \(f\) si et seulement si :
Un centre \(\Omega(0,\ln2)\) impose \(f(x)+f(-x)=2\ln2\) sur un domaine symétrique.
On a :
\[ f(x)+f(-x) = \ln\left[ \left(ex+\sqrt{2x^2+4}\right) \left(-ex+\sqrt{2x^2+4}\right) \right]. \]Le produit vaut :
\[ (2-e^2)x^2+4. \]Pour obtenir :
\[ f(x)+f(-x)=\ln4=2\ln2 \]pour tout \(x\), il faut et il suffit que :
\[ 2-e^2=0. \] \[ e=\sqrt2 \qquad\text{ou}\qquad e=-\sqrt2. \]Pour ces deux valeurs, le domaine est bien \(\mathbb R\) et la courbe possède le centre demandé.
Question 14 — Étude d’une fonction
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=x\ln|e^x-1|. \]Choisir la mauvaise réponse.
On étudie la dérivée seconde sur \(]0,+\infty[\).
Au voisinage de \(0\) :
\[ e^x-1\sim x, \]donc :
\[ x\ln|e^x-1| \sim x\ln|x| \longrightarrow0. \]La fonction est donc prolongeable par continuité en \(0\).
Pour \(x\ne0\), un calcul donne :
\[ f''(x) = \frac{2e^x-2-x}{4\sinh^2(x/2)}. \]Sur \(]0,+\infty[\), on a :
\[ e^x-1>x, \]donc :
\[ 2e^x-2-x>x>0. \]Ainsi :
\[ f''(x)>0. \]La fonction est strictement convexe sur \(]0,+\infty[\), et \(f'\) y est croissante.
Sur la partie négative du domaine, \(f''\) change de signe au moins une fois, ce qui fournit un point d’inflexion.
Question 15 — Propriétés de limites
Soit :
\[ f:]-a,a[\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb R, \qquad a\in\mathbb R_+^\ast. \]Choisir la mauvaise réponse.
On vérifie chaque implication et l’on cherche des contre-exemples lorsque nécessaire.
La proposition A est vraie, car \(x\mapsto\sin x\) est bijective au voisinage de \(0\) et :
\[ \sin x\sim x. \]La proposition C est vraie : si :
\[ f(x)+\frac{1}{|f(x)|}\longrightarrow0, \]alors les valeurs de \(f(x)\) doivent tendre vers l’unique solution réelle de :
\[ y+\frac{1}{|y|}=0, \]à savoir :
\[ y=-1. \]La proposition B est fausse. Par exemple :
\[ f(x)=\sin\left(\pi\log_2|x|\right) \]vérifie :
\[ f(2x)=-f(x), \]donc \(f(x)+f(2x)=0\), alors que \(f(x)\) n’admet aucune limite en \(0\).
La proposition D est également fausse. On peut définir \(f\) alternativement égale à \(1\) puis à \(0\) sur des couronnes dyadiques successives autour de \(0\). On obtient alors :
\[ f(x)f(2x)=0 \]sans que \(f(x)\) possède une limite en \(0\).
Question 16 — Limite avec radicaux imbriqués
On pose :
\[ L_1= \lim_{x\to+\infty} \left( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}-\sqrt x \right). \]Choisir la bonne réponse.
On rationalise la différence des deux racines carrées.
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt x\) :
\[ = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}}+1}. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt x}}\to1 \]et :
\[ \frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}\to0. \]Donc :
\[ L_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. \]Question 17 — Limite exponentielle
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}. \]On passe au logarithme de l’expression.
Posons :
\[ L= \lim_{x\to0^+} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}. \]Alors :
\[ \ln L = \lim_{x\to0^+} \frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2}. \]On utilise la limite classique :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2} = -\frac{1}{6}. \]Ainsi :
\[ \ln L=-\frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad L=e^{-1/6}. \]Question 18 — Dérivabilité en zéro
La fonction \(f\) est définie par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x\ln2}-\dfrac{1}{2^x-1},&x\ne0,\\[3mm] \dfrac{1}{2},&x=0. \end{cases} \]Choisir la bonne réponse.
On utilise le développement au voisinage de \(0\) de \(\dfrac{1}{e^t-1}\).
Posons :
\[ t=x\ln2. \]Alors :
\[ 2^x=e^t \]et :
\[ \frac{1}{e^t-1} = \frac{1}{t}-\frac{1}{2}+\frac{t}{12}+o(t). \]Par conséquent :
\[ f(x) = \frac{1}{t} - \left( \frac{1}{t}-\frac{1}{2}+\frac{t}{12}+o(t) \right). \] \[ f(x) = \frac{1}{2}-\frac{x\ln2}{12}+o(x). \]Donc \(f\) est dérivable en \(0\) et :
\[ f'(0)=-\frac{\ln2}{12}. \]Question 19 — Intégrale trigonométrique
Calculer :
\[ I= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx. \]Le numérateur est la dérivée du dénominateur.
Donc :
\[ I = \left[ \ln(\sin x+\cos x) \right]_0^{\pi/4}. \] \[ I = \ln(\sqrt2)-\ln(1). \] \[ I=\frac{\ln2}{2}. \]Question 20 — Limite d’une intégrale
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty} \left( \int_0^x e^{t^2}\,dt \right)^{\frac{1}{x^2}}. \]On encadre l’intégrale, puis on étudie son logarithme divisé par \(x^2\).
Posons :
\[ I(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt. \]Pour \(x\ge1\) :
\[ I(x)\le xe^{x^2}. \]D’autre part :
\[ I(x) \ge \int_{x-1/x}^{x}e^{t^2}\,dt \ge \frac{1}{x} e^{(x-1/x)^2}. \]Ainsi :
\[ -\frac{\ln x}{x^2} + \left(1-\frac{1}{x^2}\right)^2 \le \frac{\ln I(x)}{x^2} \le 1+\frac{\ln x}{x^2}. \]Les deux bornes tendent vers \(1\). Donc :
\[ \frac{\ln I(x)}{x^2}\longrightarrow1. \]Par conséquent :
\[ I(x)^{1/x^2}\longrightarrow e. \]Question 21 — Suite d’intégrales
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[ u_0=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos^2x} \]et, pour tout \(n\ge1\) :
\[ u_n= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^n x}{\cos^2x}\,dx. \]Choisir la bonne réponse.
Sur l’intervalle d’intégration, \(\sin x\) est strictement inférieur à \(1\).
Pour \(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]\) :
\[ 0\le\sin x\le\frac{\sqrt2}{2}. \]Donc :
\[ 0 \le \frac{\sin^n x}{\cos^2x} \le \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n \frac{1}{\cos^2x}. \]En intégrant :
\[ 0\le u_n \le \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x}. \]Or :
\[ \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x} = [\tan x]_0^{\pi/4} = 1. \]Ainsi :
\[ 0\le u_n\le\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n. \]La borne supérieure tend vers \(0\).
Question 22 — Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Le nombre de solutions de l’équation :
\[ \sin(3x)\cos^3x+\sin^3x\cos(3x)=\frac{3}{4} \]sur l’intervalle \([-3,2]\) est :
On simplifie le membre de gauche à l’aide des formules de l’angle triple.
En posant \(s=\sin x\) et \(c=\cos x\) :
\[ \sin(3x)c^3+s^3\cos(3x) = (3s-4s^3)c^3+s^3(4c^3-3c). \] \[ = 3sc^3-3s^3c. \] \[ = 3sc(c^2-s^2). \]Or :
\[ 2sc=\sin(2x) \qquad\text{et}\qquad c^2-s^2=\cos(2x). \]Donc :
\[ 3sc(c^2-s^2) = \frac{3}{4}\sin(4x). \]L’équation devient :
\[ \sin(4x)=1. \]Ainsi :
\[ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]Dans \([-3,2]\), les solutions correspondent à :
\[ k=-2,-1,0,1. \]Il y a donc quatre solutions.
Question 23 — Probabilité conditionnelle
Soient \(A\) et \(B\) deux événements tels que :
\[ P(A)=\frac{3}{4}, \qquad P(B)=\frac{3}{8}, \qquad P(A\cup B)=\frac{7}{8}. \]Alors \(P_{\overline B}(A)\) vaut :
On calcule d’abord \(P(A\cap B)\), puis \(P(A\cap\overline B)\).
Donc :
\[ P(A\cap\overline B) = P(A)-P(A\cap B) = \frac{3}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \]De plus :
\[ P(\overline B)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}. \]Ainsi :
\[ P_{\overline B}(A) = \frac{P(A\cap\overline B)}{P(\overline B)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}} = \frac{4}{5}. \]Question 24 — Réponses choisies au hasard
Un candidat se présentant au concours des ENSAM 2021 décide de se baser uniquement sur le hasard.
Il choisit les réponses au hasard et d’une manière indépendante l’une de l’autre.
La probabilité de donner un nombre de réponses correctes au moins égal au nombre de réponses fausses vaut :
Le nombre de réponses correctes suit une loi binomiale de paramètres \(30\) et \(\dfrac{1}{5}\).
Chaque question propose cinq réponses, dont une seule est correcte.
Si \(X\) désigne le nombre de réponses correctes :
\[ X\sim\mathcal B\left(30,\frac{1}{5}\right). \]Le nombre de réponses fausses est \(30-X\). La condition demandée est :
\[ X\ge30-X. \] \[ X\ge15. \]La probabilité vaut donc :
\[ P(X\ge15) = \sum_{k=15}^{30} \mathrm{C}_{30}^{k} \left(\frac{1}{5}\right)^k \left(\frac{4}{5}\right)^{30-k}. \]Numériquement :
\[ P(X\ge15) \approx 2{,}31\times10^{-4}. \]Question 25 — Approximation d’une limite
On pose :
\[ L_2= \lim_{x\to1} (x-1)\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right). \]Choisir la meilleure approximation de \(L_2\).
On transforme la tangente en cotangente au voisinage de \(\dfrac{\pi}{2}\).
Posons :
\[ \delta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2x} = \frac{\pi(x-1)}{2x}. \]Lorsque \(x\to1\), on a \(\delta\to0\) et :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{2x}\right) = \cot\delta. \]Ainsi :
\[ (x-1)\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right) = \frac{2x}{\pi}\,\delta\cot\delta. \]Or :
\[ \delta\cot\delta\longrightarrow1. \]Donc :
\[ L_2=\frac{2}{\pi}. \]Numériquement :
\[ \frac{2}{\pi}\approx0{,}636619\ldots \]Question 26 — Aire entre une parabole et une corde
La courbe \(\mathcal P\) est une parabole d’équation :
\[ y=mx^2, \qquad m>0. \]Les points \(A\) et \(B\) ont pour abscisses respectives \(a\) et \(b\), avec \(a<b\).
Soit \(A_D\) l’aire du domaine compris entre la courbe \(\mathcal P\) et le segment \([AB]\).
Choisir la bonne réponse.
On détermine l’équation de la corde \((AB)\), puis on intègre l’écart avec la parabole.
Les points sont :
\[ A(a,ma^2), \qquad B(b,mb^2). \]La pente de la corde est :
\[ \frac{mb^2-ma^2}{b-a} = m(a+b). \]Son équation est :
\[ y=m(a+b)x-mab. \]L’écart entre la corde et la parabole vaut :
\[ m(a+b)x-mab-mx^2 = m(x-a)(b-x). \]Ainsi :
\[ A_D = m\int_a^b(x-a)(b-x)\,dx. \]En posant \(t=x-a\), avec \(b-a=d\) :
\[ A_D = m\int_0^d t(d-t)\,dt. \] \[ A_D = m\left[\frac{dt^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_0^d. \] \[ A_D = m\frac{d^3}{6} = m\frac{(b-a)^3}{6}. \]Question 27 — Déterminant d’un système
Donner le déterminant du système \((S)\) :
\[ (S): \begin{cases} X+3Y+2mZ=-1,\\ -X+(1-2m)Y+2Z=2,\\ 2X+3Y+mZ=3. \end{cases} \]On calcule le déterminant de la matrice des coefficients.
La matrice du système est :
\[ M= \begin{pmatrix} 1&3&2m\\ -1&1-2m&2\\ 2&3&m \end{pmatrix}. \]En développant suivant la première ligne :
\[ \det(M) = 1 \begin{vmatrix} 1-2m&2\\ 3&m \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1&2\\ 2&m \end{vmatrix} + 2m \begin{vmatrix} -1&1-2m\\ 2&3 \end{vmatrix}. \] \[ \det(M) = (m-2m^2-6) - 3(-m-4) + 2m(4m-5). \] \[ \det(M) = 6m^2-6m+6. \]Question 28 — Année à quatre chiffres
Une certaine année est un nombre qui s’écrit \(ABCD\), chaque lettre représentant un chiffre unique.
Ce nombre vérifie :
\[ ABCD+ABC+AB=2021. \]Quelle est l’année \(ABCD\) ?
On traduit les écritures \(ABCD\), \(ABC\) et \(AB\) en valeurs décimales.
L’équation devient :
\[ 1110A+111B+11C+D=2021. \]Comme \(A\ge1\), on doit avoir \(A=1\).
Il reste :
\[ 111B+11C+D=911. \]En examinant les chiffres possibles, aucune valeur de \(B\), \(C\) et \(D\), distincts entre eux et distincts de \(1\), ne vérifie cette égalité.
Les trois années proposées ne conviennent d’ailleurs pas :
\[ 1542+154+15=1711, \] \[ 1731+173+17=1921, \] \[ 1641+164+16=1821. \]Question 29 — Nombre manquant dans une grille
Trouver le nombre qui remplace le point d’interrogation :
| 218 | 275 | 114 |
| 111 | 160 | 98 |
| 220 | 372 | 304 |
| 400 | 578 | ? |
Dans chaque ligne, le troisième nombre est le double de la différence entre le deuxième et le premier.
Première ligne :
\[ 2(275-218)=2\times57=114. \]Deuxième ligne :
\[ 2(160-111)=2\times49=98. \]Troisième ligne :
\[ 2(372-220)=2\times152=304. \]Quatrième ligne :
\[ 2(578-400)=2\times178=356. \]Question 30 — Roues dentées
La roue \(A\) possède \(39\) dents, la roue \(B\) possède \(17\) dents et la roue \(C\) possède \(26\) dents.
On fait tourner la roue \(A\) d’exactement \(18\) tours.
Combien de tours la roue \(C\) fera-t-elle ?
Pour deux roues dentées en prise, le produit « nombre de tours × nombre de dents » est conservé.
La roue \(B\) est une roue intermédiaire. Elle modifie le sens de rotation, mais pas le rapport global entre \(A\) et \(C\).
On a donc :
\[ N_A\times39 = N_C\times26. \]Avec :
\[ N_A=18, \]on obtient :
\[ N_C = 18\times\frac{39}{26}. \] \[ N_C = 18\times\frac{3}{2} = 27. \]Bilan
Les 30 questions sont corrigées. Les anomalies des questions 6, 10, 13 et 15 sont expliquées directement à l’endroit concerné afin de distinguer la réponse attendue de la conclusion mathématique exacte.
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