Concours ENSAM Maroc 2022 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSAM 2022 — Mathématiques

Concours commun d’accès en première année ENSAM — Session du 2 août 2022.

Durée : 2 h 15 min — 25 questions.

Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2022.

L’épreuve comprend une première partie de 15 questions à choix multiples et une deuxième partie de 10 questions à réponses précises.

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Consignes de l’épreuve

• Durée : 2 h 15 min.
• Les calculatrices sont strictement interdites.
• Aucune question n’est permise pendant l’épreuve.
• Partie I : une réponse correcte rapporte 2 points ; une absence de réponse, plusieurs réponses ou une réponse fausse rapportent 0 point.
• Partie II : chaque réponse est notée sur 2 points.

Accès rapide aux questions

Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q9Q10Q11Q12Q13Q14Q15Q16Q17Q18Q19Q20Q21Q22Q23Q24Q25

Partie I — Questions à choix multiples

Questions 1 à 15

Question 1 — Encadrement d’une somme

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ S_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}. \]

À l’aide d’un encadrement de \(S_n\), choisir la bonne réponse.

A) \((S_n)\) est convergente et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=0\).

B) \((S_n)\) est divergente.

C) \((S_n)\) est convergente et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{1}{2}\).

D) \((S_n)\) est convergente et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=1\).

E) Autre réponse.

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Question 2 — Distance d’un point à une droite

Énoncé

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), avec :

\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1\ \mathrm{cm}, \]

on considère le point :

\[ A(1,-2,-1) \]

et la droite \((D)\) d’équation cartésienne :

\[ \frac{x-1}{2}=y+1=z. \]

La distance \(d\) du point \(A\) à la droite \((D)\) est égale à :

A) \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}\)

B) \(\displaystyle\frac{2\sqrt2}{3}\ \mathrm{cm}\)

C) \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\ \mathrm{cm}\)

D) \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{3}\ \mathrm{cm}\)

E) \(\displaystyle\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}\)

F) Autre réponse.

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Question 3 — Ensemble de points du plan complexe

Énoncé

Pour \(z\in\mathbb C\), on note \(M(z)\) le point du plan complexe d’affixe \(z\).

L’ensemble :

\[ A=\left\{M(z)\ ;\ (z-3i)(\overline z+3i)=2\right\} \]

est :

A) un demi-plan ;

B) une droite ;

C) l’union de deux demi-droites ;

D) un cercle ;

E) autre réponse.

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Question 4 — Limite utilisant la dérivabilité

Énoncé

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que :

\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=1. \]

La limite :

\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)f(2x)\cdots f(nx)}{x^n} \]

est égale à :

A) \(n\)

B) \(\displaystyle\frac{n}{n!}\)

C) \(\displaystyle\frac{1}{n}\)

D) \(n!\)

E) \(1\)

F) Autre réponse.

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Question 5 — Branche infinie d’une fonction

Énoncé

Soit :

\[ f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}-\frac{xe^x}{1+e^x}. \]

La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :

A) une asymptote oblique d’équation \(y=-x\) ;

B) une asymptote oblique d’équation \(y=x\) ;

C) une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation \(y=-x\) ;

D) une asymptote verticale ;

E) autre réponse.

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Question 6 — Tangente à l’origine

Énoncé

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ g(x)=\frac{x}{1-e^{1/x}}\quad\text{si }x\ne0, \qquad g(0)=0. \]

On note \(C_g\) la courbe représentative de \(g\). Choisir la bonne réponse.

A) \(C_g\) admet une demi-tangente oblique à l’origine.

B) \(C_g\) admet une tangente horizontale à l’origine.

C) \(C_g\) admet une tangente verticale à l’origine.

D) \(g\) est non bornée au voisinage de \(0\).

E) Autre réponse.

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Question 7 — Suite récurrente décroissante

Énoncé

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ \begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2},\\[2mm] u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{3}{16},\qquad n\ge0. \end{cases} \]

Sachant que la suite \((u_n)\) est décroissante, choisir la bonne réponse.

A) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{3}{4}\)

B) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{4}{3}\)

C) \((u_n)\) est divergente.

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{1}{4}\)

E) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=4\)

F) Autre réponse.

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Question 8 — Limite d’une suite d’intégrales

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ I_n=\int_0^1(1-x)^n e^{-nx}\,dx. \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=\frac{1}{e}\)

B) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0\)

C) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=1\)

D) \((I_n)\) est divergente.

E) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=e\)

F) Autre réponse.

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Question 9 — Divisibilité d’un polynôme

Énoncé

Pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), on considère le polynôme :

\[ P(X)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1. \]

Le polynôme \(P\) est :

A) divisible par \((X-1)^2\) ;

B) divisible par \(X-2\) ;

C) non divisible par \(X-1\) ;

D) autre réponse.

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Question 10 — Nombre de solutions d’une équation

Énoncé

Dans \(\mathbb R^+\), l’équation :

\[ e^{-\sqrt{2x}}-\sqrt2\,x+\sqrt3=0 \]

admet :

A) plus de trois solutions ;

B) deux solutions distinctes ;

C) une solution unique ;

D) aucune solution ;

E) autre réponse.

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Question 11 — Encadrement fonctionnel

Énoncé

Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) telle que :

\[ f(2021x+2022)\le 2021x\le f(2021x)+2022. \]

Choisir la bonne réponse.

A) \(f\) est un polynôme de degré \(2\) et \(f(2021)\ge-1\).

B) \(f\) est constante.

C) \(f\) est un polynôme de degré \(1\).

D) \(f\) est un polynôme de degré \(2\) et \(f(2022)\le0\).

E) Autre réponse.

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Question 12 — Inéquation trigonométrique à deux variables

Énoncé

L’inéquation :

\[ \sin(x)+2\sin(y)+3\le0 \]

admet dans \(]-\pi,\pi]^2\) :

A) une infinité de solutions ;

B) une solution unique ;

C) aucune solution ;

D) deux solutions distinctes ;

E) autre réponse.

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Question 13 — Équation diophantienne

Énoncé

Dans \(\mathbb N^2\), l’équation :

\[ x^2-y^2-21=0 \]

admet :

A) aucune solution ;

B) une infinité de solutions ;

C) deux solutions distinctes ;

D) une solution unique ;

E) autre réponse.

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Question 14 — Congruence modulo 3

Énoncé

Soient \(a,b,c\in\mathbb Z\) tels que :

\[ a^3+b^3+c^3 \]

est divisible par \(3\), et soit :

\[ S=a+b+c. \]

Sachant que, pour tout \(n\in\mathbb Z\), le nombre \(3\) divise \(n^3-n\), choisir la bonne réponse.

A) \(S\) est multiple de \(3\).

B) \(S\) et \(3\) sont premiers entre eux.

C) Le reste de la division euclidienne de \(S\) par \(3\) est \(2\).

D) Autre réponse.

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Question 15 — Propriété arithmétique d’une somme

Énoncé

Le nombre entier naturel :

\[ 1^{2021}+2^{2021}+\cdots+4^{2021} \]

est :

A) multiple de \(5\) ;

B) impair ;

C) non divisible par \(5\) ;

D) premier ;

E) autre réponse.

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Partie II — Questions à réponses précises

Questions 16 à 25

Question 16 — Codes possibles d’une serrure

Énoncé

La porte d’un parking est munie d’une serrure à digicode portant les touches :

• les lettres du mot ENSAM ;
• les chiffres non nuls.

La porte s’ouvre lorsqu’on frappe, dans l’ordre, trois lettres et quatre chiffres qui forment un code.

Les chiffres sont nécessairement distincts deux à deux, tandis que les lettres ne le sont pas.

Quel est le nombre \(N\) des codes possibles qui portent exactement deux lettres identiques ?

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Question 17 — Probabilité conditionnelle et vaccination

Énoncé

Le tiers d’une population a été vacciné contre une maladie.

Au cours d’une épidémie, on constate que \(20\%\) de la population est victime de l’épidémie et que, sur \(15\) malades, il y a deux personnes vaccinées.

Calculer la probabilité \(P\) d’avoir une personne victime de la maladie sachant qu’elle a été vaccinée.

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Question 18 — Racines cinquièmes de l’unité

Énoncé

Soient les nombres complexes :

\[ \alpha=e^{\frac{2\pi i}{5}}, \qquad a=\alpha+\alpha^4, \qquad b=\alpha^2+\alpha^3. \]

Sachant que \(\alpha\) est une racine du polynôme :

\[ P(z)=1+z+z^2+z^3+z^4, \]

calculer \(a+b\) et \(ab\), puis en déduire la valeur de :

\[ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]

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Question 19 — Limite en zéro à droite

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x), \]

où :

\[ f(x)=\frac{e^x-\cos(\sqrt{x})}{x}. \]

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Question 20 — Intégration par parties

Énoncé

En utilisant une intégration par parties, calculer :

\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{x}{\cos^2(x)}\,dx. \]

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Question 21 — Volume d’un solide de révolution

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,\sqrt2]\) par :

\[ f(x)=\frac{\ln(x+\sqrt2)}{\sqrt{x+\sqrt2}}. \]

On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :

\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=2\ \mathrm{cm}. \]

Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses.

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Question 22 — Rotation et triangle dans le plan complexe

Énoncé

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectivement :

\[ a=-\sqrt3+i \qquad\text{et}\qquad b=i\overline a. \]

Soit \(C\) l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\), et soit \(c\) l’affixe du point \(C\).

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe :

\[ Z=\frac{b}{c} \]

et en déduire la nature du triangle \(OBC\).

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Question 23 — Intersection d’une sphère et d’un plan

Énoncé

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :

\[ A(\sqrt2,-1,2), \qquad B(3,-\sqrt3,1), \qquad C(1,-2,-1), \]

et la sphère \(S\) d’équation cartésienne :

\[ x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+1=0. \]

Déterminer l’intersection de la sphère \(S\) et du plan \((ABC)\).

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Question 24 — Équation différentielle

Énoncé

On considère l’équation différentielle :

\[ (E):\quad y''-4y'+4y=(x-2)e^x. \]

Sachant que la fonction :

\[ x\longmapsto xe^x \]

est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative passe par le point :

\[ A(0,-2) \]

et admette en \(A\) une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

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Question 25 — Aire maximale d’un rectangle inscrit

Énoncé

On considère un demi-cercle \(C\) de diamètre \(2\ \mathrm{cm}\).

Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de la surface d’un rectangle inscrit dans le demi-cercle \(C\).

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Conseil de travail

Traiter d’abord les questions directes, puis revenir aux questions nécessitant plusieurs étapes de calcul, une démonstration ou une étude géométrique complète.

Ressources liées

Concours — Énoncés et corrections Accueil Parcours Maths Maroc 2e Bac Sciences Mathématiques A/B 2e Bac PC/SVT