Concours ENSAM 2022 — Mathématiques
Concours commun d’accès en première année ENSAM — Session du 2 août 2022.
Durée : 2 h 15 min — 25 questions.
Compétences et points clés
ENSAM 2022 réunit des sommes à encadrer, de la géométrie, des racines complexes et des calculs d’analyse. L’alternance QCM et réponses précises demande de choisir une méthode adaptée avant de produire une écriture exacte.
Prérequis à revoir : inégalités, limites de suites et comptage des termes; limites, division et différence de fonctions; limites usuelles et définition du nombre dérivé.
Rappels de cours utiles
Encadrement et comparaison. Pour étudier une somme dépendant d’un entier, encadrer chaque terme, puis multiplier les bornes obtenues par le nombre exact de termes. Le théorème des gendarmes s’applique lorsque les deux bornes convergent vers la même limite. Le sens d’une inégalité doit être contrôlé lors d’une division.
Branches infinies. Pour une asymptote oblique, contrôler la limite de la différence entre la fonction et la droite candidate. La limite du quotient par x indique une direction, mais ne suffit pas à établir l’équation complète de l’asymptote. Les comportements aux deux infinis se traitent séparément lorsque le domaine le demande.
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Encadrer la somme de la première question terme par terme. Pour la branche infinie, tester la différence avec la droite candidate. Pour la tangente au point de raccordement, calculer les taux d’accroissement des deux côtés. Dans les questions finales de volumes ou d’aires, poser d’abord les bornes et les dimensions.
Cette page reproduit l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSAM 2022.
L’épreuve comprend une première partie de 15 questions à choix multiples et une deuxième partie de 10 questions à réponses précises.
Consignes de l’épreuve
- Durée : 2 h 15 min.
- Les calculatrices sont strictement interdites.
- Aucune question n’est permise pendant l’épreuve.
- Partie I : une réponse correcte rapporte 2 points ; une absence de réponse, plusieurs réponses ou une réponse fausse rapportent 0 point.
- Partie II : chaque réponse est notée sur 2 points.
Questions 1 à 15
Question 1 — Encadrement d’une somme
Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ S_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}. \]À l’aide d’un encadrement de \(S_n\), choisir la bonne réponse.
Question 2 — Distance d’un point à une droite
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), avec :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1\ \mathrm{cm}, \]on considère le point :
\[ A(1,-2,-1) \]et la droite \((D)\) d’équation cartésienne :
\[ \frac{x-1}{2}=y+1=z. \]La distance \(d\) du point \(A\) à la droite \((D)\) est égale à :
Question 3 — Ensemble de points du plan complexe
Pour \(z\in\mathbb C\), on note \(M(z)\) le point du plan complexe d’affixe \(z\).
L’ensemble :
\[ A=\left\{M(z)\ ;\ (z-3i)(\overline z+3i)=2\right\} \]est :
Question 4 — Limite utilisant la dérivabilité
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=1. \]La limite :
\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)f(2x)\cdots f(nx)}{x^n} \]est égale à :
Question 5 — Branche infinie d’une fonction
Soit :
\[ f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}-\frac{xe^x}{1+e^x}. \]La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :
Question 6 — Tangente à l’origine
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ g(x)=\frac{x}{1-e^{1/x}}\quad\text{si }x\ne0, \qquad g(0)=0. \]On note \(C_g\) la courbe représentative de \(g\). Choisir la bonne réponse.
Question 7 — Suite récurrente décroissante
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
\[ \begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2},\\[2mm] u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{3}{16},\qquad n\ge0. \end{cases} \]Sachant que la suite \((u_n)\) est décroissante, choisir la bonne réponse.
Question 8 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1(1-x)^n e^{-nx}\,dx. \]Choisir la bonne réponse.
Question 9 — Divisibilité d’un polynôme
Pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), on considère le polynôme :
\[ P(X)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1. \]Le polynôme \(P\) est :
Question 10 — Nombre de solutions d’une équation
Dans \(\mathbb R^+\), l’équation :
\[ e^{-\sqrt{2x}}-\sqrt2\,x+\sqrt3=0 \]admet :
Question 11 — Encadrement fonctionnel
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) telle que :
\[ f(2021x+2022)\le 2021x\le f(2021x)+2022. \]Choisir la bonne réponse.
Question 12 — Inéquation trigonométrique à deux variables
L’inéquation :
\[ \sin(x)+2\sin(y)+3\le0 \]admet dans \(]-\pi,\pi]^2\) :
Question 13 — Équation diophantienne
Dans \(\mathbb N^2\), l’équation :
\[ x^2-y^2-21=0 \]admet :
Question 14 — Congruence modulo 3
Soient \(a,b,c\in\mathbb Z\) tels que :
\[ a^3+b^3+c^3 \]est divisible par \(3\), et soit :
\[ S=a+b+c. \]Sachant que, pour tout \(n\in\mathbb Z\), le nombre \(3\) divise \(n^3-n\), choisir la bonne réponse.
Question 15 — Propriété arithmétique d’une somme
Le nombre entier naturel :
\[ 1^{2021}+2^{2021}+\cdots+4^{2021} \]est :
Questions 16 à 25
Question 16 — Codes possibles d’une serrure
La porte d’un parking est munie d’une serrure à digicode portant les touches :
- les lettres du mot ENSAM ;
- les chiffres non nuls.
La porte s’ouvre lorsqu’on frappe, dans l’ordre, trois lettres et quatre chiffres qui forment un code.
Les chiffres sont nécessairement distincts deux à deux, tandis que les lettres ne le sont pas.
Quel est le nombre \(N\) des codes possibles qui portent exactement deux lettres identiques ?
Question 17 — Probabilité conditionnelle et vaccination
Le tiers d’une population a été vacciné contre une maladie.
Au cours d’une épidémie, on constate que \(20\%\) de la population est victime de l’épidémie et que, sur \(15\) malades, il y a deux personnes vaccinées.
Calculer la probabilité \(P\) d’avoir une personne victime de la maladie sachant qu’elle a été vaccinée.
Question 18 — Racines cinquièmes de l’unité
Soient les nombres complexes :
\[ \alpha=e^{\frac{2\pi i}{5}}, \qquad a=\alpha+\alpha^4, \qquad b=\alpha^2+\alpha^3. \]Sachant que \(\alpha\) est une racine du polynôme :
\[ P(z)=1+z+z^2+z^3+z^4, \]calculer \(a+b\) et \(ab\), puis en déduire la valeur de :
\[ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]Question 19 — Limite en zéro à droite
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x), \]où :
\[ f(x)=\frac{e^x-\cos(\sqrt{x})}{x}. \]Question 20 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{x}{\cos^2(x)}\,dx. \]Question 21 — Volume d’un solide de révolution
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,\sqrt2]\) par :
\[ f(x)=\frac{\ln(x+\sqrt2)}{\sqrt{x+\sqrt2}}. \]On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=2\ \mathrm{cm}. \]Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses.
Question 22 — Rotation et triangle dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectivement :
\[ a=-\sqrt3+i \qquad\text{et}\qquad b=i\overline a. \]Soit \(C\) l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\), et soit \(c\) l’affixe du point \(C\).
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe :
\[ Z=\frac{b}{c} \]et en déduire la nature du triangle \(OBC\).
Question 23 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :
\[ A(\sqrt2,-1,2), \qquad B(3,-\sqrt3,1), \qquad C(1,-2,-1), \]et la sphère \(S\) d’équation cartésienne :
\[ x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+1=0. \]Déterminer l’intersection de la sphère \(S\) et du plan \((ABC)\).
Question 24 — Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y''-4y'+4y=(x-2)e^x. \]Sachant que la fonction :
\[ x\longmapsto xe^x \]est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative passe par le point :
\[ A(0,-2) \]et admette en \(A\) une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
Question 25 — Aire maximale d’un rectangle inscrit
On considère un demi-cercle \(C\) de diamètre \(2\ \mathrm{cm}\).
Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de la surface d’un rectangle inscrit dans le demi-cercle \(C\).
Conseil de travail
Traiter d’abord les questions directes, puis revenir aux questions nécessitant plusieurs étapes de calcul, une démonstration ou une étude géométrique complète.
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