Correction ENSAM 2022 — Mathématiques
Correction détaillée des 25 questions du concours commun d’accès en première année ENSAM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques ENSAM 2022.
Chaque question est accompagnée de la méthode, des calculs et de la réponse finale.
Réponses finales — Partie I
Réponses finales — Partie II
Correction détaillée — Questions 1 à 15
Question 1 — Encadrement d’une somme
Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ S_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}. \]À l’aide d’un encadrement de \(S_n\), choisir la bonne réponse.
On encadre chacun des \(n\) termes à l’aide des dénominateurs extrêmes.
En sommant :
\[ \frac{n^2}{n^2+n}\le S_n\le\frac{n^2}{n^2+1}. \]Les deux bornes tendent vers \(1\). Donc, par le théorème des gendarmes :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n=1. \]Question 2 — Distance d’un point à une droite
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), avec :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1\ \mathrm{cm}, \]on considère le point :
\[ A(1,-2,-1) \]et la droite \((D)\) d’équation cartésienne :
\[ \frac{x-1}{2}=y+1=z. \]La distance \(d\) du point \(A\) à la droite \((D)\) est égale à :
On utilise la formule de la distance d’un point à une droite dans l’espace.
Une représentation paramétrique de \((D)\) est :
\[ (x,y,z)=(1,-1,0)+t(2,1,1). \]Posons \(B(1,-1,0)\) et \(\vec u=(2,1,1)\). Alors :
\[ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} = (0,-1,-1). \] \[ \overrightarrow{BA}\wedge\vec u=(0,-2,2). \] \[ d\bigl(A,(D)\bigr) = \frac{\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt6} = \frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}. \]Question 3 — Ensemble de points du plan complexe
Pour \(z\in\mathbb C\), on note \(M(z)\) le point du plan complexe d’affixe \(z\).
L’ensemble :
\[ A=\left\{M(z)\ ;\ (z-3i)(\overline z+3i)=2\right\} \]est :
Le deuxième facteur est le conjugué du premier.
Ainsi :
\[ (z-3i)(\overline z+3i)=|z-3i|^2=2. \] \[ |z-3i|=\sqrt2. \]L’ensemble est donc le cercle de centre d’affixe \(3i\) et de rayon \(\sqrt2\).
Question 4 — Limite utilisant la dérivabilité
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=1. \]La limite :
\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)f(2x)\cdots f(nx)}{x^n} \]est égale à :
On fait apparaître le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\).
Comme \(f'(0)=1\), pour tout \(k\) fixé :
\[ \frac{f(kx)-f(0)}{kx}\longrightarrow1. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)f(2x)\cdots f(nx)}{x^n} = \prod_{k=1}^{n}k = n!. \]Question 5 — Branche infinie d’une fonction
Soit :
\[ f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}-\frac{xe^x}{1+e^x}. \]La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :
Pour l’asymptote \(y=-x\), on étudie \(f(x)+x\).
Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{\ln x}{\sqrt x}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac{x}{1+e^x}\to0. \]Ainsi :
\[ f(x)-(-x)\to0. \]Question 6 — Tangente à l’origine
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ g(x)=\frac{x}{1-e^{1/x}}\quad\text{si }x\ne0, \qquad g(0)=0. \]On note \(C_g\) la courbe représentative de \(g\). Choisir la bonne réponse.
On calcule les dérivées unilatérales en \(0\).
À droite :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{1-e^{1/x}}=0. \]La demi-tangente droite est horizontale.
À gauche :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{1-e^{1/x}}=1. \]La demi-tangente gauche est oblique, de pente \(1\). Les deux pentes étant différentes, il n’existe pas de tangente unique.
Question 7 — Suite récurrente décroissante
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
\[ \begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2},\\[2mm] u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{3}{16},\qquad n\ge0. \end{cases} \]Sachant que la suite \((u_n)\) est décroissante, choisir la bonne réponse.
La suite décroissante et positive converge vers un point fixe.
Soit \(\ell=\lim u_n\). Alors :
\[ \ell=\ell^2+\frac{3}{16}. \] \[ \ell^2-\ell+\frac{3}{16}=0. \] \[ \ell\in\left\{\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right\}. \]Comme \(u_n\le u_0=\dfrac{1}{2}\), on a \(\ell\le\dfrac{1}{2}\). Donc :
\[ \ell=\frac{1}{4}. \]Question 8 — Limite d’une suite d’intégrales
Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1(1-x)^n e^{-nx}\,dx. \]Choisir la bonne réponse.
On majore l’intégrande par \((1-x)^n\).
Pour \(x\in[0,1]\) :
\[ 0\le e^{-nx}\le1. \] \[ 0\le(1-x)^ne^{-nx}\le(1-x)^n. \]Donc :
\[ 0\le I_n\le\int_0^1(1-x)^n\,dx=\frac{1}{n+1}. \]Par encadrement :
\[ I_n\longrightarrow0. \]Question 9 — Divisibilité d’un polynôme
Pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), on considère le polynôme :
\[ P(X)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1. \]Le polynôme \(P\) est :
On vérifie que \(1\) est une racine au moins double.
d’où :
\[ P'(1)=0. \]Ainsi :
\[ (X-1)^2\mid P(X). \]Question 10 — Nombre de solutions d’une équation
Dans \(\mathbb R^+\), l’équation :
\[ e^{-\sqrt{2x}}-\sqrt2\,x+\sqrt3=0 \]admet :
On étudie la monotonie du membre de gauche.
Posons :
\[ h(x)=e^{-\sqrt{2x}}-\sqrt2\,x+\sqrt3. \]Pour \(x>0\) :
\[ h'(x) = -\frac{e^{-\sqrt{2x}}}{\sqrt{2x}} -\sqrt2 <0. \]La fonction est strictement décroissante. De plus :
\[ h(0)=1+\sqrt3>0 \qquad\text{et}\qquad h(x)\to-\infty. \]Par continuité, l’équation possède une unique solution dans \(\mathbb R^+\).
Question 11 — Encadrement fonctionnel
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) telle que :
\[ f(2021x+2022)\le 2021x\le f(2021x)+2022. \]Choisir la bonne réponse.
On pose \(t=2021x\).
Pour tout \(t\in\mathbb R\) :
\[ f(t+2022)\le t\le f(t)+2022. \]La seconde inégalité donne :
\[ f(t)\ge t-2022. \]Dans la première, en posant \(u=t+2022\) :
\[ f(u)\le u-2022. \]Donc, pour tout \(u\in\mathbb R\) :
\[ f(u)=u-2022. \]Question 12 — Inéquation trigonométrique à deux variables
L’inéquation :
\[ \sin(x)+2\sin(y)+3\le0 \]admet dans \(]-\pi,\pi]^2\) :
La somme possède une valeur minimale égale à \(0\).
Donc :
\[ \sin x+2\sin y+3\ge0. \]L’inéquation est satisfaite seulement si :
\[ \sin x=-1 \qquad\text{et}\qquad \sin y=-1. \]Dans \(]-\pi,\pi]\), cela donne uniquement :
\[ (x,y)=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right). \]Question 13 — Équation diophantienne
Dans \(\mathbb N^2\), l’équation :
\[ x^2-y^2-21=0 \]admet :
On factorise la différence de deux carrés.
Les décompositions utiles sont :
\[ 21=1\times21=3\times7. \]Elles donnent :
\[ (x,y)=(11,10) \qquad\text{ou}\qquad (x,y)=(5,2). \]Question 14 — Congruence modulo 3
Soient \(a,b,c\in\mathbb Z\) tels que :
\[ a^3+b^3+c^3 \]est divisible par \(3\), et soit :
\[ S=a+b+c. \]Sachant que, pour tout \(n\in\mathbb Z\), le nombre \(3\) divise \(n^3-n\), choisir la bonne réponse.
On utilise \(n^3\equiv n\pmod3\).
Le premier membre étant divisible par \(3\), on obtient :
\[ S\equiv0\pmod3. \]Question 15 — Propriété arithmétique d’une somme
Le nombre entier naturel :
\[ 1^{2021}+2^{2021}+\cdots+4^{2021} \]est :
On réduit les puissances modulo \(5\).
Comme \(2021\equiv1\pmod4\), pour \(k\in\{1,2,3,4\}\) :
\[ k^{2021}\equiv k\pmod5. \]Ainsi :
\[ 1^{2021}+2^{2021}+3^{2021}+4^{2021} \equiv1+2+3+4 \equiv0 \pmod5. \]Correction détaillée — Questions 16 à 25
Question 16 — Codes possibles d’une serrure
La porte d’un parking est munie d’une serrure à digicode portant les touches :
- les lettres du mot ENSAM ;
- les chiffres non nuls.
La porte s’ouvre lorsqu’on frappe, dans l’ordre, trois lettres et quatre chiffres qui forment un code.
Les chiffres sont nécessairement distincts deux à deux, tandis que les lettres ne le sont pas.
Quel est le nombre \(N\) des codes possibles qui portent exactement deux lettres identiques ?
On compte les lettres, leurs positions, puis les chiffres distincts.
Pour les trois lettres :
\[ \mathrm{C}_5^1\times\mathrm{C}_4^1\times\mathrm{C}_3^2 = 5\times4\times3 = 60. \]Pour les quatre chiffres non nuls, distincts et ordonnés :
\[ \mathrm{A}_9^4=9\times8\times7\times6=3024. \]Donc :
\[ N=60\times3024=181\,440. \]Question 17 — Probabilité conditionnelle et vaccination
Le tiers d’une population a été vacciné contre une maladie.
Au cours d’une épidémie, on constate que \(20\%\) de la population est victime de l’épidémie et que, sur \(15\) malades, il y a deux personnes vaccinées.
Calculer la probabilité \(P\) d’avoir une personne victime de la maladie sachant qu’elle a été vaccinée.
On applique la formule de Bayes.
Avec \(V\) : « vacciné » et \(M\) : « malade » :
\[ P(V)=\frac{1}{3}, \qquad P(M)=\frac{1}{5}, \qquad P(V\mid M)=\frac{2}{15}. \] \[ P(M\mid V) = \frac{P(V\mid M)P(M)}{P(V)} = \frac{\frac{2}{15}\times\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{25}. \]Question 18 — Racines cinquièmes de l’unité
Soient les nombres complexes :
\[ \alpha=e^{\frac{2\pi i}{5}}, \qquad a=\alpha+\alpha^4, \qquad b=\alpha^2+\alpha^3. \]Sachant que \(\alpha\) est une racine du polynôme :
\[ P(z)=1+z+z^2+z^3+z^4, \]calculer \(a+b\) et \(ab\), puis en déduire la valeur de :
\[ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right). \]On utilise \(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0\).
De plus :
\[ ab = (\alpha+\alpha^4)(\alpha^2+\alpha^3) = \alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4 = -1. \]Les nombres \(a\) et \(b\) sont les racines de :
\[ X^2+X-1=0. \]Comme \(a=2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0\) :
\[ a=\frac{-1+\sqrt5}{2}. \]Donc :
\[ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt5-1}{4}. \]Question 19 — Limite en zéro à droite
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x), \]où :
\[ f(x)=\frac{e^x-\cos(\sqrt{x})}{x}. \]On décompose le numérateur en deux différences classiques.
En posant \(t=\sqrt x\) :
\[ \frac{1-\cos(\sqrt x)}{x} = \frac{1-\cos t}{t^2} \to\frac{1}{2}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{3}{2}. \]Question 20 — Intégration par parties
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{x}{\cos^2(x)}\,dx. \]On effectue une intégration par parties avec \(u=x\) et \(dv=\dfrac{dx}{\cos^2x}\).
Question 21 — Volume d’un solide de révolution
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,\sqrt2]\) par :
\[ f(x)=\frac{\ln(x+\sqrt2)}{\sqrt{x+\sqrt2}}. \]On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=2\ \mathrm{cm}. \]Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses.
On calcule le volume en unités du repère, puis on applique le facteur \(2^3\).
Avec \(t=x+\sqrt2\) :
\[ V_u = \frac{\pi}{3} \left[ \ln^3t \right]_{\sqrt2}^{2\sqrt2}. \] \[ V_u = \frac{\pi}{3} \left[ \left(\frac{3}{2}\ln2\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\ln2\right)^3 \right] = \frac{13\pi}{12}(\ln2)^3. \]Une unité de longueur vaut \(2\ \mathrm{cm}\), donc une unité de volume vaut \(8\ \mathrm{cm^3}\).
\[ V=8V_u=\frac{26\pi}{3}(\ln2)^3\ \mathrm{cm^3}. \]Question 22 — Rotation et triangle dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectivement :
\[ a=-\sqrt3+i \qquad\text{et}\qquad b=i\overline a. \]Soit \(C\) l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\), et soit \(c\) l’affixe du point \(C\).
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe :
\[ Z=\frac{b}{c} \]et en déduire la nature du triangle \(OBC\).
On écrit les affixes sous forme trigonométrique.
La rotation donne :
\[ c=e^{i\pi/3}a=2e^{i7\pi/6}. \]Alors :
\[ Z=\frac{b}{c} = e^{-i\pi/3-i7\pi/6} = e^{-i3\pi/2} = e^{i\pi/2} = i. \]Comme \(|Z|=1\), on a \(OB=OC\). Comme \(\arg Z=\dfrac{\pi}{2}\), l’angle \(\widehat{COB}\) est droit.
Le triangle \(\boxed{OBC}\) est rectangle et isocèle en \(O\).
Question 23 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :
\[ A(\sqrt2,-1,2), \qquad B(3,-\sqrt3,1), \qquad C(1,-2,-1), \]et la sphère \(S\) d’équation cartésienne :
\[ x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+1=0. \]Déterminer l’intersection de la sphère \(S\) et du plan \((ABC)\).
On met l’équation de la sphère sous forme canonique.
La sphère a pour centre :
\[ C(1,-2,-1) \]et pour rayon :
\[ R=\sqrt5. \]Le plan \((ABC)\) contient le centre \(C\). Il coupe donc la sphère suivant un grand cercle.
L’intersection est le cercle du plan \((ABC)\) de centre :
\[ \boxed{C(1,-2,-1)} \]et de rayon :
\[ \boxed{\sqrt5} \]Question 24 — Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y''-4y'+4y=(x-2)e^x. \]Sachant que la fonction :
\[ x\longmapsto xe^x \]est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative passe par le point :
\[ A(0,-2) \]et admette en \(A\) une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
On ajoute à la solution particulière donnée la solution générale de l’équation homogène.
L’équation caractéristique est :
\[ r^2-4r+4=(r-2)^2=0. \]Donc :
\[ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{2x}+xe^x. \]La condition \(y(0)=-2\) donne :
\[ \beta=-2. \]De plus :
\[ y'(x) = \bigl(\alpha+2(\alpha x+\beta)\bigr)e^{2x} + (1+x)e^x. \]La tangente en \(A\) est horizontale, donc \(y'(0)=0\) :
\[ \alpha+2\beta+1=0. \]Avec \(\beta=-2\), on obtient \(\alpha=3\).
Question 25 — Aire maximale d’un rectangle inscrit
On considère un demi-cercle \(C\) de diamètre \(2\ \mathrm{cm}\).
Déterminer la valeur maximale \(S_m\) de la surface d’un rectangle inscrit dans le demi-cercle \(C\).
Le demi-cercle a pour rayon \(1\ \mathrm{cm}\).
Si \(\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\), la demi-largeur du rectangle vaut \(\cos\theta\) et sa hauteur vaut \(\sin\theta\).
\[ S(\theta)=2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta). \]La valeur maximale de \(\sin(2\theta)\) est \(1\), atteinte pour \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\).
Bilan pédagogique
Les 25 questions ont été corrigées avec justification et vérification indépendante des résultats.
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