Concours ENSAM Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques

Concours ENSAM Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques

Concours commun d’accès en 1ère année ENSAM — Session du 24 juillet 2023 — Mathématiques.

Cette page présente l’énoncé de mathématiques du Concours ENSAM Maroc 2023. La version consultée indique une durée de 2 h 15 min. La correction détaillée est accessible via le bouton placé en haut de l’article.

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Statut de l’énoncé : archive scannée exploitable, non officielle. Le concours ENSAM 2023 est confirmé par des annonces d’orientation, mais le document utilisé ici provient d’une archive pédagogique scannée et non d’un PDF officiel publié directement par une ENSAM. L’énoncé est donc présenté pour l’entraînement, avec vérification recommandée si une version officielle devient disponible.

Remarque importante : dans la source scannée initiale, les propositions de réponses de la partie I n’étaient pas clairement visibles. Les choix ci-dessous ont été ajoutés d’après une version pédagogique de comparaison ; l’énoncé reste une archive non officielle à vérifier.

Consignes de l’épreuve

Les calculatrices sont strictement interdites.
Aucune question n’est permise pendant l’épreuve.
Partie I : questions à choix multiples.
Partie II : questions à réponses précises.
Barème indiqué dans la source : une réponse correcte vaut 2 points ; absence de réponse, plus d’une réponse ou réponse fausse vaut 0 point.

Partie I — Questions à choix multiples

Question 1

Dans \([1,\pi]\), l’équation \[ \ln(x)e^x-\cos(x)-1=0 \] admet :

AAdmet une infinité de solutions

BN’admet pas de solution réelle

CAdmet une solution réelle unique

DAdmet exactement quatre solutions réelles

Question 2

Pour \(n\in\mathbb{N}\), soit \[ S_n=1-\frac13-\frac1{3^2}-\cdots-\frac1{3^n}. \] Choisir la bonne réponse.

A\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=1\)

B\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=2\)

C\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac12\)

D\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty\)

EAutre réponse

Question 3

Soit la suite \((u_n)\) définie par : \[ \begin{cases} u_0=\dfrac12,\\[4pt] u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2+2u_n},\quad \forall n\ge0. \end{cases} \] Sachant que la suite \((u_n)_n\) est croissante, choisir la bonne réponse.

A\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\)

B\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\)

C\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-1\)

D\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\)

EAutre réponse

Question 4

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac12\). La limite \[ \ell=\lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)+2f\left(\frac{x}{2}\right)+\cdots+n f\left(\frac{x}{n}\right)} \] est égale à :

A\(\ell=\dfrac{2}{n}\)

B\(\ell=\dfrac{n}{2}\)

C\(\ell=\dfrac{1}{e}\)

D\(\ell=1\)

EAutre réponse

Question 5

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=\frac{e^{x^2}-\cos(x)}{x}\quad \text{si }x\ne0 \] et \(f(0)=0\), et soit \(C_f\) la courbe représentative de \(f\). Choisir la bonne réponse.

A\(C_f\) admet au point \(O\) une tangente d’équation \(y=\dfrac52x\)

B\(C_f\) admet au point \(O\) une tangente d’équation \(y=\dfrac12x\)

C\(C_f\) admet au point \(O\) une tangente d’équation \(y=\dfrac23x\)

D\(C_f\) admet au point \(O\) une tangente d’équation \(y=\dfrac32x\)

EAutre réponse

Question 6

Soit \[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x}}-\frac{\ln(x)}{1+x}. \] La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :

A\(C_f\) admet une asymptote oblique

B\(C_f\) admet une branche parabolique de direction \((Ox)\)

C\(C_f\) admet une branche parabolique de direction \((Oy)\)

D\(C_f\) admet une asymptote horizontale

EAutre réponse

Question 7

Pour \(z\in\mathbb{C}\), on note par \(M(z)\) le point du plan complexe d’affixe \(z\). L’ensemble \[ A=\{M(z):2z+2\overline{z}+z\overline{z}=0\} \] est :

ACercle de centre \(A\) d’affixe \(-2\) et de rayon \(2\)

BCercle de centre \(A\) d’affixe \(-2\) et de rayon \(3\)

CLa droite \((AB)\), où \(A\) a pour affixe \(-2\) et \(B\) a pour affixe \(2-i\)

DLe cercle de diamètre \([AB]\), où \(A\) a pour affixe \(-2\) et \(B\) a pour affixe \(2-i\)

EAutre réponse

Question 8

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) avec \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=\|\vec{k}\|=1\,\text{cm}\), on considère le plan \((P)\) passant par \(O\) et de vecteur normal \(\vec n(2,-1,3)\).

La distance \(d\) du point \(A(1,0,-1)\) au plan \((P)\) est égale à :

A\(d=\dfrac{1}{\sqrt{14}}\)

B\(d=\dfrac{3}{\sqrt{14}}\)

C\(d=\dfrac{5}{\sqrt{14}}\)

D\(d=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\)

EAutre réponse

Question 9

Pour \(n\in\mathbb{N}\), soit \[ I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx \quad\text{et}\quad J_n=\int_0^1\frac{1}{1+x^n}\,dx. \] Choisir la bonne réponse.

Version pédagogique de comparaison : cette question est signalée comme contenant une erreur dans la source consultée. Les choix ne sont donc pas exploitables avec sécurité dans cette version.

Question 10

Pour \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(a\in\mathbb{R}\), soit le polynôme \[ P=X^n+aX^{n-1}+aX^{n-2}+\cdots+aX+a. \] Le nombre réel \(P(1-a)\) est égal à :

A\(P(1-a)=1\)

B\(P(1-a)=na\)

C\(P(1-a)=(n+1)a\)

D\(P(1-a)=(n+2)a\)

EAutre réponse

Question 11

Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}^*\) telle que : \[ f(x-y)=f(x)f(y),\qquad \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \] Choisir la bonne réponse.

A\(\forall x\in\mathbb{R}: f(x)=x\)

B\(\forall x\in\mathbb{R}: f(x)=1\)

C\(\forall x\in\mathbb{R}: f(x)=2\)

D\(\forall x\in\mathbb{R}: f(x)=\dfrac{x}{2}\)

EAutre réponse

Question 12

L’équation \[ 1+\cos(x)+\cos(2x)=0 \] admet dans \(]-\pi,\pi]\) :

AAdmet une infinité de solutions

BN’admet pas de solution réelle

CAdmet une solution réelle unique

DAdmet exactement quatre solutions réelles

EAutre réponse

Question 13

Dans \(\mathbb{Z}^2\), l’équation \[ x^2-3y^2=8 \] admet :

AAdmet une infinité de solutions

BN’admet pas de solution

CAdmet une solution unique

DAdmet exactement quatre solutions

EAutre réponse

Question 14

Le reste \(r\) de la division euclidienne de \[ 2022^{2023} \] par \(7\) est :

ALe reste est \(2\)

BLe reste est \(3\)

CLe reste est \(4\)

DLe reste est \(5\)

ELe reste est \(6\)

Question 15

Soit \(u\) le chiffre des unités du nombre entier naturel \[ 4444^{6666}+6666^{4444}. \] Choisir la bonne réponse.

ALe chiffre des unités est \(2\)

BLe chiffre des unités est \(3\)

CLe chiffre des unités est \(4\)

DLe chiffre des unités est \(5\)

ELe chiffre des unités est \(6\)

Partie II — Questions à réponses précises

Question 16

Une enquête faite auprès de la population étudiante d’un campus révèle : la population féminine représente \(48\%\) de la population totale, \(60\%\) des filles possèdent des compétences en soft skills et \(20\%\) des garçons sont sans compétences.

Quelle est la probabilité \(P\) pour qu’un étudiant interrogé au hasard soit sans compétences ?

Question 17

Une société de voyage marocaine propose aux touristes pressés une formule « Le Maroc en huit jours ». Il s’agit de visiter 4 villes principales, en passant 2 jours dans chaque ville.

Ces villes sont Meknès, Fès, Taza, Rabat, Marrakech et Agadir, suivant le goût de chaque client. Quel est le nombre \(N\) de formules possibles ?

Question 18

En donnant la forme géométrique et la forme algébrique du nombre complexe \[ \frac{1+i\sqrt3}{2-2i}, \] déterminer la valeur de \[ \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right). \]

Question 19

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A,B,C\) et \(D\) d’affixes respectivement \(a,b,c\) et \(d\).

Sachant que \[ a+c=b+d \quad\text{et}\quad \frac{c-a}{b-d}=i, \] donner la nature du quadrilatère \(ABCD\).

Question 20

Calculer la limite \[ \lim_{x\to1^-} f(x), \] où \[ f(x)=\frac{e^{\frac{2}{\ln(x)}}}{\sqrt{x}-1}. \]

Question 21

Calculer l’intégrale \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\,dx. \]

Question 22

Soit \[ f(x)=\frac{\sqrt{xe^x}}{e^x+1} \] et soit \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que \(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\,\text{cm}\).

Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses et délimité par les plans d’équations \(x=0\) et \(x=1\).

Question 23

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\), on considère la sphère \(S\) d’équation cartésienne : \[ x^2+y^2+z^2-2y-2z=0. \]

Déterminer l’équation cartésienne du plan \((P)\) tangent à la sphère \(S\) au point \(O\).

Question 24

On considère l’équation différentielle \[ (E):\quad y''-2y'+2y=\cos(x)+2\sin(x). \]

Sachant que la fonction \(x\mapsto\cos(x)\) est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative passe par l’origine \(O\) et ayant une tangente en \(O\) de coefficient directeur \(-1\).

Question 25

Une boîte en carton parallélépipède rectangle ouverte sur le dessus a un volume de \(32\,\text{cm}^3\) et une arête de la base de dessous de longueur \(4\,\text{cm}\).

Quelles doivent être ses dimensions pour que sa surface totale soit minimale ?

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