Concours ENSAM Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques
Concours commun d’accès en 1ère année ENSAM — Session du 24 juillet 2023 — Mathématiques.
Compétences et points clés
ENSAM 2023 alterne étude d’équations, sommes géométriques, arithmétique et optimisation. L’intérêt de ce sujet est de faire choisir un argument qualitatif avant un calcul : existence d’une solution, impossibilité entière ou minimum géométrique.
Prérequis à revoir : continuité, dérivée et tableau de variations; division euclidienne, PGCD et identité de Bézout; dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient.
Rappels de cours utiles
Existence et unicité. Sur un segment, la continuité et des valeurs encadrant la cible permettent d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir une solution. La stricte monotonie sur l’intervalle concerné permet d’en garantir l’unicité. Existence et unicité sont deux étapes distinctes du raisonnement.
Divisibilité et congruences. Une congruence s’additionne et se multiplie ; on ne peut pas y simplifier un facteur quelconque sans justification. Un facteur premier avec le module admet un inverse modulo ce module. Pour une équation entière, les conditions sur le PGCD et les contraintes de signe doivent être contrôlées avant de conclure.
Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour l’équation de la première question, séparer l’existence obtenue par continuité de l’unicité liée aux variations. Pour l’équation entière, commencer par un contrôle des congruences. Pour la boîte ouverte de volume imposé, exprimer les dimensions restantes en fonction d’une seule inconnue positive avant l’étude du coût ou de l’aire.
Cette page présente l’énoncé de mathématiques du Concours ENSAM Maroc 2023. La version consultée indique une durée de 2 h 15 min. La correction détaillée est accessible via le bouton placé en haut de l’article.
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Consignes de l’épreuve
- Les calculatrices sont strictement interdites.
- Aucune question n’est permise pendant l’épreuve.
- Partie I : questions à choix multiples.
- Partie II : questions à réponses précises.
- Barème indiqué dans la source : une réponse correcte vaut 2 points ; absence de réponse, plus d’une réponse ou réponse fausse vaut 0 point.
Partie I — Questions à choix multiples
Question 1
Dans \([1,\pi]\), l’équation \[ \ln(x)e^x-\cos(x)-1=0 \] admet :
Question 2
Pour \(n\in\mathbb{N}\), soit \[ S_n=1-\frac13-\frac1{3^2}-\cdots-\frac1{3^n}. \] Choisir la bonne réponse.
Question 3
Soit la suite \((u_n)\) définie par : \[ \begin{cases} u_0=\dfrac12,\\[4pt] u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2+2u_n},\quad \forall n\ge0. \end{cases} \] Sachant que la suite \((u_n)_n\) est croissante, choisir la bonne réponse.
Question 4
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac12\). La limite \[ \ell=\lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)+2f\left(\frac{x}{2}\right)+\cdots+n f\left(\frac{x}{n}\right)} \] est égale à :
Question 5
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=\frac{e^{x^2}-\cos(x)}{x}\quad \text{si }x\ne0 \] et \(f(0)=0\), et soit \(C_f\) la courbe représentative de \(f\). Choisir la bonne réponse.
Question 6
Soit \[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x}}-\frac{\ln(x)}{1+x}. \] La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :
Question 7
Pour \(z\in\mathbb{C}\), on note par \(M(z)\) le point du plan complexe d’affixe \(z\). L’ensemble \[ A=\{M(z):2z+2\overline{z}+z\overline{z}=0\} \] est :
Question 8
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) avec \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=\|\vec{k}\|=1\,\text{cm}\), on considère le plan \((P)\) passant par \(O\) et de vecteur normal \(\vec n(2,-1,3)\).
La distance \(d\) du point \(A(1,0,-1)\) au plan \((P)\) est égale à :
Question 9
Pour \(n\in\mathbb{N}\), soit \[ I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx \quad\text{et}\quad J_n=\int_0^1\frac{1}{1+x^n}\,dx. \] Choisir la bonne réponse.
Question 10
Pour \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(a\in\mathbb{R}\), soit le polynôme \[ P=X^n+aX^{n-1}+aX^{n-2}+\cdots+aX+a. \] Le nombre réel \(P(1-a)\) est égal à :
Question 11
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}^*\) telle que : \[ f(x-y)=f(x)f(y),\qquad \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \] Choisir la bonne réponse.
Question 12
L’équation \[ 1+\cos(x)+\cos(2x)=0 \] admet dans \(]-\pi,\pi]\) :
Question 13
Dans \(\mathbb{Z}^2\), l’équation \[ x^2-3y^2=8 \] admet :
Question 14
Le reste \(r\) de la division euclidienne de \[ 2022^{2023} \] par \(7\) est :
Question 15
Soit \(u\) le chiffre des unités du nombre entier naturel \[ 4444^{6666}+6666^{4444}. \] Choisir la bonne réponse.
Partie II — Questions à réponses précises
Question 16
Une enquête faite auprès de la population étudiante d’un campus révèle : la population féminine représente \(48\%\) de la population totale, \(60\%\) des filles possèdent des compétences en soft skills et \(20\%\) des garçons sont sans compétences.
Quelle est la probabilité \(P\) pour qu’un étudiant interrogé au hasard soit sans compétences ?
Question 17
Une société de voyage marocaine propose aux touristes pressés une formule « Le Maroc en huit jours ». Il s’agit de visiter 4 villes principales, en passant 2 jours dans chaque ville.
Ces villes sont Meknès, Fès, Taza, Rabat, Marrakech et Agadir, suivant le goût de chaque client. Quel est le nombre \(N\) de formules possibles ?
Question 18
En donnant la forme géométrique et la forme algébrique du nombre complexe \[ \frac{1+i\sqrt3}{2-2i}, \] déterminer la valeur de \[ \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right). \]
Question 19
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A,B,C\) et \(D\) d’affixes respectivement \(a,b,c\) et \(d\).
Sachant que \[ a+c=b+d \quad\text{et}\quad \frac{c-a}{b-d}=i, \] donner la nature du quadrilatère \(ABCD\).
Question 20
Calculer la limite \[ \lim_{x\to1^-} f(x), \] où \[ f(x)=\frac{e^{\frac{2}{\ln(x)}}}{\sqrt{x}-1}. \]
Question 21
Calculer l’intégrale \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\,dx. \]
Question 22
Soit \[ f(x)=\frac{\sqrt{xe^x}}{e^x+1} \] et soit \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que \(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\,\text{cm}\).
Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses et délimité par les plans d’équations \(x=0\) et \(x=1\).
Question 23
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\), on considère la sphère \(S\) d’équation cartésienne : \[ x^2+y^2+z^2-2y-2z=0. \]
Déterminer l’équation cartésienne du plan \((P)\) tangent à la sphère \(S\) au point \(O\).
Question 24
On considère l’équation différentielle \[ (E):\quad y''-2y'+2y=\cos(x)+2\sin(x). \]
Sachant que la fonction \(x\mapsto\cos(x)\) est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative passe par l’origine \(O\) et ayant une tangente en \(O\) de coefficient directeur \(-1\).
Question 25
Une boîte en carton parallélépipède rectangle ouverte sur le dessus a un volume de \(32\,\text{cm}^3\) et une arête de la base de dessous de longueur \(4\,\text{cm}\).
Quelles doivent être ses dimensions pour que sa surface totale soit minimale ?
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